Rekursive Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Mi 23.02.2011 | | Autor: | RME |
| Aufgabe | Die Folge [mm] a_n [/mm] sei rekursiv definiert [mm] a_(n+1):=\wurzel{1+a_n}
[/mm]
a) Zu Zeigen: 0 [mm] \le a_n \le [/mm] 3
b) Zu Zeigen: a_(n+1) [mm] \le a_n
[/mm]
c) Konvergiert diese Folge? wenn ja was ist der Grenzwert??? |
Hallo Leute,
kann mir jemand anhand dieser Aufgabe erklären, wie ich bei rekursiven Folgen vorgehen muss???
hab leider überhaupt keinen Ansatz...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo RME und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die Folge [mm]a_n[/mm] sei rekursiv definiert
> [mm]a_(n+1):=\wurzel{1+a_n}[/mm]
Einen Startwert [mm]a_0[/mm] hast du nicht auch noch gegeben?
> a) Zu Zeigen: 0 [mm]\le a_n \le[/mm] 3
> b) Zu Zeigen: a_(n+1) [mm]\le a_n[/mm]
> c) Konvergiert diese Folge?
> wenn ja was ist der Grenzwert???
> Hallo Leute,
>
> kann mir jemand anhand dieser Aufgabe erklären, wie ich
> bei rekursiven Folgen vorgehen muss???
> hab leider überhaupt keinen Ansatz...
Es steht doch in a)-c), was du tun sollst.
Mit a) prüfst du, ob die Folge beschränkt ist, in b) sollst du zeigen, dass sie monoton fallend ist.
Wenn du das gezeigt hast, weißt du, dass die Folge konvergent ist.
(warum? Was sagt die Vorlesung?)
Den GW kannst du dann (falls a) und b) gelten) berechnen über [mm]a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}[/mm] berechnen.
Ersetze in der rekursiven Definition dann [mm]a_n[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] durch [mm]a[/mm] und löse danach auf.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Mi 23.02.2011 | | Autor: | RME |
achja hab übersehen [mm] a_0 [/mm] = 0 ;)
aber wie kann ich das denn jetzt alles vernünfrig zeigen ( also die Monotonie und Beschränktheit)??
kann mir vllt. eine Beispielrechnung (für die Beschränktheit) geben???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 23.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> achja hab übersehen [mm]a_0[/mm] = 0 ;)
>
> aber wie kann ich das denn jetzt alles vernünfrig zeigen (
> also die Monotonie und Beschränktheit)??
Mit Induktion
FRED
> kann mir vllt. eine Beispielrechnung (für die
> Beschränktheit) geben???
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:35 Do 24.02.2011 | | Autor: | RME |
reicht das denn wenn ich b) so mache:
i.A.: [mm] a_0 \le a_1 [/mm] -> 1 [mm] \le \wurzel{2}
[/mm]
i.V.: a_(n) [mm] \le [/mm] a_(n+1)
i.S.: n = n+1
a_(n+1) [mm] \le [/mm] a_(n+2)
a_(n+1) [mm] \le \wurzel{(1+a_(n+1))}
[/mm]
a_(n+1)² [mm] \le [/mm] 1+a_(n+1)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> reicht das denn wenn ich b) so mache:
Nein. Was immer Du auch gemacht hast (man kann es schwer lesen), eines hast Du nicht gemacht: die I.V. verwendet. So kann ein Induktionsbeweis nie funktionieren
FRED
>
> i.A.: [mm]a_0 \le a_1[/mm] -> 1 [mm]\le \wurzel{2}[/mm]
> i.V.: a_(n) [mm]\le[/mm]
> a_(n+1)
> i.S.: n = n+1
> a_(n+1) [mm]\le[/mm] a_(n+2)
> a_(n+1) [mm]\le \wurzel{(1+a_(n+1))}[/mm]
> a_(n+1)²
> [mm]\le[/mm] 1+a_(n+1)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Do 24.02.2011 | | Autor: | RME |
könnstet du mir bitte zeigen wie das sonst richtig wäre?
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 24.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Reihenfolge des Beweises ist hier wichtig. in b) musst du a verwenden.
also erstmal die beh, [mm] 0\le a_n\le3
[/mm]
1. [mm] a_0=0 [/mm] stimmt
2. Indvors [mm] 0\le a_n\le3
[/mm]
daraus zu zeigen [mm] 0\le a_{n+1}\le3 [/mm]
also zu zeigen wenn [mm] 0\le a_n\le3 [/mm] dann gilt auch
[mm] 0\le \wurzel{1+a_n}\le3
[/mm]
jetzt ist wegen [mm] a_n\ge0 \wurzel{1+a_n}\ge\wurzel{1+0}01\ge0
[/mm]
und wegen [mm] a_n\le [/mm] 3 folgt [mm] \wurzel{1+a_n}\le\wurzel{1+3}=2<3
[/mm]
damit hast du die 2 Seiten der ungl. gezeigt.
jetzt darfst du die bei der monotonie benutzen, sogar die scharfere Ungl
[mm] 0\le a_{n}\le2
[/mm]
jetzt versuch mal selbst die Monotonie.
Bitte ergänz dein Profil, damit man dein Vorwissen besser einschätzen kann, oder sag wenigstens in welchem Zusammenhang du die Aufgabe hast.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 Do 24.02.2011 | | Autor: | RME |
müsste die schärfere Ungleichung nicht 1 [mm] \le a_n \le [/mm] 2 sein?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Do 24.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> müsste die schärfere Ungleichung nicht 1 [mm]\le a_n \le[/mm] 2
> sein?
nein. Du hast doch [mm] a_0=0
[/mm]
FRED
> mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:27 Do 24.02.2011 | | Autor: | RME |
irgendwie sehe ich das trotzdem nicht wie ich a) in b) verwenden muss...
sonst würde ich b) so machen:
i.A.: 1 [mm] \le \wurzel{2}
[/mm]
i.V.: a_(n) [mm] \le [/mm] a_(n+1)
i.S.: n=n+1
a_(n+1) [mm] \le [/mm] a_(n+2)
a_(n+1) [mm] \le \wurzel{1+a_(n+1)}
[/mm]
[mm] \wurzel{1+a_n} \le \wurzel{1+\wurzel{1+a_n}} [/mm] // ()²
[mm] 1+a_n \le 1+\wurzel{1+a_n} [/mm] //-1
[mm] a_n \le \wurzel{1+a_n}
[/mm]
[mm] a_n \le [/mm] a_(n+1)
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