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| Aufgabe | Sei R eine Relation auf einer Menge M, die reflexiv und transitiv ist. Wir definieren eine neue
Relation ~ auf M durch:
m~n [mm] \gdw [/mm] (mRn und nRm)
für n,m in M.
(a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) [m] bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m in M bezüglich ~. Zeigen Sie: Sind
m,m', n, n' in M mit [m] = [m'] und [n] = [n'], dann gilt mRn genau dann, wenn
m'Rn' gilt.
Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~ . Wir definieren auf A eine Relation
R' durch
[m]R'[n] [mm] \gdw [/mm] mRn für n,m in M.
Uberlegen Sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht. (Hinweis: Es hat was
mit dem ersten Teil von (b) zu tun.)
(c) Zeigen Sie, dass R' eine partielle Ordnung ist. |
Ich versteh von der Aufgabe irgendwie überhaupt nichts. Bin voll verzweifelt, hoffentlich kann mir jemand helfen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo kleindodo!
> Sei R eine Relation auf einer Menge M, die reflexiv und
> transitiv ist. Wir definieren eine neue
> Relation ~ auf M durch:
> m~n [mm]\gdw[/mm] (mRn und nRm)
>
> für n,m in M.
> (a) Zeigen Sie, dass ~ eine Äquivalenzrelation ist.
> (b) [m]bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m in M bezüglich ~. Zeigen Sie: Sind
> m,m', n, n' in M mit [m]= [m'] und [n] = [n'], dann gilt mRn genau dann, wenn
> m'Rn' gilt.
>
> Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~ . Wir definieren auf A eine Relation
> R' durch
> [m]R'[n] [mm]\gdw[/mm] mRn für n,m in M.
>
> Uberlegen Sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht. (Hinweis: Es hat was
> mit dem ersten Teil von (b) zu tun.)
>
> (c) Zeigen Sie, dass R' eine partielle Ordnung ist.
> Ich versteh von der Aufgabe irgendwie überhaupt nichts. Bin voll verzweifelt, hoffentlich kann mir jemand helfen!
Mmh, die Aussage "ich versteh überhaupt nichts" ist ziemlich schwierig. Wo muss ich denn jetzt anfangen, zu erklären? Was eine Äquivalenzrelation ist, solltest du wissen, notfalls nachschlagen (Buch, Vorlesungsmitschrift, Wikipedia, sonstiges Internet). Was reflexiv und transitiv sind, hat sich damit dann auch gleich erledigt. Und die neue Relation, die jetzt definiert wird, bedeutet:
m und n stehen in Relation zueinander (das ist das m~n), genau dann, wenn m bzgl. der alten Relation R zu n in Relation stand, und ebenso n bzgl. R zu m in Relation stand.
In (a) musst du jetzt für diese neue Relation die Eigenschaften der Äquivalenzrelation zeigen. Probier das erstmal, und dann sehen wir weiter.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Aufgabe | | In (a) musst du jetzt für diese neue Relation die Eigenschaften der Äquivalenzrelation zeigen. |
also muss ich erst mal reflexivität symmetrie und transitivität beweisen.
wenn m~m dann ist auch mRm und mRm ?
wenn m~n dann ist auch n~m ?
und ist m~n und n~v dann ist auch m~v ?
genau hier liegt mein problem. schreibt man das so oder ist es nur die halbe wahrheit?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
sei R eine Relation auf M. Da R reflexiv ist, gilt mRm, also auch m ~ m für alle $m [mm] \in [/mm] M$.
Weiter gilt m ~ n [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (mRn und nRm) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] (nRm und mRn) [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] n ~ m, also ist R symmetrisch.
Seien m ~ n und n ~ o, dann gilt .... jetzt du.... wie oben...
Gruß
Will
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Hi,
also ich versuchs
seien m~n und n~o dann gilt (mRn und nRo) daraus folgt m~o ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
> Hi,
>
> also ich versuchs
>
> seien m~n und n~o dann gilt (mRn und nRo) daraus folgt m~o
etwas mehr Mühe mußt du dir schon geben... ich machs nicht mehr vor.
Gruß
Will
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m~n <=> (mRn und nRm) und n~o <=> (nRo und oRn) => m~o
ich weiß echt net wie ich des aufschreiben muss :(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Fr 26.10.2007 | | Autor: | koepper |
> m~n <=> (mRn und nRm) und n~o <=> (nRo und oRn)
bis hier ist das gut!
Aber wieso jetzt plötzlich schon das Ergebnis? Das ist gar nicht klar.
