Rekursive definierte Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | Gegeben sei für [mm] n\in\IN [/mm] die rekursiv definierte Folge
[mm] a_n_+_1=\bruch{1}{2}*(a_n+\bruch{b}{a_n})
[/mm]
mit [mm] a_1=b+1,b>0.
[/mm]
a)Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass [mm] a_n\ge\wurzel{b} [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
HINWEIS: Für alle [mm] x,y\ge0 [/mm] gilt die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel
[mm] \wurzel{xy}\le\bruch{1}{2}*(x+y). [/mm] |
Oh mein Gott.
Ich habe <absolut gar keine Ahnung!
Womit soll ich anfangen? Was wollen die überhaupt? xD
Erbitte Hilfe! xD
Vielen Dank im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"sie" wollen offensichtlich, dass die Folge nach unten beschränkt ist. Netterweise geben sie dir schon mal ne untere Schranke an.
dass es für [mm] a_1 [/mm] richtig ist, kann man (durch quadreiren nachrechnen.
der Rest ist dann Induktion.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Sa 13.11.2010 | | Autor: | Random |
Soll ich also als 1. Induktionsschritt für [mm] a_n [/mm] b+1 einsetzten?
Und warum ist es dann [mm] a_n_+_1? [/mm]
Was soll ich denn quadrieren?
Was ist denn die untere Schranke?
Vielen dank im Voraus,
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Sa 13.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Weisst du, was ne Rekursion ist? aus [mm] a_1 [/mm] rechnet man [mm] a_2 [/mm] aus. aus [mm] a_2 a_3 [/mm] aus [mm] a_n [/mm] eben [mm] a_{n+1}
[/mm]
eine unter Schranke ist ne Zahl die kleiner ist als alle Folgenglieder.
dass [mm] a_1 [/mm] kleiner ist als [mm] \wurzel{b} [/mm] sollst du ausrechnen. Also sollst du erstmal bestätigen [mm] b+1\ge\wurzel{b} [/mm] unabhängig von der Wahl von b>0
Was eine Induktion ist solltest du auch wissen. wenn du weisst es ist richtig für [mm] a_1, [/mm] ist die Ind. Vors: es ist richtig für [mm] a_n
[/mm]
dann muss man daraus folgern: es ist auch richtig für [mm] a_{n+1}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:41 So 14.11.2010 | | Autor: | Random |
Also ich weiss was Induktion ist, aber habe hier ja 2 Unbekannte.
Am sonsten verstehe ich nur Ost-Bahnhof.
Rekursion habe ich nie gehört, steht auch im Skript nichts von und die Erklärungen im Internet lassen sich nicht so einfach verstehen.
Was wäre denn mein erster Schritt hier bei der Aufgabe.
Soll ich einfach [mm] b+1\ge\wurzel{b} [/mm] hinschreiben? Und wie soll ich das ausrechenen?
Vielen Dank im Voraus!!!
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Hallo Ilya,
> Also ich weiss was Induktion ist, aber habe hier ja 2
> Unbekannte.
Nein, Du hast einen Parameter b (den Du nicht kennst, aber der fest bleibt), und eine rekursiv definierte Folge.
> Am sonsten verstehe ich nur Ost-Bahnhof.
In Berlin heißt der doch jetzt Hauptbahnhof. 
> Rekursion habe ich nie gehört, steht auch im Skript nichts
> von und die Erklärungen im Internet lassen sich nicht so
> einfach verstehen.
Rekursion heißt rückbezügliche Definition, also so wie schon leduart schrieb. Wenn Du [mm] a_n [/mm] kennst, kannst Du [mm] a_{n+1} [/mm] mit der Rekursionsformel bestimmen. Klar, b muss auch bekannt sein, aber dann hast du das Bildungsgesetz der Folge.
Das Problem ist, dass man, sagen wir [mm] a_{6089} [/mm] bisher nur ausrechnen kann, wenn man alle Folgenglieder bis direkt davor, also [mm] a_{6088} [/mm] schon berechnet hat.
> Was wäre denn mein erster Schritt hier bei der Aufgabe.
>
> Soll ich einfach [mm]b+1\ge\wurzel{b}[/mm] hinschreiben? Und wie
> soll ich das ausrechenen?
So geht ein Induktionsanfang. Behauptet wird, dass alle Folgenglieder [mm] \ge\wurzel{b} [/mm] sind. Das überprüfst Du nun erstmal für [mm] a_1=b+1.
[/mm]
Da ist aber nichts auszurechnen, sondern "nur" die Wahrheit der Aussage zu überprüfen. Da Dir aber kein b vorliegt, musst Du die Aussage für alle b>0 beweisen. Das geht hier am einfachsten, wenn Du $ 0<b<1 $ und [mm] 1\le{b} [/mm] getrennt voneinander untersuchst.
> Vielen Dank im Voraus!!!
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 So 14.11.2010 | | Autor: | Random |
Hallo nochmal reverend,
Mein Lösungsansatz ist:
Induktionsanfang: [mm] a_1=b+1
[/mm]
[mm] b+1\ge\wurzel{b} [/mm]
[mm] 1+1\ge\wurzel{1} [/mm]
[mm] 2\ge1
[/mm]
Induktionsschritt: Zu zeigen gilt: [mm] a_n_+_1\ge\wurzel{b}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}(\wurzel{b}+\bruch{b}{\wurzel{b}})\ge\wurzel{b}
[/mm]
Das führt mich zu [mm] \wurzel{b}\ge\wurzel{b}
[/mm]
Somit gilt A(n+1).
Ist das in etwa richtig so? xD
MfG
Ilya
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Hallo nochmal,
> Mein Lösungsansatz ist:
>
> Induktionsanfang: [mm]a_1=b+1[/mm]
>
> [mm]b+1\ge\wurzel{b}[/mm]
>
> [mm]1+1\ge\wurzel{1}[/mm]
>
> [mm]2\ge1[/mm]
Wie schön. Für b=1 ist [mm] a_1>\wurzel{b}.
[/mm]
Du musst es aber für alle b>0 zeigen, auch für [mm] \bruch{312}{717}, [/mm] 0.8829, [mm] 5\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] e^{2993461}.
[/mm]
Ich hatte Dir doch schon eine Fallunterscheidung vorgeschlagen, vor allem, weil man dann Aussagen dazu treffen kann, wie sich b und [mm] \wurzel{b} [/mm] zueinander verhalten.
> Induktionsschritt: Zu zeigen gilt: [mm]a_n_+_1\ge\wurzel{b}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}(\wurzel{b}+\bruch{b}{\wurzel{b}})\ge\wurzel{b}[/mm]
>
> Das führt mich zu [mm]\wurzel{b}\ge\wurzel{b}[/mm]
>
> Somit gilt A(n+1).
>
> Ist das in etwa richtig so? xD
Das gilt, wenn [mm] a_n=\wurzel{b} [/mm] ist. Davon wissen wir aber nichts. Wir gehen im Induktionsschritt nur davon aus, dass wir ein [mm] a_n [/mm] haben, über das wir schon sagen dürfen: [mm] a_n\ge\wurzel{b}. [/mm] Und dann ist zu zeigen, dass auch [mm] a_{n+1}\ge\wurzel{b} [/mm] ist.
Mit anderen Worten. So wie jetzt sind beide Schritte falsch.
Denk nochmal drüber nach, wo Du eigentlich hinwillst.
Grüße
reverend
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