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Forum "Topologie und Geometrie" - Relation als Morphismus
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Relation als Morphismus: Coretraktion
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:42 Sa 11.02.2012
Autor: dennis2

Aufgabe
Betrachte eine Relation $R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B$ als Morphismus in der Kategorie [mm] $\operatorname{Ens}_{Rel}$. [/mm]

Zeige:

R: [mm] A\rightharpoondown [/mm] B  ist eine Coretraktion in [mm] \operatorname{Ens}_{Rel}$, [/mm] wenn R überall definiert und injektiv ist.


Moin, moin!

Ich hoffe, ich habe die Aufgabe richtig kapiert; ich muss zeigen:

R injektiv und überall definiert [mm] $\Rightarrow$ [/mm] R Coretraktion, d.h. ex. eine Relation $S: [mm] B\rightharpoondown [/mm] A$, sodaß [mm] $S\circ R=id_A$ [/mm]


Beweis(versuch):

Ich behaupte, daß [mm] $S:=\left\{(b,a): (a,b)\in R\right\}$ [/mm] das Gesuchte erfüllt.

Zeige dazu [mm] (i)$S\circ R\subseteq id_A$ [/mm] und [mm] (ii)$S\circ R\supseteq id_A$. [/mm]

Zu (i): Sei [mm] $(a,a')\in S\circ [/mm] R$. Dann ex. nach der Definition der Komposition von Relationen ein [mm] $b\in [/mm] B$, sodaß [mm] $(a,b)\in [/mm] R$ und [mm] $(b,a')\in [/mm] S$. Dann ist [mm] $(a',b)\in [/mm] R$ (denn sonst wäre doch $(b,a')$ kein Element von S?). Weil R nach Voraussetzung injektiv ist, gilt $a=a'$ und damit [mm] $(a,a')\in id_A$. [/mm]

Zu (ii): Es sei [mm] $(a,a)\in id_A$. [/mm] R ist nach Voraussetzung überall definiert, also gibt es doch mindestens ein [mm] b\in [/mm] B, sodaß [mm] (a,b)\in [/mm] R. Dann ist [mm] (b,a)\in [/mm] S. Es gibt also ein [mm] b\in [/mm] B, sodaß [mm] (a,b)\in [/mm] R und [mm] (b,a)\in [/mm] S. Das bedeutet aber [mm] $(a,a)\in S\circ [/mm] R$.

[mm] $\Box$ [/mm]



Ich freue mich auf Eure Reaktionen.
Bitte ruhig kleinlich sein, weil ich das abgeben muss. :-)

Grüße

Dennis







        
Bezug
Relation als Morphismus: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 13.02.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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