Rel. Häufigk.: Gleichung lösen < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 25.10.2007 | | Autor: | oli_k |
| Aufgabe | | Wie oft muss man einen Versuch mit p=0,1 wiederholen, damit sich die relative Häufigkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80% um nicht mehr als 5% von der Wahrscheinlichkeit unterscheidet. |
Hallo,
da die Wahrscheinlichkeit p ja um nicht mehr als 0,05 von der relativen Häufigkeit [mm] h_{n} [/mm] abweichen darf, muss der Betrag der Differenz kleiner gleich 0,05 sein. Die Ws. dafür, dass dieser Fall eintritt, muss wiederum über 0,8 liegen. Also:
[mm] P(|h_{n}-p|\le0,05)\ge0,8
[/mm]
[mm] P(|\bruch{X}{n}-0,1|\le0,05)\ge0,8 [/mm] mit X als Anzahl der Treffer und n als Gesamtzahl der Versuche
[mm] P(0,05n\le X\le0,15n)\ge0,8
[/mm]
Dies macht nicht nur mathematisch, sondern auch logisch Sinn: der "Erwartungswert" ist 0,1n, X muss im Bereich von +-0,05n liegen.
Nun muss ich mit Laplace nähern:
[mm] \phi(\bruch{0,15n+0,5-0,1n}{\wurzel{n*0,1*0,9}})-\phi(\bruch{0,05n-0,5-0,1n}{\wurzel{n*0,1*0,9}})\ge0,8 [/mm] mit [mm] \mu=pn [/mm] und [mm] \sigma=\wurzel{npq}
[/mm]
[mm] 2*\phi(\bruch{0,15n+0,5-0,1n}{\wurzel{n*0,1*0,9}})\ge1,8
[/mm]
[mm] \phi(\bruch{0,15n+0,5-0,1n}{\wurzel{n*0,1*0,9}})\ge0,9
[/mm]
[mm] \bruch{0,15n+0,5-0,1n}{\wurzel{n*0,1*0,9}}\ge1,28155 [/mm] (Tabelle: [mm] \phi(1,28155)=0,9) [/mm] )
[mm] 0,05n+0,5\ge1,28155*\wurzel{n*0,1*0,9}
[/mm]
[mm] 0,0025n²-0,097813n+0,25\ge0
[/mm]
[mm] n\ge36,376 [/mm] v [mm] n\ge2,749 [/mm]
Das ist aber unlogisch, da ja die Aufgabe nur ein Ergebnis haben darf undd as andere somit entweder im Negativen oder utopisch hoch liegen müsste, um es auszuschliessen. Mit den beiden Werten kann ich jedoch nichts anfangen. Der Lehrer meinte, es müsste etwas um die 60 rauskommen. Die Näherung dürfe angewandt werden, auch wenn hier npq nicht ganz 9 ist. Daran liegt es also nicht. Findet einer den Fehler? (Kann sein, dass ich mal ne Zeile aus Versehen falsch abgetippt habe, aber dann richtig weiter gerechnet habe - Sorry, musste schnell gehen und die vielen Zeichen verwirren leicht ;) )
Vielen Dank,
Oli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 25.10.2007 | | Autor: | oli_k |
Also der erste Schritt stimmt laut Lehrer definitiv.
Was ist dann im Folgenden falsch? Ich finde es seltsam, dass ich auf zwei Lösungen komme...
Danke!
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> [mm]0,05n+0,5\ge1,28155*\wurzel{n*0,1*0,9}[/mm]
>
> [mm]0,0025n²-0,097813n+0,25\ge0[/mm]
>
> [mm]n\ge36,376[/mm] v [mm]n\ge2,749[/mm]
>
> Das ist aber unlogisch, da ja die Aufgabe nur ein Ergebnis
> haben darf undd as andere somit entweder im Negativen oder
> utopisch hoch liegen müsste, um es auszuschliessen. Mit den
> beiden Werten kann ich jedoch nichts anfangen. Der Lehrer
> meinte, es müsste etwas um die 60 rauskommen. Die Näherung
> dürfe angewandt werden, auch wenn hier npq nicht ganz 9
> ist. Daran liegt es also nicht. Findet einer den Fehler?
> (Kann sein, dass ich mal ne Zeile aus Versehen falsch
> abgetippt habe, aber dann richtig weiter gerechnet habe -
> Sorry, musste schnell gehen und die vielen Zeichen
> verwirren leicht ;) )
>
> Vielen Dank,
> Oli
Hallo,
meiner Meinung nach sieht die Rechnung sehr gut aus.
Den Wert[mm]n\ge2,749[/mm] kannst du dir schenken, für n sowieso nur die große Lösung zutreffen kann (genaue Begründung dafür weiß ich leider nicht).
(Es müsste außerdem n<=2,749 heißen)
Also n>=37 stimmt schon.
Man muss den Versuch mindestens 37 mal durchführen.
(ihn also mindestens 36 mal w i e d e r h o l e n) 
Viele Grüße.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Do 25.10.2007 | | Autor: | oli_k |
Hey, danke...
Aber wieso meint der Lehrer dann, da müsste etwas um die 60 rauskommen? Zwei Mitschüler haben aber auch meinen Wert raus...
Warum kann man -mathematisch- nicht auch zwei Versuche machen? Muss doch eine Begründung geben...
Danke
Oli
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Hi,
habe mir das nochmal überlegt, warum die kleine Lösung nicht gilt:
Die Rechnung ist völlig in Ordnung.
Es handelt sich aber um die Laplace-Näherung, die ja nur für Wurzel aus npq>9 für gut gehalten wird.
Für n=37 ist Wurzel aus npq etwa 3, also eigentlich gilt die Näherung hier nicht mehr richtig, aber na gut.
Für n=2 ist aber alles zu spät: Wurzel aus npq = 0,42. Die Voraussetzung, dass hier die Näherung gilt, ist nicht gegeben, also diese Lösung ignorieren.
Viele Grüße.
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