> => m~o
überlege, was gelten müßte, damit das rauskommt.
Gruß
Will
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| Aufgabe | => m~o
überlege, was gelten müßte, damit das rauskommt.
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es müsste dann dastehen
(mRo und oRm) <=> m~o
aber ich weiß nicht, wie ich das zusammenbauen soll.
soll ich schreiben:
m~n <=> (mRn und nRm) und n~o <=> (nRo und oRn) daraus folgt dann, dass (mRo und oRm) <=> m~o gilt ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Sa 27.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> soll ich schreiben:
>
> m~n <=> (mRn und nRm) und n~o <=> (nRo und oRn) daraus
> folgt dann, dass (mRo und oRm) <=> m~o gilt ?
ja, richtig, aber die Begründung brauchen wir noch...
Gruß
Will
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| Aufgabe | | ja, richtig, aber die Begründung brauchen wir noch... |
oh man ich kapiers nicht :(
im prinzip isses logisch, dass des folgt, aber wieso genau kann ich net sagen.
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Hallo,
Du hattest doch sinngemäß gesagt:
m~n und n~o
<=> (mRn und nRm) und (nRo und oRn)
==> mRo und oRm
==>...
<=> m~o gilt
An der Stelle mit den ... fehlt ein Schritt.
Schau Dir mal die Voraussetzungen an. Welche Eigenschaft hat die Relation R?
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Schau Dir mal die Voraussetzungen an. Welche Eigenschaft hat die Relation R? |
Die Relation R ist reflexiv und transitiv.
also kann ich wieder sagen (mRo und oRm)<=>(oRm und mRo)
aber was muss genau denn bei ... rein? wie muss das geschrieben werden???
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Hallo,
ich sehe gerade, daß in dem, was ich zuvor schrieb, ein Fehler war, die Lücke war an die falsche Stelle gerutscht.
Entschuldigung für die Verwirrung.
So ist es richtig:
m~n und n~o
<=> (mRn und nRm) und (nRo und oRn)
==>...
==> mRo und oRm
<=> m~o
An der Stelle der Lücke mußt Du nun die Beziehungen der Vorzeile so sortieren, daß Du anschließend die Transitivität v. R verwenden kannst, um auf mRo und oRm zu kommen.
Aber möglicherweise ist Dir das längst klar - war halt blöd mit der Lücke an so einer dummen Stelle...
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | m~n und n~o
<=> (mRn und nRm) und (nRo und oRn)
==>...
==> mRo und oRm
<=> m~o |
letzer versuch also ;)
m~n und n~o
<=> (mRn und nRm) und (nRo und oRn)
=> (mRn und nRo) und (oRn und nRm)
=> m~o und o~m
wärs dann so richtig?
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> wärs dann so richtig?
Naj, dafür, daß Du das Richtige eingesetzt hast, hast Du was anderes verwurschtelt...
So wär's richtig:
> m~n und n~o
>
> <=> (mRn und nRm) und (nRo und oRn)
> => (mRn und nRo) und (oRn und nRm)
==> (aufgrund der Transitivität von R) mRo und oRm
==> [mm] m\sim [/mm] o.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
warum muss denn da überhaupt noch was bei ... hin? Da steht doch nichts anderes als wir in der Aufgabenstellung schon haben: m [mm] \sim [/mm] n [mm] \gdw [/mm] (mRn und nRm) nur dass halt statt dem n nun ein o dasteht. Und daraus folgt halt m [mm] \sim [/mm] o , oder? Mir fällt da garkein Zwischenschritt ein. Vielleicht steh ich heut auch einfach nur total aufm Schlauch^^
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> warum muss denn da überhaupt noch was bei ... hin?
s. hier.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | (b) [m]bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m in M bezüglich ~. Zeigen Sie: Sind
> m,m', n, n' in M mit [m]= [m'] und [n] = [n'], dann gilt mRn genau dann, wenn
> m'Rn' gilt.
>
> Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~ . Wir definieren auf A eine Relation
> R' durch
> [m]R'[n] $ [mm] \gdw [/mm] $ mRn für n,m in M.
>
> Uberlegen Sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht. (Hinweis: Es hat was
> mit dem ersten Teil von (b) zu tun.) |
eine Äquivalenzklasse bedeutet laut Def:
[a]= {b in A: b~a}
leider bringt mich diese Def. hier kein deut weiter.
wie lässt sich die Aufgabe (b) lösen? BItte helft mir !
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> (b) [m]bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m in M bezüglich ~. Zeigen Sie: Sind
> > m,m', n, n' in M mit [m]= [m'] und [n] = [n'], dann gilt mRn genau dann, wenn
> > m'Rn' gilt.
