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Relation & Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 02.06.2011
Autor: BigDeal

Aufgabe
Es sei [mm] \IR^2:= \IR \times \IR. [/mm] Wir betrachten die Teilmengen

(a) [mm] R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\} [/mm]
(b) [mm] R_{2}:= \{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\} [/mm]
(c) [mm] R_{3}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y=x^2)\} [/mm]

Entscheiden Sie welche [mm] \IR_{i} \subset \IR^2 [/mm] nur eine Relation und welche - via f(x)=y eine Funktion definieren. Welche Funktion ist injektiv?

Hallo,
laut Lösungsskizze ist (a) nur eine Relation und (b) & (c) definieren - via f(x)=y auch eine Funktion.

Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe (a).
So verstehe ich die Aufgabe:
[mm] R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\} [/mm] wäre -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm] f_{1}:\IR \to \IR, f(x)=\wurzel{x}. [/mm]
Damit hätte die Funktion jedoch einen ungültigen Definitionsbereich auf ganz [mm] \IR, [/mm] da x niemals kleiner als 0 werden dürfte. Deshalb beschreibt [mm] R_{1} [/mm] keine Funktion.

1. Frage:
In der gegebenen Mengenschreibweise ist es widerum nicht falsch zu schreiben [mm] {(x,y)\in \IR^2|y^2=x\} [/mm] bzw. [mm] {(x,y)\in \IR^2|y=x^2\} [/mm] wie in Aufgabe (b)?

2. Frage:
Würde [mm] R_{4}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y^2=x)\} [/mm] -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm] f_{4}:[o,\infty[\to \IR, f(x)=\wurzel{x} [/mm] beschreiben?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Relation & Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:07 Do 02.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> Es sei [mm]\IR^2:= \IR \times \IR.[/mm] Wir betrachten die
> Teilmengen
>  
> (a) [mm]R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm]
>  (b) [mm]R_{2}:= \{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\}[/mm]
>  
> (c) [mm]R_{3}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y=x^2)\}[/mm]
>  
> Entscheiden Sie welche [mm]\IR_{i} \subset \IR^2[/mm] nur eine
> Relation und welche - via f(x)=y eine Funktion definieren.
> Welche Funktion ist injektiv?
>  Hallo,
>  laut Lösungsskizze ist (a) nur eine Relation und (b) &
> (c) definieren - via f(x)=y auch eine Funktion.
>  
> Meine Frage bezieht sich auf Aufgabe (a).
>  So verstehe ich die Aufgabe:
>  [mm]R_{1}:= \{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm] wäre -via f(x)=y eine
> Funktion in der Form [mm]f_{1}:\IR \to \IR, f(x)=\wurzel{x}.[/mm]
>  
> Damit hätte die Funktion jedoch einen ungültigen
> Definitionsbereich auf ganz [mm]\IR,[/mm] da x niemals kleiner als 0
> werden dürfte. Deshalb beschreibt [mm]R_{1}[/mm] keine Funktion.

Nein, das ist nicht richtig.  Laut Definition enthält [mm] $R_1$ [/mm] nur diejenigen Punkte, die die Gleichung [mm] $y^2=x$ [/mm] erfüllen, und daher gehören Punkte mit negativem x nicht mit dazu.

Es ist vielmehr deswegen keine Funktion, weil es zu fast jedem möglichen Wert von x (nämlich zu jeder positiven reellen Zahl) zwei mögliche Werte von y gibt, die sich im Vorzeichen unterscheiden.


> 1. Frage:
>  In der gegebenen Mengenschreibweise ist es widerum nicht
> falsch zu schreiben [mm]{(x,y)\in \IR^2|y^2=x\}[/mm] bzw. [mm]{(x,y)\in \IR^2|y=x^2\}[/mm]
> wie in Aufgabe (b)?

Ich verstehe die Frage nicht.

>  
> 2. Frage:
>  Würde [mm]R_{4}:= \{(x,y)\in \IR^2|(x\ge0)\wedge(y^2=x)\}[/mm]
> -via f(x)=y eine Funktion in der Form [mm]f_{4}:[o,\infty[\to \IR, f(x)=\wurzel{x}[/mm]
> beschreiben?

Genausowenig, da [mm] $R_4=R_1$ [/mm] ist.

Viele Grüße
   Rainer

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