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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 28.06.2009 | | Autor: | ChaoZz |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, ob die Relation
R:= {(m,n) [mm] \in \IN^{2} [/mm] | [mm] \exists [/mm] r [mm] \in \IN [/mm] : m = [mm] n^{r} [/mm] } reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist. Begründen Sie Ihr Ergebnis. |
Hallo zusammen, für diese Aufgabe bekomme ich mehrere Lösungen und das verwirrt mich.
Ist es nicht so, dass ich, je nach dem was ich in n oder r einsetze, andere Ergebnisse bekomme? Setze ich z.B. für r = 1 ein, so ist immer m = n also die Relation reflexiv!?
Wenn ich nun für n = 1 einsetze dann kann r jede beliebige Zahl aus [mm] \IN [/mm] sein und ich bekomme trotzdem m = n (denn [mm] 1^{32} [/mm] z.B is ja immer noch 1 also ist die Relation wieder reflexiv!?
Setze ich nun aber z.B. für n = 7 und für r = 3 ein ist die Relation nicht mehr reflexiv.
Wie kann ich denn nun die Aufgabe angehen und allgemein lösen?
Meine Lösung wäre folgende:
Sei r =1 dann ist [mm] n^{r} [/mm] immer n und m = n => jedes Element steht in Relation zu sich selber => reflexiv.
Vielen Dank vorab.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Untersuchen Sie, ob die Relation
> R:= [mm]\{(m,n) \in \IN^{2}[/mm] | [mm]\exists[/mm] r [mm]\in \IN[/mm] : m = [mm]n^{r}\}[/mm]
> reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch oder transitiv ist.
> Begründen Sie Ihr Ergebnis.
> Hallo zusammen, für diese Aufgabe bekomme ich mehrere
> Lösungen und das verwirrt mich.
>
> Ist es nicht so, dass ich, je nach dem was ich in n oder r
> einsetze, andere Ergebnisse bekomme? Setze ich z.B. für r =
> 1 ein, so ist immer m = n also die Relation reflexiv!?
> Wenn ich nun für n = 1 einsetze dann kann r jede beliebige
> Zahl aus [mm]\IN[/mm] sein und ich bekomme trotzdem m = n (denn
> [mm]1^{32}[/mm] z.B is ja immer noch 1 also ist die Relation wieder
> reflexiv!?
> Setze ich nun aber z.B. für n = 7 und für r = 3 ein ist
> die Relation nicht mehr reflexiv.
>
> Wie kann ich denn nun die Aufgabe angehen und allgemein
> lösen?
>
> Meine Lösung wäre folgende:
> Sei r =1 dann ist [mm]n^{r}[/mm] immer n und m = n => jedes Element
> steht in Relation zu sich selber => reflexiv.
>
> Vielen Dank vorab.
>
Du kannst nicht einfach das r auf irgendeinen Wert setzen.
Du hast deine Menge R. Schau dir nochmal an wie die definiert ist; was da für Elemente drin sind. Schreib dir ein paar Beispielelemente hin.
So, für "symmetrisch" musst du zeigen, dass wenn das Element (m,n) in R ist, dann ist auch das Element (n,m) in R.
Überlege dafür, ob (4,2) in R ist und ob (2,4) in R ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 So 28.06.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Danke für deine Antwort.
Ich verstehe sie nur leider nicht. Ich habe keine Menge M definiert. Die Aufgabe hat so wie ich sie gepostet habe keinerlei weitere Informationen. Und wie kann ich denn zeigen ob (m,n) in R ist?
Kannst du mir nicht mal ein Beispiel zeigen?
Danke schonmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 So 28.06.2009 | | Autor: | Merle23 |
> Danke für deine Antwort.
> Ich verstehe sie nur leider nicht. Ich habe keine Menge M
> definiert.
Ja, ich meinte die Menge R, hab mich verschrieben.
> Die Aufgabe hat so wie ich sie gepostet habe
> keinerlei weitere Informationen. Und wie kann ich denn
> zeigen ob (m,n) in R ist?
> Kannst du mir nicht mal ein Beispiel zeigen?
Ok.
(4,2) ist in R, denn es ist [mm] 4=2^2 [/mm] (also r=2 gewählt).
(2,4) ist nicht in R, denn es müsste ja [mm] 2=4^r [/mm] sein für ein r [mm] \in \IN. [/mm] Das geht aber nicht (es müsste ja r = 1/2 sein, aber 1/2 ist keine natürliche Zahl).
Somit ist die Relation R nicht symmetrisch, denn für Symmetrie müsste ja gelten, dass wenn (m,n) in R, so auch (n,m) in R.
Hier haben wir aber ein Gegenbeispiel. (4,2) ist drin, aber (2,4) nicht.
>
> Danke schonmal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Do 02.07.2009 | | Autor: | ChaoZz |
Vielen Dank.
Bedeutet das auch, dass R nicht reflexive ist, da (4,2) nicht auf sich selbst zeigt?
Ich muss also einfach irgend eine Zahl bzw "Zahlenpaar" finden, dass nicht zutrifft um z.B. zu beweisen, dass die ganze Relation z.B nicht symmetrisch ist?
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Hallo ChaoZz,
> Vielen Dank.
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> Bedeutet das auch, dass R nicht reflexive ist, da (4,2)
> nicht auf sich selbst zeigt? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diese Relation R wäre reflexiv, wenn für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelten würde [mm] $(n,n)\in [/mm] R$, also dass für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein [mm] $r\in\IN$ [/mm] existierte, so dass [mm] $n=n^r$ [/mm] ist ...
Kannst du zu einem beliebigen [mm] $n\in\IN$ [/mm] ein solches $r$ angeben oder findest du ein Gegenbsp.?
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> Ich muss also einfach irgend eine Zahl bzw "Zahlenpaar"
> finden, dass nicht zutrifft um z.B. zu beweisen, dass die
> ganze Relation z.B nicht symmetrisch ist?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ja, denn Symmetrie ist ja eine Allaussage, es muss für alle [mm] $(m,n)\in\IN^2$ [/mm] gelten, dass [mm] $(m,n)\in R\Rightarrow (n,m)\in [/mm] R$
Mit $(4,2)$ hast du schon ein Gegenbsp. gefunden, das dir die gesamte Symmetrie kaputt macht ...
LG
schachuzipus
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