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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:12 Mi 27.10.2004 | | Autor: | Becks |
Ich blicke einfach nicht durch! Da sind zwei Aufgaben, aus denen ich nicht schlau werde:
Aufgabe1:
Es sei [mm] \IN [/mm] = {1,2,3,...} die Menge aller natürlichen Zahlen. Zeigen Sie, dass es sich bei der auf [mm] \IN [/mm] ^2 definierten Relation um eine Äquivalenzrelation handelt.
R := {((a,b,),(c,d)) [mm] \in \IN [/mm] ^2 [mm] \times \IN [/mm] ^2 : ad = bc} [mm] \subset \IN [/mm] ^2 [mm] \times \IN [/mm] ^2
Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass sie reflexiv, transitiv und symmetrisch ist. aber wie??
Aufgabe2:
Sei R [mm] \subseteq [/mm] A ^2 sowohl eine Äquivalenzrelation- als auch eine Ordnungsrelation auf einer Menge A. Zeigen Sie R ist die Gleichheitsrelation auf A d.h.
xRy [mm] \gdw [/mm] x = y [mm] \forall [/mm] x,y A.
Da weiß ich überhaupt nicht, wie ich das machen soll....
Ich hoffe ihr könnt mir wenigstens etwas helfen. Ich blicke da gar nicht durch!
Ein verzweifelter Becks
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:46 Do 28.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Becks,
> Ich blicke einfach nicht durch! Da sind zwei Aufgaben, aus
> denen ich nicht schlau werde:
Ich schlage vor, wir besprechen erst die erste Aufgabe.
> Aufgabe1:
> Es sei [mm]\IN[/mm] = {1,2,3,...} die Menge aller natürlichen
> Zahlen. Zeigen Sie, dass es sich bei der auf [mm]\IN[/mm] ^2
> definierten Relation um eine Äquivalenzrelation handelt.
>
> R := [mm] \{((a,b,),(c,d)) \in \IN^2 \times \IN^2 : ad = bc\} [/mm]
> [mm]\subset \IN[/mm] ^2 [mm]\times \IN[/mm] ^2
>
> Ich weiß, dass ich zeigen muss, dass sie reflexiv,
> transitiv und symmetrisch ist. aber wie??
Dann zeige ich dir mal, wie man es für die Reflexivität macht, und du erledigst den Rest, okay?
Für die Relfexivität müssen wir zeigen, dass für jedes Element [mm] $(a,b)\in\IN^2$ [/mm] gilt:
[mm] $((a,b),(a,b))\in [/mm] R$ (jedes Element steht also in Relation zu sich selbst)
Ob das stimmt oder nicht überprüft man an der Bedingung, die zwei Elemente erfüllen müssen, damit sie in der Menge R liegen (siehe Mengenbeschreibung oben).
Für [mm] $((\red{a},\red{b}),(\blue{a},\blue{b}))$ [/mm] setze ich also die Komponenten in die Bedingungsgleichung ein und erhalte:
[mm] $\red{a}*\blue{b}=\red{b}*\blue{a}$
[/mm]
Ich würde sagen, dass das eine wahre Aussage ist. Also gilt [mm] $((a,b),(a,b))\in [/mm] R$ für alle [mm] $(a,b)\in\IN^2$. [/mm] Also ist R reflexiv.
Wie oben angesprochen, versuche bitte die restlichen Bedingungen, die eine Äuivalenzrelation erfüllen muss, selbst zu überprüfen.
Die Rechnungen schreibe bitte hier ins Forum.
Diese Äuivalenzrelation ist übrigens eine sehr bekannte, sie wird schon in der 6. Klasse untersucht 
Dort heißen die Elemente aus [mm] $\IN^2$ [/mm] aber noch "Brüche" und Relation gibt an, wann zwei Brüche äquivalent sind.
> Aufgabe2:
> Sei R [mm]\subseteq[/mm] A ^2 sowohl eine Äquivalenzrelation- als
> auch eine Ordnungsrelation auf einer Menge A. Zeigen Sie R
> ist die Gleichheitsrelation auf A d.h.
>
> xRy [mm]\gdw[/mm] x = y [mm]\forall[/mm] x,y A.
>
> Da weiß ich überhaupt nicht, wie ich das machen soll....
Doch noch ein Tipp:
Nehme dir zwei beliebige Elemente x,y [mm] \in [/mm] A mit [mm] $(x,y)\in [/mm] R$ her.
Folgere nun daraus, dass R die Eigenschaften einer Äquivalenz- und ein Ordnungsrelation hat (also reflexiv, transitiv, symmetrisch und antisymmetrisch), dass dann x=y gelten muss.
So, ich hoffe, du kommst nun etwas weiter, falls nicht, kannst du hier ja weiter nachfragen.
Viele Grüße,
Marc
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Hallo,
ich habe die zweite Aufgabe auch gestellt bekommen und komme nicht so recht weiter. So wie ich die Aufgabenstellung verstehe ("Sei R [mm] \subseteq A^{2} [/mm] sowohl...), sind die Eigenschaften Äquivalenzrelation und Ordnungsrelation schon vorgegeben. Was muss dann noch gemacht werden, um zu Zeigen, dass R eine Gleichheitsrelation auf A ist? Zudem habe ich Schwierigkeiten zu begreifen, wie eine Relation zugleich symmetrisch und antisymmetrisch sein kann?!
Wäre echt nett, wenn ihr mir helfen könntet, ich grüble schon aange über der Aufgabe und komme nicht weiter.
Danke schonmal!
Grüße, Micha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Fr 03.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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