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| Aufgabe | Auf [mm] $\IN\backslash \{0\} x\IN\backslash \{0\}$ [/mm] sei eine Relation R gegeben durch
[mm] $(a,b)R(c,d)\gdw [/mm] a*d=b*c$
a.) Beweisen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist
b.) Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4)? |
Hallo!!
Also ich glaube ich konnte einen Beweis dazu geben. Nur bin ich mir nicht sicher,
ob das so richtig ist?
[mm] $(a,b)R(c,d)\gdw [/mm] a*d=b*c$
Äquivalenz zweier Zahlnpaare:
[mm] $(a,b)=(c,d)\gdw a=c\wedge [/mm] b=d$
[mm] $(a,b)\not=(c,d) [/mm] wenn [mm] a\not=c$
[/mm]
[mm] $(a,b)\wedge [/mm] (c,d) [mm] \in \IN\backslash\{0\}$
[/mm]
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a+d=b+c$
$a*d=b*c$
[mm] $c=\bruch{a*d}{b}$
[/mm]
[mm] $b=\bruch{a*d}{c}$
[/mm]
[mm] $a=\bruch{b*c}{d}$
[/mm]
[mm] $\bruch{a*d}{b}+\bruch{a*d}{c}=\bruch{b*c}{d}+\bruch{b*c}{a}$
[/mm]
[mm] $\bruch{b}{a*d}+\bruch{c}{a*d}=\bruch{d}{b*c}+\bruch{a}{b*c}$
[/mm]
[mm] $\bruch{b}{a*d}+\bruch{c}{a*d}=\bruch{d}{a*d}+\bruch{a}{a*d} [/mm] |*a*d$
d+a=c+b
Was die Klasseneinteilung betrifft habe ich nicht viel Ahnung:
d=b+c-a
a=b+c-d
c=a+d-b
b=a+d-c
Aber wie kriege ich jetzt die Klassen raus?
Vielen Dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Di 29.04.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Auf [mm]\IN\backslash \{0\} x\IN\backslash \{0\}[/mm] sei eine
> Relation R gegeben durch
> [mm](a,b)R(c,d)\gdw a*d=b*c[/mm]
> a.) Beweisen Sie, dass R eine
> Äquivalenzrelation ist
> b.) Welche Elemente liegen in der Klasse (3,4)?
> Hallo!!
>
> Also ich glaube ich konnte einen Beweis dazu geben. Nur bin
> ich mir nicht sicher,
> ob das so richtig ist?
> [mm](a,b)R(c,d)\gdw a*d=b*c[/mm]
> Äquivalenz zweier Zahlnpaare:
> [mm](a,b)=(c,d)\gdw a=c\wedge b=d[/mm]
> [mm](a,b)\not=(c,d) wenn a\not=c[/mm]
>
> [mm](a,b)\wedge (c,d) \in \IN\backslash\{0\}[/mm]
> [mm](a,b)\sim (c,d) \gdw a+d=b+c[/mm]
>
> [mm]a*d=b*c[/mm]
> [mm]c=\bruch{a*d}{b}[/mm]
> [mm]b=\bruch{a*d}{c}[/mm]
> [mm]a=\bruch{b*c}{d}[/mm]
>
> [mm]\bruch{a*d}{b}+\bruch{a*d}{c}=\bruch{b*c}{d}+\bruch{b*c}{a}[/mm]
>
> [mm]\bruch{b}{a*d}+\bruch{c}{a*d}=\bruch{d}{b*c}+\bruch{a}{b*c}[/mm]
>
> [mm]\bruch{b}{a*d}+\bruch{c}{a*d}=\bruch{d}{a*d}+\bruch{a}{a*d} |*a*d[/mm]
>
> d+a=c+b
Was machst du hier, mit welchem Ziel?
Wozu dient die Addition?