> >
> > Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~ . Wir definieren auf A eine Relation
> > R' durch
> > [m]R'[n] [mm]\gdw[/mm] mRn für n,m in M.
> >
> > Uberlegen Sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht. (Hinweis: Es hat was
> > mit dem ersten Teil von (b) zu tun.)
> eine Äquivalenzklasse bedeutet laut Def:
>
> [a]= {b in A: b~a}
>
> leider bringt mich diese Def. hier kein deut weiter.
> wie lässt sich die Aufgabe (b) lösen? BItte helft mir !
Hallo,
jetzt streichen wir Deine Äquivalenzklassendefinition mal so an, daß sie zur Aufgabe paßt.
Was ist die Äquivalenzklasse von m in M, [m], bzgl [mm] \sim.
[/mm]
Da sind sämtliche Elemente aus M drin, die äquivalent zu m sind, d.h. [m][mm] =\{x in A: x~m \}
[/mm]
Zu zeigen: Es sei vorausgesetzt, daß [m]= [m'] und [n] = [n'].
Dann gilt: mRn <==> m'Rn'
Bevor Du hier irgendetwas beweist, mußt Du Dir erstmal überlegen, was es nun bedeutet, wenn zwei Äquivalenzklassen gleich sind:
Dann enthalten sie dieselben Elemente. Wenn man das weiterspinnt, erfährt man etwas über m und m'.
Den 2. Teil v. b) stellen wir zunächst zurück.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Bevor Du hier irgendetwas beweist, mußt Du Dir erstmal überlegen, was es nun bedeutet, wenn zwei Äquivalenzklassen gleich sind:
Dann enthalten sie dieselben Elemente. Wenn man das weiterspinnt, erfährt man etwas über m und m' |
Erfahr ich daraus also, dass m und m' gleich sind?
Ich bin echt zu dumm zum Mathestudium, hab ich so langsam das Gefühl.
Ich komm so einfach nicht weiter.
Könnt ihr mir nicht konkretere HIlfestellungen geben, bitte?
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Einen wunderschönene guten Morgen wünsche ich!
Wenn ich das schon höre... "zu dumm zum Mathestudium". Der Sprung von der Schule zur Uni ist nunmal ein großer, alles ist ungewohnt, die Denkweise, die Formulierung...
Letztlich ist alles eine Frage der Gewohnheit und Routine. Und um die zu erwerben, muss eben anfangs besonders peinlich genau auf Details geachtet werden, damit sich alles richtig einschleift.
Trotzdem ist es nicht verboten, mit den Dingen was zu verbinden! Mach Dir anhand eines Beispiels klar, was hier geschieht und was gemeint ist mit der Aufgabe. Dass sie dann trotzdem noch allgemeingültig bewiesen werden muss versteht sich von selbst, im eigentlichen Beweis hat das Beispiel nichts verloren, aber Dir hilft es vielleicht, Dir die Dinge klarer zu machen.
Was haben wir hier also? Eine Relation R, die reflexiv und transitiv ist. Ein Beispiel einer solchen Relation ist die Folgende: Man betrachte eine Menge von Menschen (z.B. alle Studenten in Deinem Semester) und messe ihre Größe, gerundet auf ganze cm.
Für zwei Menschen m und n definiere dann eine Relation R:
nRm genau dann wenn n kleiner ist als m oder wenn sie gleich groß sind.
Der "gleich groß"-Passus sichert uns die Reflexivität (mach Dir das klar!) und auch Transitivität ist nicht schwer zu sehen.
Im Allgemeinen ist diese Relation jedoch nicht symmetrischen, wenn m und n nämlich verschiedene Größen haben (z.B. n wirklich kleiner ist), dann gilt zwar nRm, aber mRn gilt eben nicht.
Die (neue) Relation [mm] $\sim$ [/mm] wird nun so definiert: $n [mm] \sim [/mm] m [mm] \iff [/mm] nRm [mm] \mbox{ und } [/mm] mRn$. Im Beispiel heißt das: Zwei Menschen m und n stehen in der Relation [mm] $\sim$, [/mm] wenn m's Größe kleiner oder gleich der Größe von n ist und umgekehrt - in diesem Fall haben sie aber die gleiche Größe!
Die Relation [mm] $\sim$ [/mm] wird also auf den symmetrischen Teil von R angewandt, sozusagen. Durch diese Definition wird aus ihr eine symmetrische Relation (im Beispiel: gleich groß sein) und sie "erbt" gewissermaßen die Reflexivität und Transitivität von R, was sie zu einer Äquivalenzrelation macht. (Dies formal nachzuweisen war Gegenstand von Aufgabe a!)
