Rekursivefolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:40 Di 27.11.2012 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Sei a>0 eine reellle und [mm] k\ge2 [/mm] eine natürliche Zahl.
a) Zeigen Sie, dass für jeden Startwert [mm] x_0>0 [/mm] die rekursiv durch
[mm] x_n+1:= \bruch{1}{k} [/mm] ( [mm] (k-1)x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}}) [/mm] definierte Folge gegen einen Grenzwert x>0 konvergiert.
Zeige zunächst [mm] x_n>0, [/mm] sowie mit der Benoulli Ungleichung dass [mm] x_n^k\ge [/mm] a für alle [mm] n\ge1 [/mm] |
Mir bereitet folgendes schwierigkeiten:
Zeige [mm] x_n^k \ge [/mm] a
[mm] (\bruch{1}{k} ((k-1)x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}})^k
[/mm]
[mm] \ge \bruch{1}{k}( ((k-1)x_n+k*\bruch{a}{x_n^{k-1}})
[/mm]
<=> [mm] \bruch{k-1}{k}*x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}}
[/mm]
Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Di 27.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Joker08,
> Sei a>0 eine reellle und [mm]k\ge2[/mm] eine natürliche Zahl.
>
> a) Zeigen Sie, dass für jeden Startwert [mm]x_0>0[/mm] die rekursiv
> durch
>
> [mm]x_n+1:= \bruch{1}{k}[/mm] ( [mm](k-1)x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}})[/mm]
> definierte Folge gegen einen Grenzwert x>0 konvergiert.
>
> Zeige zunächst [mm]x_n>0,[/mm] sowie mit der Benoulli Ungleichung
> dass [mm]x_n^k\ge[/mm] a für alle [mm]n\ge1[/mm]
> Mir bereitet folgendes schwierigkeiten:
>
> Zeige [mm]x_n^k \ge[/mm] a
>
> [mm](\bruch{1}{k} ((k-1)x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}})^k[/mm]
>
> [mm]\ge \bruch{1}{k}( ((k-1)x_n+k*\bruch{a}{x_n^{k-1}})[/mm]
>
> <=> [mm]\bruch{k-1}{k}*x_n+\bruch{a}{x_n^{k-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter :/
Bringe für $x>0$ den Term $\frac 1 k (k-1)x + \frac a {x^{k-1}$ auf die Form $1+y$, zeige $y>-1$ und wende dann Bernoulli auf $(1+y)^k$ an.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 27.11.2012 | | Autor: | Joker08 |
Hi vielen dank.
Ich habe es hinbekommen.
Ob es stimmt werde ich dann ja am Ende sehen ;)
Die Lösung werde ich dann ggf. hier für die Nachwelt posten.
Lg. Joker
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