www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Rekursive Folge
Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Rekursive Folge: Beweisidee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:21 So 26.05.2013
Autor: lord.garbage

Aufgabe
Heronsches Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel: Zu gegebenem
$M > 0$ sei die Folge [mm] $(x_n )_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] rekursiv definiert durch:
[mm] $x_1 [/mm] := 1$

[mm] $x_{n+1} :=\frac{1}{2}(x_n [/mm] + [mm] \frac{M}{x_n})$ [/mm] für [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm]

a) Zeige, dass [mm] $x_n\ge\sqrt{M}$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ gilt.
b) die Folge [mm] $(x_n )_{n\ge 2}$ [/mm] monoton fallend ist.

Hallo,

durch die rekursive Definition der Folge habe ich etwas Schwierigkeiten damit (a) und (b) zu beweisen. Für Beweisideen wäre ich sehr dankbar!

Viele Grüße

        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:49 So 26.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

> Heronsches Verfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel: Zu
> gegebenem
>  [mm]M > 0[/mm] sei die Folge [mm](x_n )_{n\in\mathbb{N}}[/mm] rekursiv
> definiert durch:
>  [mm]x_1 := 1[/mm]
>  
> [mm]x_{n+1} :=\frac{1}{2}(x_n + \frac{M}{x_n})[/mm] für
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm]
>  
> a) Zeige, dass [mm]x_n\ge\sqrt{M}[/mm] für alle [mm]n\ge 2[/mm] gilt.
>  b) die Folge [mm](x_n )_{n\ge 2}[/mm] monoton fallend ist.
>  Hallo,
>  
> durch die rekursive Definition der Folge habe ich etwas
> Schwierigkeiten damit (a) und (b) zu beweisen. Für
> Beweisideen wäre ich sehr dankbar!

    []Beispiel 5.13, 2. (Babylonisches Wurzelziehen)

(Du musst eh "Variablen" anpassen und Du hast zu beachten, dass im
Skript [mm] $a_0 \ge \sqrt{x}$ [/mm] gewählt wurde. Das legt bei Eurer Formulierung
der Aufgabe eine Fallunterscheidung nahe. Aber die wichtigsten
Umformungsschritte sind eh identisch.

Auf jeden Fall WARNUNG: Copy&Paste und NUR Variablenanpassung alleine
reicht nicht - im Skript hat man etwas andere Startvoraussetzungen für
die Folge!)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Rekursive Folge: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:11 So 26.05.2013
Autor: lord.garbage

Aufgabe
Zunächst zeige ich, dass (a) für $n=2$ gilt:
[mm] $x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{M}{x_1})\ge \sqrt{M}$ [/mm]
Dann folgt aus der Def. von [mm] $x_1$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(1+M)\ge\sqrt{M}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow (1+M)\ge 2*\sqrt{M}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow (1+M)^2\ge [/mm] 4*M$

[mm] $\Leftrightarrow M^2+2M+1\ge [/mm] 4*M$

[mm] $\Leftrightarrow M^2-2M+1\ge [/mm] 0$

[mm] $\Leftrightarrow (M-1)^2\ge [/mm] 0$

Jetzt weiß ich also, dass [mm] $x_n\ge\sqrt{M}$ [/mm] für ein [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] gilt.
Dann:

[mm] $x_{n+1}\ge \sqrt{M}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow x_{n+1}\ge\sqrt{M}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x_n+\frac{M}{x_n})\ge\sqrt{M}$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x_n+\frac{M}{x_n})-\sqrt{M}\ge [/mm] 0$

[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{2x_n}(x_n^2+M-2x_n\sqrt{M})$ [/mm]

[mm] $\Leftrightarrow \frac{1}{2x_n}(x_n-\sqrt{M})^2\ge [/mm] 0$

[mm] $\Box$ [/mm]

Hallo,

vielen Dank für den Hinweis! Ist mein Beweis oben so richtig? Und wenn ja sieht das verdächtig nach Induktion aus, oder?

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Rekursive Folge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:38 So 26.05.2013
Autor: angela.h.b.

Hallo,

Du möchtest also durch vollständige Induktion zeigen, daß

[mm] a_n\ge\wurzel{M} [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] 2 richtig ist.

Induktionsanfang:

> Zunächst zeige ich, dass (a) für [mm]n=2[/mm] gilt:
> [mm]x_2=\frac{1}{2}(x_1+\frac{M}{x_1})\ge \sqrt{M}[/mm]
> Dann folgt
> aus der Def. von [mm]x_1[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(1+M)\ge\sqrt{M}[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow (1+M)\ge 2*\sqrt{M}[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow (1+M)^2\ge 4*M[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow M^2+2M+1\ge 4*M[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow M^2-2M+1\ge 0[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow (M-1)^2\ge 0[/mm]

>


Induktionsvoraussetzung:
Es gelte

> Jetzt weiß ich also, dass [mm]x_n\ge\sqrt{M}[/mm] für ein
> [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] gilt.,

[mm] n\ge [/mm] 2.

> Dann:

Induktionsschluß:
Zu zeigen:
Dann gilt auch
>

> [mm]x_{n+1}\ge \sqrt{M}[/mm].

Bew.:
Sei [mm] x_{n+1}\ge \sqrt{M} [/mm]
>

> [mm]\Leftrightarrow x_{n+1}\ge\sqrt{M}[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x_n+\frac{M}{x_n})\ge\sqrt{M}[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2}(x_n+\frac{M}{x_n})-\sqrt{M}\ge 0[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2x_n}(x_n^2+M-2x_n\sqrt{M})\ge 0[/mm]

>

> [mm]\Leftrightarrow \frac{1}{2x_n}(x_n-\sqrt{M})^2\ge 0[/mm]

>

> [mm]\Box[/mm]

Die Richtigkeit der letzten Aussage müßte man vielleicht noch begründen.

LG Angela

Bezug
        
Bezug
Rekursive Folge: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:52 So 26.05.2013
Autor: Marcel

Hallo,

und nur ein ergänzender Hinweis:
Man konstruiert sich für $M [mm] \in \IQ_{>0}$ [/mm] so eine Folge in [mm] $\IQ\,,$ [/mm] die gegen
[mm] $\sqrt{M}$ [/mm] konvergiert - man sieht so also etwa insbesondere die Existenz
einer rationalen Folge, die gegen [mm] $\sqrt{2} \notin \IQ$ [/mm] konvergiert!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]