Rekursuionsgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 09.06.2006 | | Autor: | Jacek |
| Aufgabe | Folge ( [mm] x_{i}) [/mm] mit i [mm] \in \IN [/mm] (inkl. 0)! von komplexen Zahlen erfülle für i [mm] \ge [/mm] 0 die lineare Rekursionsgleichung:
[mm] x_{i+2} [/mm] = a [mm] x_{i} [/mm] + b [mm] x_{i+1}
[/mm]
mit komplexen Zahlen a,b und mit a [mm] \not= [/mm] 0. Wir bilden das Polynom
f = 1 - b t - a [mm] t^{2} [/mm] .
Sei
f = (1 - ut) (1 - vt)
mit komplexen Zahlen u und v.
->a) sei u [mm] \not= [/mm] v. Dann gilt:
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i}+ c_{2} v^{i}
[/mm]
mit geeigneten [mm] c_{1}, c_{2}. [/mm] Ist k < m und [mm] u^{m-k} \not= v^{m-k} [/mm] , so ist x durch die Vorgabe von [mm] x_{k}, x_{m} [/mm] eindeutig bestimmt. Insbesondere gilt:
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v} [/mm] und
[mm] c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v}.
[/mm]
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Hallo,
ich hoffe mir kann jemand helfen. Das stammt aus einem Buch über das ich ein 'Seminar zu halten habe.
Zu dieser Definition und dem Satz ist noch in klammern folgendes zugefügt, was mir zu Beweisen Schwierigkeiten besorgt:
"Für [mm] u^{m-k} [/mm] = [mm] v^{m-k} [/mm] gilt hingegen [mm] x_{m} [/mm] = [mm] u^{m-k} x_{m}"
[/mm]
Vielleicht hilt dazu der Beweis zu Satz (a):
ich zitiere:
"die Ähnlichkeit der Aufgabe mit linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten verleitet zu dem Ansatz [mm] x_{i} [/mm] = [mm] w^{i} [/mm] mit noch zu bestimmendem w. Wir erhalten:
0 = [mm] w^{i+2} [/mm] (1 - a [mm] w^{-2} [/mm] - b [mm] w^{-1}) [/mm] = [mm] w^{i+2} [/mm] f ( [mm] \bruch{1}{w}).
[/mm]
Dies wird erfüllt durch w = u und w = v. Dann ist auch
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i} [/mm] + [mm] c_{2} v^{i}
[/mm]
für alle komplexen Zahlen [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] eine Lösung unserer linearen Rekursionsgleichung. Offenbar ist x durch die Vorgabe von [mm] x_{0} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] eindeutig bestimmt. Da das lineare Gleichungssystem
[mm] x_{0} [/mm] = [mm] c_{1} [/mm] + [mm] c_{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] c_{1}u [/mm] + [mm] c_{2}v
[/mm]
die eindeutig bestimmte Lösung
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1} - vx_{0}}{u - v}, c_{2} [/mm] = [mm] \bruch{ux_{0} - x_{1}}{u - v}.
[/mm]
hat, hat jede Lösung der Rekursionsgleichung die Gestalt
[mm] x_{i} [/mm] = [mm] c_{1} u^{i} [/mm] + [mm] c_{2} v^{i}
[/mm]
mit geeigneten [mm] c_{1}, c_{2}.
[/mm]
Sei nun k<m. Das Gleichungssystem
[mm] x_{k} [/mm] = [mm] c_{1} u^{k} [/mm] + [mm] c_{2} v^{k}
[/mm]
[mm] x_{m} [/mm] = [mm] c_{1} u^{m} [/mm] + [mm] c_{2} v^{m}
[/mm]
ist eindeutig nach [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] auflösbar, sofern
[mm] \vmat{ u^{k} & v^{k} \\ u^{m} & v^{m}} [/mm] = [mm] u^{k}v^{k} (v^{m-k} [/mm] - [mm] u^{m-k}) \not= [/mm] 0.
Wegen uv = -a [mm] \not= [/mm] 0 erfordert dies [mm] v^{m-k} \not= u^{m-k} [/mm] "
So, dieses ist viel...
Bitte kann mir jemand beim Beweis zu
"Für [mm] u^{m-k} [/mm] = [mm] v^{m-k} [/mm] gilt hingegen [mm] x_{m} [/mm] = [mm] u^{m-k} x_{m}"
[/mm]
helfen?
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Eine vollständige Lösung hatte ich hier schon einmal gegeben. Du mußt das eben einmal konsequent durcharbeiten und bei Verständnisschwierigkeiten Nachfragen stellen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:51 Sa 10.06.2006 | | Autor: | Jacek |
Ja, den Beweis habe ich ja durchgearbeitet.
Mir geht es ja um das:
Für [mm] u^{m-k} [/mm] = [mm] v^{m-k} [/mm] gilt hingegen [mm] x_{m} [/mm] = [mm] u^{m-k} x_{m}
[/mm]
zum Ende des Beweises. Ich komme da einfach nicht auf die Begründung.
Der Rest steht ja schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 12.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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