Die weiteren Aufgabenteile beschäftigen sich mit den Äquivalenzklassen. Gezeigt werden soll letztendlich, dass auf dieser Menge der Klassen eine Relation R' definiert werden kann (gewissermaßen der nciht symmetrische Teil von R), die dann antisymmetrisch ist, d.h. wenn nR'm und mR'n gilt, dann folgt n = m. Dies ist die Eigenschaft (neben Reflexivität und Transitivität) einer partiellen Ordnung.
Alles klar, konzeptionell? Zögere nicht, für Dich selbst Beispiele zu machen und ganz genau hinzuschauen bis Du verstanden hast, was die Aufgabe von Dir will! Dann klappts auch mit dem Lösen.  Meist zumindest.
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 So 28.10.2007 | | Autor: | kleindodo |
danke für die ausfürhliche antwort. den teil a hab ich jetzt glaub ich verstanden.
nur im teil b mit den äquivalenzklassen steig ich immer noch nicht durch.
und für den teil c weiß ich zwar, was eine partielle Ordnung erfüllen muss,aber ich kann es nicht umsetzen.
wahrscheinlich ist die aufgabe gar nicht so schwer, aber bis man sie einmal verstanden hat, dauert ne weile.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Zu c hab ich auch eine Frage:
R ist ja reflexiv und transitiv, steht ja in der Aufgabenstellung, somit ist die Reflexivität und Transitivität von R' ja leicht zu zeigen. Aber ist R denn automatisch Antisymmetrisch wenn das nicht in der Aufgabe steht? Wenn nicht, dann hab ich nämlich keine Ahnung wie man das dann für R' zeigen soll.
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> Transitivität von R' ja leicht zu zeigen. Aber ist R denn
> automatisch Antisymmetrisch wenn das nicht in der Aufgabe
> steht?
Nein!
> Wenn nicht, dann hab ich nämlich keine Ahnung wie
> man das dann für R' zeigen soll.
Hast Du schon begonnen?
Du mußt streng nach Def. vorgehen.
Sei [a]R'[b] und [b]R'[a]
<==> ...
In weiteren Verlauf kannst Du sicher eergebnisse der vorhergehenden Teilaufgaben verwenden.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:59 Mo 29.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Also, da bin ich nicht weit gekommen:
Sei [m]R'[n] und [n]R'[m]
[mm] \gdw [/mm] mRn und nRm
[mm] \gdw [/mm] m [mm] \sim [/mm] n
und das ist doch symmetrisch, heißt das dann nicht dass [m]R'[n] und [n]R'[m] möglich ist? Oder nur wenn m [mm] \sim [/mm] n und ansonsten nicht...?
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> Also, da bin ich nicht weit gekommen:
> Sei [m]R'[n] und [n]R'[m]
> [mm]\gdw[/mm] mRn und nRm
> [mm]\gdw[/mm] m [mm]\sim[/mm] n
Hallo,
erinnerst Du Dich denn noch daran, was Du hier zeigen wolltest?
Was möchtest Du am Ende gerne bekommen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 Mo 29.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Dass [m]=[n] denk ich mal
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> Dass [m]=[n] denk ich mal
Ja.
Und womit endete Dein Beweis, an welcher Stelle kamst Du nicht weiter, und was hat das mit [m]=[n] zu tun?
Gruß v. Angela
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> Bevor Du hier irgendetwas beweist, mußt Du Dir erstmal
> überlegen, was es nun bedeutet, wenn zwei Äquivalenzklassen
> gleich sind:
> Dann enthalten sie dieselben Elemente. Wenn man das
> weiterspinnt, erfährt man etwas über m und m'
Erfahr ich daraus also, dass m und m' gleich sind?
Hallo,
wenn zwei Mengen gleich sind, enthalten sie dieselben Elemente.
Wenn also [m]=[m'] dasteht, so bedeutet das, das beide Mengen dieselben Elemente enthalten. Jedes Element von [m] ist auch in [m'] und umgekehrt.