Um zu zeigen, dass die Relation R eine Äquivalenzrelation ist, musst du
zeigen dass R reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
R ist refelexiv genau dann wenn (a,b)R(a,b) für alle (a,b) [mm] $\in (\IN \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus \{0\})$.
[/mm]
Um das zu zeigen, verwende [mm](a,b)R(c,d)\gdw a*d=b*c[/mm].
Ebenso für symmetrisch und transitiv.
>
> Was die Klasseneinteilung betrifft habe ich nicht viel
> Ahnung:
> d=b+c-a
> a=b+c-d
> c=a+d-b
> b=a+d-c
> Aber wie kriege ich jetzt die Klassen raus?
Du musst alle (a,b) [mm] $\in (\IN \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus\{0\})$ [/mm] finden mit (3,4)R(a,b).
>
> Vielen Dank!!!
>
>
Gruß
meili
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Hallo,
danke meili für deine Hilfe,
Also:
Reflexivität: $a*b=b*c [mm] \gdw [/mm] d*a= c*d$
Symmetrie: [mm] $(a,b)\sim (c,d)\Rightarrow (c,d)\sim [/mm] (a,b)$
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a*d= c*b$
[mm] $\gdw (c,d)\sim [/mm] (a,b)$
Transitivität: [mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d)und [mm] (c,d)\sim [/mm] (e,f) [mm] \Rightarrow (a,b)\sim [/mm] (e,f)$
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d)$ $ [mm] (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
$ [mm] \gdw [/mm] a*d= b*c$ [mm] $\gdw$ [/mm] $ c*f= d*e$
$ a*d*f =b*c*f $ $ b*c*f=b*d*e$
$ a*d*f= b*d*e$
$a*f= b*e$
$ [mm] (a,b)\sim(e,f)$
[/mm]
Aber damit ist die eine Äquivalenzrelation noch nicht bewiesen,oder?
Danke;)
sun_worshipper
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> Hallo,
> danke meili für deine Hilfe,
>
> Also:
>
> Reflexivität: [mm]a*b=b*c \gdw d*a= c*d[/mm]
> Symmetrie: [mm](a,b)\sim (c,d)\Rightarrow (c,d)\sim (a,b)[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim (c,d) \gdw a*d= c*b[/mm]
>
> [mm]\gdw (c,d)\sim (a,b)[/mm]
>
> Transitivität: [mm](a,b)\sim (c,d)und (c,d)\sim (e,f) \Rightarrow (a,b)\sim (e,f)[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim (c,d)[/mm]
> [mm](c,d)\sim (e,f)[/mm]
> [mm]\gdw a*d= b*c[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] [mm]c*f= d*e[/mm]
> [mm]a*d*f =b*c*f[/mm]
> [mm]b*c*f=b*d*e[/mm]
> [mm]a*d*f= b*d*e[/mm]
>
> [mm]a*f= b*e[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim(e,f)[/mm]
> Aber damit ist die eine Äquivalenzrelation noch nicht
> bewiesen,oder?
>
> Danke;)
> sun_worshipper
>
>
Hallo,
also wenn ich ehrlich bin, sieht das, was du da gemacht hast, ziemlich wirr aus. Ich kann ja hier mal die Reflexivität vorrechnen, damit du sieht, wie du den Rest angehen kannst:
Also, zu zeigen ist $(a,b)R(a,b)$ mit [mm] $(a,b)R(c,d):\gdw a\cdot d=b\cdot [/mm] c$.
Es gilt [mm] $(a,b)R(a,b)\overset{\mathrm{Def.}}{\iff} a\cdot [/mm] b = [mm] b\cdot [/mm] a [mm] \iff a\cdot [/mm] b = a [mm] \cdot [/mm] b$, und fertig, da die Multiplikation kommutativ ist (ich nehme mal an, das dürft ihr benutzen), und [mm] $a\cdot [/mm] b = a [mm] \cdot [/mm] b$ stimmt ja offensichtlich für alle $a, [mm] b\in\mathbb{N}^\times$. [/mm] Ich nehme mal an, das hast du bei dir ebenfalls gemeint. Sonderlich lesbar ist das aber nicht, um es mal vorsichtig auszudrücken.
