Rekursive Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:54 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_{1}=5 [/mm] und [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}})
[/mm]
a) Berechnen Sie die ersten 5 Felgenglieder und zeigen Sie dann, dass die Folge nach unten durch die Wurzel aus Fünf beschränkt ist. |
Wie mache ich das? ich dachte an Folgendes:
a1=5;
[mm] a2=\bruch{1}{2}(5+\bruch{5}{5})=3
[/mm]
a3=5+3=8
a4=8+3=11
a5=11+8=19
Ist das richtig so?
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Hallo,
ich gehe davon aus, dass du [mm] $a_{n+1}=\frac{1}{2}(a_n+\tfrac{5}{a_n})$ [/mm] meinst.
[mm] $a_2$ [/mm] ist noch korrekt.
Aber dann scheinst du nicht mehr mit der Rekursionsvorschrift weiter zu rechnen.
[mm] $a_3=\frac{1}{2}(3+\tfrac{5}{3})$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Also muss ich den ausgerechneten Wert nur immer wieder einsetzen? Mein Prof. hat nämlich was von an+2=an +an+1 geschrieben...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Do 29.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich den ausgerechneten Wert nur immer wieder
> einsetzen?
> Ja
> Mein Prof. hat nämlich was von an+2=an +an+1
> geschrieben...
Wenn er das geschrieben hat, so irrt er.
FRED
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Wahrscheinlich hat er sich damit auf eine andere rekursive Folge bezogen (Fibonacci-Zahlen?).
Die Rekursionsvorschrift ist natürlich nicht immer identisch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
In der Tat hat er sich darauf bezogen. Herzlichen Dank!
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Hat sich deine Frage damit geklärt?
Meine Antwort von gerade soll sich eigentlich auch auf deine offene Frage beziehen.
Ich bin da gerade etwas durcheinander gekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:17 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Alles geklärt, danke! Da tut sich aber auch schon wieder einer andere Frage zum ähnlichen Thema auf. Habe dafür ein neues Thema erstellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Do 29.10.2015 | | Autor: | sae0693 |
Ich habe bei selbiger Aufgabe jetzt bewiesen, dass die Folge nach unten durch [mm] \wurzel{5} [/mm] begrenzt ist, ebenfalls begründet, dass die Folge monoton fallend ist. Nun soll ich den Grenzwert berechnen.
Ist der Grenzwert nicht auch die Wurzel aus 5? Wie stelle ich dies rechnerisch dar?
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Hallo sae!
Aus der Beschränktheit und der Monotonie folgt unmittelbar die Konvergenz; sprich: es exisitiert ein Grenzwert $A \ := \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}a_n$ [/mm] .
Da gilt: $A \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] , kannst Du in die Rekursionsvorschrift einsetzen und anschließend nach $A \ = \ ...$ auflösen:
$A \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(A+\bruch{5}{A}\right) [/mm] $
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] [/mm] sei rekursiv definiert durch [mm] a_{1}=5 [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}), [/mm] n [mm] \varepsilon \IN
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass die Folge ich unten durch [mm] \wurzel{5} [/mm] beschränkt ist. |
Hierbei habe ich Folgendes vor:
[mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}) \ge \wurzel{5}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{4}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}})^{2} \ge [/mm] 5
[mm] a^{2} [/mm] + 10 + [mm] \bruch{25}{a_{n}^{2}} \ge [/mm] 20
[mm] a^{2} [/mm] - 10 + [mm] \bruch{25}{a_{n}^{2}} \ge [/mm] 0
[mm] (a_{n}-\bruch{5}{a_{n}})^{2} \ge [/mm] 0
... und somit immer größer oder gleich 0. Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Mo 02.11.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Die Folge [mm][/mm] sei rekursiv definiert durch [mm]a_{1}=5[/mm] und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}),[/mm] n
> [mm]\varepsilon \IN[/mm]
>
> a) Zeigen Sie, dass die Folge ich unten durch [mm]\wurzel{5}[/mm]
> beschränkt ist.
> Hierbei habe ich Folgendes vor:
>
> [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}) \ge \wurzel{5}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{4}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}})^{2} \ge[/mm] 5
>
> [mm]a^{2}[/mm] + 10 + [mm]\bruch{25}{a_{n}^{2}} \ge[/mm] 20
>
> [mm]a^{2}[/mm] - 10 + [mm]\bruch{25}{a_{n}^{2}} \ge[/mm] 0
>
> [mm](a_{n}-\bruch{5}{a_{n}})^{2} \ge[/mm] 0
>
> ... und somit immer größer oder gleich 0. Korrekt?