Da [mm] \sim [/mm] reflexiv ist, ist m [mm] \in[/mm] [m]. (Überleg' Dir genau, ob Du das verstehst)
==> (denk an die Mengengleichheit)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Also, ich hab jetzt ein bisschen rumüberlegt, weiß aber nicht ob ich jetzt schon fertig bin mit dem Beweis oder ob noch was zwischendrin oder am Schluss fehlt. Ich mach mal da weiter wo ihr grad seid:
Da [m] = [m'] , sind die Elemente der Äquivalenzklassen gleich. Somit ist auch m [mm] \in [/mm] [m']
Genauso bei n. und andersrum auch mit m' und n', also:
m,m' [mm] \in[/mm] [m] und [m']
n,n' [mm] \in [/mm] [n] und [n']
mRn [mm] \gdw [/mm] mRn
Da aber m' in der gleichen Menge wie m ist und n' in der gleichen Menge wie n, gilt:
mRn [mm] \gdw [/mm] m'Rn'
reicht das als Beweis?
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> Also, ich hab jetzt ein bisschen rumüberlegt, weiß aber
> nicht ob ich jetzt schon fertig bin mit dem Beweis oder ob
> noch was zwischendrin oder am Schluss fehlt. Ich mach mal
> da weiter wo ihr grad seid:
>
> Da [m]= [m'] , sind die Elemente der Äquivalenzklassen gleich. Somit ist auch m [mm]\in[/mm] [m']
> Genauso bei n. und andersrum auch mit m' und n', also:
> m,m' [mm]\in[/mm] [m]und [m']
> n,n' [mm]\in[/mm] [n] und [n']
Der nächste Schritt wäre, daß Du Dir überlegst, in welcher Beziehung die Elemente m,m' (und entsprechend n,n') stehen, wenn sie in einer gemeinsamen Äquivalenzklasse liegen.
> mRn [mm]\gdw[/mm] mRn
> Da aber m' in der gleichen Menge wie m ist und n' in der gleichen Menge wie n, gilt:
> mRn [mm]\gdw[/mm] m'Rn'
>
> reicht das als Beweis?
Nein,
das geht ja so schnell, daß es kein Mensch verstehen kann.
Verstehst Du es?
> Da aber m' in der gleichen Menge wie m ist und n' in der gleichen Menge wie n, gilt:
> mRn [mm]\gdw[/mm] m'Rn'
Warum??? Die Aussage stimmt natürlich, aber Du lieferst keine schlüssige Begründung.
Und um die liefern zu können, mußt Du (s.o) darüber nachgedacht haben, was es bedeutet, wenn
> m,m' [mm]\in[/mm] [m]und [m']
> n,n' [mm]\in[/mm] [n] und [n']
liegen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Das ist wahrscheinlich das Problem: mir erscheint das so logisch dass es für mich als Beweis gilt und ich einfach keine Ahnung hab was für ein Zwischenschritt denn da noch "reingequetscht" werden sollte.
Ich bin nur so weit gekommen:
[m'] und [n'] kann man ja im Prinzip auch als [m] und [n] schreiben, macht ja keinen Unterschied (oder?)
Dann hab ich versucht noch ein x [mm] \in[/mm] [m] und ein y [mm] \in [/mm] [n] mit reinzubringen um irgendwie zu zeigen dass es für jedes beliebige Element aus den Äquivalenzklassen gilt, aber das hat mich nur noch weiter durcheinander gebracht und ich konnte nichts mit anfangen. Was kann man denn sonst noch für Beziehungen zw. m und m' (bzw. n und n') herstellen? Bringt mich mRm' und nRn' irgendwie weiter? Dass ich irgendwie mit der Transitivität von R schaffe, also: mRn [mm] \Rightarrow [/mm] mRm'und m'Rn ?
Oder ist das totaler Schwachsinn was ich da mache?^^
Danke übrigens für die ganzen Tips :)
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> Das ist wahrscheinlich das Problem: mir erscheint das so
> logisch dass es für mich als Beweis gilt
Hallo,
das kann zwei Ursachen haben: 1. mangelndes Problembewußtsein aufgrund mangelnder Übung oder 2.
Du bist wahnsinnig gut...
> Zwischenschritt denn da noch
> "reingequetscht" werden sollte.
Es geh nicht darum, auf Teufel komm raus etwas hineinzuquetschen, sondern es geht um schlüssige Begründungen.
Deine Beweise müssen so sein, daß ein Leser, der ein bißchen Ahnung von der Sache hat, nur nicken muß und von Zeile zu Zeile sagen: "Genau".
Es dürfen für den informierten Leser in solchen Übungsbeweisen keine gedanklichen Herausforderungen liegen.
> Ich bin nur so weit gekommen:
> [m'] und [n'] kann man ja im Prinzip auch als [m]und [n] schreiben, macht ja keinen Unterschied (oder?)
Es war ja bei b) vorausgesetzt, daß [m]=[m'] und [n]=[n`] gilt.
