Relation, asymmetrisch? < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ist diese Relation asymmetrisch?
R = {(1,2),(2,1),(1,3)}
Ich sage Nein weil 1,2 und 2,1 drin sind und laut Definition:
a,b [mm] \in \IR [/mm] -> b,a [mm] \not\in \IR
[/mm]
Also kein b,a vorhanden sein darf wenn ein a,b drin ist.
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Hallo studentxyz,
> Hallo
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> ist diese Relation asymmetrisch?
>
> R = {(1,2),(2,1),(1,3)}
>
> Ich sage Nein ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> weil 1,2 und 2,1 drin sind
Jo!
> und laut
> Definition:
> a,b [mm]\in \IR[/mm] -> b,a [mm]\not\in \IR[/mm]
Da fehlen die Tupelklammern: [mm](a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\notin R[/mm]
>
> Also kein b,a vorhanden sein darf wenn ein a,b drin ist.
Genau! (aber mit Klammern  )
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Sa 03.12.2011 | | Autor: | studentxyz |
Ja, der Syntax war nicht ganz richtig aber fürs Verständnis reicht es.
Danke
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Stimmt dann auch die Aussage das jede asymmetrische Relation automatisch antisymmetrisch ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:09 So 04.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Stimmt dann auch die Aussage das jede asymmetrische
> Relation automatisch antisymmetrisch ist?
ja: ![[]](/images/popup.gif) siehe etwa hier.
Wenn Du es beweisen willst:
Sei [mm] $R\,$ [/mm] eine asymmetrische Relation auf [mm] $M\,.$ [/mm] Sind $x,y [mm] \in [/mm] M$ verschieden und gilt [mm] $xRy\,,$ [/mm] dann folgt aus der Asymmetrie von [mm] $R\,$ [/mm] natürlich [mm] $\neg(yRx)$ [/mm] und damit hast Du gezeigt, wegen der Beliebigkeit von $x,y [mm] \in M\,,$ [/mm] dass [mm] $R\,$ [/mm] dann antisymmetrisch ist.
Umgekehrtes gilt aber im allgemeinen nicht:
Ist [mm] $R\,$ [/mm] antisymmetrische Relation auf [mm] $M\,$ [/mm] und sind $x,y [mm] \in M\,$ [/mm] mit [mm] $xRy\,,$ [/mm] so folgt noch nicht, dass automatisch [mm] $\neg(yRx)$ [/mm] gelten wird. Das würde nur sofort folgen, wenn $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit $x [mm] \not=y$ [/mm] wäre.
Anders gesagt: Bei antisymmetrischen Relation ist sowas wie $xRx$ erlaubt, bei asymmetrischen ist derartiges verboten - d.h., wenn man die Relation als Teilmenge [mm] $\IR \times \IR$ [/mm] von $M [mm] \times [/mm] M$ auffasst, dann gibt es "auf der Diagonalen von $M [mm] \times [/mm] M$" keine Elemente. (Sofern ich selber die Begriffe gerade recht verstehe: Vielleicht bestätigt das nochmal jemand oder korrigiert es ggf..)
Jedenfalls ist sicher [mm] $(\IR, \le)$ [/mm] (d.h. die Relation [mm] $\le$ [/mm] auf [mm] $\IR$) [/mm] eine antisymmetrische Relation. Sie ist aber nicht asymmetrisch: Denn für $x=2,y=2 [mm] \in \IR$ [/mm] gilt $x=2 [mm] \le y=2\,,$ [/mm] während auch $y=2 [mm] \le [/mm] x=2$ gilt.
Allerdings wäre [mm] $(\IR,<)$ [/mm] eine asymmetrische (und damit auch antisymmetrische) Relation.
Gruß,
Marcel
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