Das sieht soweit gut aus.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Wenn ich nun dieselbe Folge habe und hierbei begründen soll, dass die Folge monoton fallend ist; dann betrachte ich hierbei doch [mm] a_{n+1}-a_{n}. [/mm] Wenn [mm] a_{n+1}-a_{n} [/mm] kleiner gleich 0 ist, dann ist die Folge monoton fallend.
Demnach kann ich [mm] a_{n+1}-a_{n} \le [/mm] 0 betrachten, richtig?
[mm] \bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}})-a_{n} \le [/mm] 0
Nachdem es eine Ungleichung ist, kann ich doch einfach [mm] a_{n} [/mm] auf die andere Seite bringen und statt die eine Seite durch 2 zu teilen, die andere mit 2 multiplizieren, oder?
[mm] (a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}) \le 2a_{n}
[/mm]
Dann wieder auf die andere Seite:
[mm] a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} -2a_{n} \le [/mm] 0
[mm] -a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} \le [/mm] 0
Dann den gemeinsamen Nenner finden:
[mm] \bruch{-a_{n}^{2}+5}{a_{n}} \le [/mm] 0
Ist das bis hier hin richtig? Oder darf ich nicht gleich zu Beginn < 0 setzen?
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Hallo,
> Wenn ich nun dieselbe Folge habe und hierbei begründen
> soll, dass die Folge monoton fallend ist; dann betrachte
> ich hierbei doch [mm]a_{n+1}-a_{n}.[/mm] Wenn [mm]a_{n+1}-a_{n}[/mm] kleiner
> gleich 0 ist, dann ist die Folge monoton fallend.
Alternativ zeige: [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n} \ \le \ 1[/mm] - das ist sehr einfach mit dem vorher Gezeigten ...
>
> Demnach kann ich [mm]a_{n+1}-a_{n} \le[/mm] 0 betrachten, richtig? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{5}{a_{n}})-a_{n} \le[/mm] 0
>
> Nachdem es eine Ungleichung ist, kann ich doch einfach
> [mm]a_{n}[/mm] auf die andere Seite bringen und statt die eine Seite
> durch 2 zu teilen, die andere mit 2 multiplizieren, oder?
Oder direkt die obige Ungleichung mit 2 durchmultiplizieren ...
>
> [mm](a_{n}+\bruch{5}{a_{n}}) \le 2a_{n}[/mm]
>
> Dann wieder auf die andere Seite:
>
> [mm]a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} -2a_{n} \le[/mm] 0
Damit wärest du direkt hier 
>
> [mm]-a_{n}+\bruch{5}{a_{n}} \le[/mm] 0
>
> Dann den gemeinsamen Nenner finden:
>
> [mm]\bruch{-a_{n}^{2}+5}{a_{n}} \le[/mm] 0
>
> Ist das bis hier hin richtig? Oder darf ich nicht gleich zu
> Beginn < 0 setzen?
Doch. Solgange du sämtlich Äquivalenzumformungen machst und zu am Ende einer wahren Aussage kommst (wie zB. -1<0).
Denn du gehst ja von dem, was du zeigen sollst, aus ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 Mo 02.11.2015 | | Autor: | sae0693 |
Wenn ich gleich alles mit 2 multipliziere; muss ich dann auch [mm] a_{n} [/mm] auf der linken Seite mal 2 rechnen? Also alles, außer eben die Klammer, die *0,5 genommen werden sollte *2?
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Hallo,
> Wenn ich gleich alles mit 2 multipliziere; muss ich dann
> auch [mm]a_{n}[/mm] auf der linken Seite mal 2 rechnen? Also alles,
> außer eben die Klammer, die *0,5 genommen werden sollte
> *2?
Häää? Stelle mal eine präzise Frage.
Eine Summe multiplizierst du mit einer Zahl, indem du jeden Summanden mit der Zahl multiplizierst.
Distributivgesetz: [mm]a\cdot{}(b+c)=a\cdot{}b+a\cdot{}c[/mm]
Hier mit [mm]a=2, b=\frac{1}{2}\cdot{}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right), c=-a_n[/mm]
Also [mm]\frac{1}{2}\cdot{}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right)-a_n \ \le \ 0 \ \ \ \mid \red{\cdot{}2}[/mm]
[mm]\gdw \red 2\cdot{}\left[\frac{1}{2}\cdot{}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right)-a_n\right] \ \le \ \red 2\cdot{}0[/mm]
[mm]\gdw \red 2\cdot{}\frac{1}{2}\cdot{}\left(a_n+\frac{5}{a_n}\right) \ - \ \red 2\cdot{}a_n \ \le \ 0[/mm]
[mm]\gdw a_n+\frac{5}{a_n}-2a_n \ \le \ 0[/mm]
Gruß
schachuzipus
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