Wir hatten doch weiter oben schon festgestellt, daß [mm] m\in [/mm] [m'] und [mm] n\in [/mm] [n'].
Nach wie vor steht vorhin gestellte Frage im Raum, in welcher Beziehung m,m' und n,n' zueinander stehen.
Wie ist denn nochmal [m'] definiert? Welche Elemente sind da drin?
Wenn Du Dir das alles überlegt hast, kennst Du die Voraussetzungen, unter denen [m]R'[n] $ [mm] \gdw [/mm] $ mRn zu beweisen ist.
Dann kann es losgehen:
[m]R'[n]
==> ... (Def. v. R' verwenden)
Danach wirst Du die Voraussetzung ins Spiel bringen müssen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
An R' denk ich ja noch garnicht, hänge ja noch davor fest^^
Also, hab mir jetzt mal folgendes überlegt:
[m'] = {x [mm] \in [/mm] A | x [mm] \sim [/mm] m'}
[m] = {x [mm] \in [/mm] A | x [mm] \sim [/mm] m}
[m'] = [m]
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] m' = x [mm] \sim [/mm] m
das ganze noch mit n,n' und y (ich nehm mal an du weißt schon was ich mein)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] m' = x [mm] \sim [/mm] m und y [mm] \sim [/mm] n' = y [mm] \sim [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] mRn [mm] \Rightarrow [/mm] m'Rn' (steht ja in der Aufgabe)
Wegen Symmetrie von [mm] \sim [/mm] :
m' [mm] \sim [/mm] x = m [mm] \sim [/mm] x und n' [mm] \sim [/mm] y = n [mm] \sim [/mm] y
[mm] \Rightarrow [/mm] xRy [mm] \Rightarrow [/mm] xRy
Und weil das stimmt stimmt auch mRn [mm] \Rightarrow [/mm] m'Rn'
Also ich vermute ja schon dass das so nich stimmen kann, aber was anderes fällt mir wirklich nicht ein. Langsam verzweifel ich echt an der Aufgabe...bzw. an mir
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> An R' denk ich ja noch garnicht, hänge ja noch davor
> fest^^
> Also, hab mir jetzt mal folgendes überlegt:
> [m'] = {x [mm] \inA [/mm] | x [mm] \sim [/mm] m'}
> [m]= {x [mm] \inA [/mm] | x [mm] \sim [/mm] m}
> [m'] = [m]
> [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] m' = x [mm] \sim [/mm] m
Was soll diese Gleichung bedeuten? Wie kann x [mm]\sim[/mm] m' gleich irgendetwas sein???
Aber es ist trotzdem nicht soooo übel, was Du da schreibst, ich hoffe einfach mal, daß Du jetzt herausgefunden hast,
daß unter der Voraussetzung [m'] = [m] gilt: [mm] x\sim [/mm] m [mm] \gdw x\sim [/mm] m'.
>
> das ganze noch mit n,n' und y (ich nehm mal an du weißt schon was ich mein)
Ja, das verstehe ich gut.
Du kannst folgern, daß [mm] m\sim [/mm] m' und [mm] n\sim [/mm] n' gilt.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] m' = x [mm]\sim[/mm] m und y [mm]\sim[/mm] n' = y [mm]\sim[/mm] n [mm]\Rightarrow[/mm] mRn [mm]\Rightarrow[/mm] m'Rn' (steht ja in der Aufgabe)
Hier kann ich nicht mehr folgen.
Nun sollst Du doch zeigen, daß unter der Voraussetzung [m] = [m'] und [n] = [n'] gilt:
mRn [mm] \gdw [/mm] m'Rn' .
Sei also
mRn. (Ziel: dann gilt m'Rn' )
Wegen [m] = [m'] ist [mm] m'\in[/mm] [m], also [mm] m'\sim [/mm] m .
Das ist äquivalent zu m'Rm und mRm' (Def. von [mm] \sim).
[/mm]
Man hat jetzt also insbes. m'Rm und mRn, also m'Rn (wg. Transitivität von R).
Nun versuch so ähnlich weiterzumachen, so daß Du bei m'Rn' landest.
Danach die Rückrichtung (keine Angst, die bringt nichte neues.)
> Langsam verzweifel ich echt an der Aufgabe...bzw. an mir
Dazu besteht kein Grund. Normalerweise kann man das nicht gleich. Man hat's doch noch nie geübt!
Man muß sich erst an diese Denkweise gewöhnen.