Versuche die restlichen Beweise mal etwas strukturierter anzugehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 17.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Danke für deine schnelle Antwort!!
Okay, also nochmal von vorn:)
Die Relation R ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie sich reflexiv, symmetrisch
und transitiv verhält.
Reflexion: [mm] $(a,b)\sim [/mm] (a,b) mit (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw [/mm] a*d= b*c$
[mm] $(a,b)\sim (a,b)\gdw a*d=c*b\gdw [/mm] d*a=c*b$
Symmetrie: Wenn a=c ist, so ist c=a
[mm] $(a,b)\sim (c,d)\Rightarrow [/mm] (c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b)$
$ (c,d) [mm] \sim [/mm] (a,b) [mm] \gdw [/mm] c*b=d*a [mm] \gdw [/mm] a*d=c*b$
[mm] $\gdw (c,d)\sim [/mm] (a,b)$
Transitivität: $Wenn [mm] (a,b)\sim [/mm] (c,d) ist, so ist [mm] (c,d)\sim [/mm] (e,f) [mm] \Rightarrow (a,b)\sim(e,f)$
[/mm]
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (c,d) [mm] \gdw (c,d)\sim [/mm] (e,f)$
weil: [mm] $(a,b)\sim (c,d)\Rightarrow [/mm] a*d=b*c$
$ [mm] \gdw (c,d)\sim [/mm] (e,f) [mm] \gdw [/mm] c*f=d*e$
$a*d=b*c [mm] \gdw [/mm] c*f=d*e$
$a*d*f= b*d*e$
$a*f= b*e$
[mm] $(a,b)\sim [/mm] (e,f)$
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Hallo,
> Danke für deine schnelle Antwort!!
> Okay, also nochmal von vorn:)
> Die Relation R ist eine Äquivalenzrelation, wenn sie sich
> reflexiv, symmetrisch
> und transitiv verhält.
Jo
>
> Reflexion: [mm](a,b)\sim (a,b) mit (a,b) \sim (c,d) \gdw a*d= b*c[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim (a,b)\gdw a*d=c*b[/mm]
???
Oben hast du doch die Definition hingeschrieben, es ist
[mm](a,b)\sim (a,b)\gdw a\cdot{}\red b=b\cdot{}\red a[/mm]
Und dass das stimmt, hat mein Vorredner ja bereits begründet ...
>
> Symmetrie: Wenn a=c ist, so ist c=a
Nein, schlage nach, was Symmetrie bedeutet!
> [mm](a,b)\sim (c,d)\Rightarrow (c,d) \sim (a,b)[/mm]
Aha, hier steht es richtig. Was soll also der Quatsch darüber?
>
> [mm](c,d) \sim (a,b) \gdw c*b=d*a \gdw a*d=c*b[/mm]
>
> [mm]\gdw (c,d)\sim (a,b)[/mm]
Aha, also insgesamt [mm](c,d)\sim (a,b) \ \gdw \ (c,d)\sim (a,b)[/mm]
Das ist ja ein großer Erkenntnisgewinn ...
Du wolltest doch zeigen: [mm](a,b)\sim (c,d) \ \Rightarrow \ (c,d)\sim (a,b)[/mm]
Gelte also [mm](a,b)\sim (c,d) \ \Rightarrow \ ad=bc \ \Rightarrow \ cb=da[/mm] warum?
[mm]\Rightarrow \ (c,d)\sim (a,b)[/mm]
>
> Transitivität: [mm]Wenn (a,b)\sim (c,d) ist, so ist (c,d)\sim (e,f) \Rightarrow (a,b)\sim(e,f)[/mm]
Nein, was soll das "so ist ..." ?