Sehr viele Kommilitonen werden das nicht astrein hinbekommen - und ein Teil derer, die meinen, das sie es perfekt haben, wird sich nach Rückgabe wundern... Nicht verschwiegen werden soll allerdings auch, daß es eine Handvoll Kommilitonen geben wird, die es in der Tat sofort verstanden und vorbildlich aufgeschrieben haben. Ich habe nicht zu der letztgenannten Sorte gezählt, und trotzdem kann ich das heute. Steter Tropfen...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 28.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Ah, vielen Dank, jetzt hab ichs endlich kapiert und nebenbei noch was allgemeines dazugelernt. Ich hätte die so nie selber lösen können.
Was ist denn eigentlich mit dem letzten Teil gemeint, mit dem Sinn der Definition? (immer noch b)
Soll ich da beweisen dass das ne Äquivalenzrelation ist? Oder was wollen die denn von mir?
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> Was ist denn eigentlich mit dem letzten Teil gemeint, mit
> dem Sinn der Definition? (immer noch b)
> Soll ich da beweisen dass das ne Äquivalenzrelation ist?
> Oder was wollen die denn von mir?
Hallo,
da steht ja:
"(b) [m] bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m in M bezüglich ~. Zeigen Sie: Sind
m,m', n, n' in M mit [m] = [m'] und [n] = [n'], dann gilt mRn genau dann, wenn
m'Rn' gilt.
Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ~ . Wir definieren auf A eine Relation
R' durch
[m]R'[n] $ [mm] \gdw [/mm] $ mRn für n,m in M."
Die Frage nach dem Sinn der Def. von r' betrifft die Unabhängigkeit v. Repräsentanten:
Wenn man ein Element a hat, welches in der Äquivalenzklasse von m liegt, [mm] a\in[/mm] [m], dann ist [m]=[a].
Nun gelte [m]R'[n]. Nach Def. ist das äquivalent zu mRn.
Wegen [m]=[a] gilt auch [a]R'[n] <==> aRn
Nun würden wir in große Schwierigkeiten kommen, wenn in diesem Fall mRn und aRn nicht äquivalent wären. Dann wäre die Definiton nicht brauchbar.
Daß mRn und aRn aber äquivalent sind, haben wir im ersten Teil von b) gezeigt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 29.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Irgendwie versteh ich das nicht so ganz. Warum wird jetzt noch ein a eingeführt und was hat die Def. von R' damit zu tun dass mRn und aRn äquivalent sein sollten? Ich versteh da den Zusammenhang irgendwie nicht.
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> Irgendwie versteh ich das nicht so ganz. Warum wird jetzt
> noch ein a eingeführt
Wie das Ding heißt, ist doch egal. Ich habe ein Element aus [m] genommen und es a geauft.
> und was hat die Def. von R' damit zu
> tun dass mRn und aRn äquivalent sein sollten? Ich versteh
> da den Zusammenhang irgendwie nicht.
Den hatte ich doch eigentlich erklärt.
Wenn mRn und aRn nicht äquivalent wären, wären [m]R'[n] und [a]R'[n] nicht äquivalent.
Eine Katastrophe! Denn das a ist ja so, daß [m]=[a].
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Mo 29.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Ja, aber es geht doch um die Äuqivalenz zw. [m]R'[n] und mRn
und nicht zw [m]R'[n] und [a]R'[n] bzw. mRn und aRn.
(Damit will ich jetzt nicht behaupten dass du falsch liegst(ich weiß ja dass es richtig sein muss), aber ich kapier nur noch nicht warum du recht hast^^ )
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> Ja, aber es geht doch um die Äuqivalenz zw. [m]R'[n] und mRn
Es geht darum, warum es sinnvoll ist, [m]R'[n] durch mRn zu definieren.
Den Grund und die Problematik hatte ich erklärt: Wenn [a]=[m], dann sollten sinnigerweise [a]R'[n] und [m]R'[n] äquivalent sein,
Und ich hatte gezeigt, daß sie es sind.
Es ist ganz vage so ähnlich wie mit Funktionen:
Es wäre eine ganz schön bescheuerte Funktion, wenn f(4)=5 wäre und f(1+3)=17. Es wäre nämlich gar keine Funktion.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mo 29.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Ok, ich denke ich habs jetzt einigermaßen kapiert, danke!
Nur das mit den Funktionen...es gibt bestimmt nen Haufen Funktionen in denen f(3)=5 und f(4)=17 ist^^
gruß :)
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> Nur das mit den Funktionen...es gibt bestimmt nen Haufen
> Funktionen in denen f(3)=5 und f(4)=17 ist^^
Fürwahr...
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:29 Sa 27.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Ich hab die gleichen Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß nicht wie ich die Transitivität zeigen soll. geht das irgendwie so? [mm] :m\sim n\sim [/mm] o mit m,n,o [mm] \in [/mm] M
[mm] \gdw [/mm] (mRn und nRm und nRo und oRn)??? Und dann irgendwie weiter, ich hab da kp wie man das machen soll.
Und bei der b steck ich auch einfach nur fest, kann mir bitte jemand wenigstens nen kleinen Tip geben? Bis Montag sollte ichs kapiert haben.
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> Ich hab die gleichen Probleme mit dieser Aufgabe. Ich weiß
> nicht wie ich die Transitivität zeigen soll. geht das
> irgendwie so? [mm]:m\sim n\sim[/mm] o mit m,n,o [mm]\in[/mm] M
> [mm]\gdw[/mm] (mRn und nRm und nRo und oRn)??? Und dann irgendwie
> weiter, ich hab da kp wie man das machen soll.
> Und bei der b steck ich auch einfach nur fest, kann mir
> bitte jemand wenigstens nen kleinen Tip geben? Bis Montag
> sollte ichs kapiert haben.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Da Du dieselbe Aufgabe bearbeitest, wirst Du sicher diesen Thread studiert haben, womit sich bzgl. a) schon einiges geklärt haben sollte.
Falls nicht alles klar ist, so zeig, wie weit Du bist und stell' konkrete Fragen zu dem, was Du nicht verstehst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Sa 27.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Zu a hab ich meine Frage ja schon gestellt, da hänge ich bei der Transitivität fest, hab schon ein ganzes Blatt mit Rnm und nRm und nRo und sowas vollgekritzelt und komm einfach auf keinen grünen Zweig.
bei b fällt mir nichtmal ein Ansatz ein. Das einzige was ich hinkrieg is die Bezeichnung [m]={n [mm] \in [/mm] M | n [mm] \sim [/mm] m }
ich weiß auch nicht was ich für konkrete Fragen stellen könnte, dazu müsste ich ja im Prinzip schon was von der Aufgabe verstanden haben. Und da liegt ja das Problem^^
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> Zu a hab ich meine Frage ja schon gestellt, da hänge ich
> bei der Transitivität fest, hab schon ein ganzes Blatt mit
> Rnm und nRm und nRo und sowas vollgekritzelt und komm
> einfach auf keinen grünen Zweig.
Die Transitivität ist doch im Zweig zu Aufgabe a) behandelt.
Studier das doch und stell dann Deine Fragen.
Oder stell hier vor, was Du Dir zur Transitivität überlegt hast.
Was hast Du bisher getan, was möchtest Du zeigen?
> bei b fällt mir nichtmal ein Ansatz ein. Das einzige was
> ich hinkrieg is die Bezeichnung [m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={n [mm]\in[/mm] M | n [mm]\sim[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
m }
> ich weiß auch nicht was ich für konkrete Fragen stellen könnte, dazu müsste ich ja im Prinzip schon was von der Aufgabe verstanden haben. Und da liegt ja das Problem^^
Zu b) habe ich inzwischen in diesem Thread eAnregungen gegeben, schau Dir die mal an.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Sa 27.10.2007 | | Autor: | sunspot |
Ich hab versucht zu zeigen dass aus (mRn und nRo) [mm] \Rightarrow [/mm] mRo
und zwar schritt für schritt. Kein Schritt hat funktioniert. Ich hab versucht die Reflexivität einzusetzen, weiß aber nicht wie und wo (wenn überhaupt).
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> Ich hab versucht zu zeigen dass aus (mRn und nRo)
> [mm]\Rightarrow[/mm] mRo
> und zwar schritt für schritt. Kein Schritt hat
> funktioniert. Ich hab versucht die Reflexivität
> einzusetzen, weiß aber nicht wie und wo (wenn überhaupt).
Hallo,
aber daß aus (mRn und nRo) folgt, daß mRo gilt, steht doch völlig außer Frage!
Die Relation R ist als transitiv VORAUSGESETZT.
Zu zeigen ist die Transitivität von [mm] \sim,
[/mm]
daß also gilt [mm] (m\sim [/mm] n und [mm] n\sim [/mm] o) ==> [mm] m\sim [/mm] o.
Wie's geht, steht ja hier schon recht genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Sa 27.10.2007 | | Autor: | sunspot |
ah, hab grad bemerkt dass jemand inzwischen schon was zu b geschrieben hat. Also erledigt sich somit der Teil von b schonmal^^
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