Zu zeigen ist:
Wenn [mm](a,b)\sim (c,d)[/mm] und [mm](c,d)\sim (e,f)[/mm], dann auch [mm](a,b)\sim (e,f)[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim (c,d) \gdw (c,d)\sim (e,f)[/mm]
Hä?
Du setzt doch voraus, dass [mm](a,b)\sim (c,d)[/mm] UND [mm](c,d)\sim (e,f)[/mm]
und musst daraus folgern, dass auch gilt [mm](a,b)\sim (e,f)[/mm]
>
> weil: [mm](a,b)\sim (c,d)\Rightarrow a*d=b*c[/mm]
>
> [mm]\gdw (c,d)\sim (e,f) \gdw c*f=d*e[/mm]
>
> [mm]a*d=b*c \gdw c*f=d*e[/mm]
> [mm]a*d*f= b*d*e[/mm]
>
> [mm]a*f= b*e[/mm]
>
> [mm](a,b)\sim (e,f)[/mm]
>
Du gehst sehr sorglos mit den Pfeilen um.
Schaue, was du benötigst, es müssen nicht immer Äquivalenzen sein ...
Mit [mm](a,b)\sim (c,d)[/mm] und [mm](c,d)\sim (e,f)[/mm] gilt nach Def. der Relation
[mm]ad=bc[/mm] und [mm]cf=de[/mm]
Nun musst du daraus folgern, dass gilt [mm]af=ce[/mm], mithin [mm](a,b)\sim (e,f)[/mm]
Mache das mal schön ordentlich.
Siehst du, wo es von Bedeutung ist, dass aus der Grundmenge die 0 herausgenommen wurde?
Liebe Grüße
schachuzipus
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Okay, ich hab's jetzt ordentlich aufgeschrieben, doch was mache ich mit der Klasseneinteilung?
Das ist irgendwie chinesisch für mich?! Kann mir das jemand erklären?
Also:
$(3,4)R(a,b) für alle [mm] (a,b)\in (\IN\backslash \{0\}) \times (\IN\backslash \{0\})$
[/mm]
das habe ich nicht wirklich verstanden.
Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Die zu (3,4) gehörende Äquivalenzklasse ist
[mm] \{(a,b) \in (\IN \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus \{0\}):(3,4)R(a,b)\}=\{(a,b) \in (\IN \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus \{0\}):3b=4a\}=\{(a,b) \in (\IN \setminus \{0\}) \times (\IN \setminus \{0\}):\bruch{a}{b}=\bruch{3}{4}\}
[/mm]
FRED
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Aha,
also:
[mm] $(a,b)R(c,d)\gdw [/mm] a*d=b*c$
da eine Klasseneinteilung zu 3 und 4 gefragt ist, gibt es eine Relation R mit (3,4)R(a,b):
$(3,4)R(a,b)=3b=4a [mm] \Rightarrow \bruch{3}{4}=\bruch{a}{b}$
[/mm]
Aber ich dachte, eine Klasseneinteilung ist eine Einteilung in disjunkte Teilmengen
und woher weiß ich welche der Mengen in Relation zueinander stehen?
[mm] $(3,4)R(c,d)\gdw [/mm] 3d=4c$
könnte es ja auch sein, oder?
Vielen Dank für eure liebe Hilfe!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mi 14.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das mit den Brüchen war ein Hinweis! welche Brüche sind zu 3/4 äquivalent ( in der Schule sagt man gleich) welche pare (a,b) sind dann zu (3,4) äquivalent?
Gruß leduart
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du meinst [mm] $\bruch{3}{4}=\bruch{6}{8}=\bruch{9}{12}$
[/mm]
aber das sind undendliche Mengen?
Habe ich irgendwas falsch verstanden??
danke leduart!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mi 14.05.2014 | | Autor: | chrisno |
Ja sicher, was erwartest Du denn sonst, wenn Du [mm] $\IN \times \IN$ [/mm] in Klassen zerlegen willst?
Wobei mich "unendliche Mengen" eher an Weltraum und unendliche Weiten erinnern.
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