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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Do 06.01.2005 | | Autor: | Reaper |
In unserem Skriptum ist ein Beispiel für Relationen angegeben wo ich mir allerdings nicht sicher bin ob es tatsächlich stimmt.
A = B = [mm] \IR
[/mm]
aRb [mm] \gdw [/mm] a < b: antisymmetrisch(!) und transitiv
Warum ist dieses Beispiel antisymmetrisch?
schon alleine die Definition a < b und b < a => a = b
geht schon nicht, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:32 Do 06.01.2005 | | Autor: | Micha |
Hallo Reaper!
> In unserem Skriptum ist ein Beispiel für Relationen
> angegeben wo ich mir allerdings nicht sicher bin ob es
> tatsächlich stimmt.
>
> A = B = [mm]\IR
[/mm]
Was du mir damit sagen willst ist mir schleierhaft..
> aRb [mm]\gdw[/mm] a < b: antisymmetrisch(!) und transitiv
> Warum ist dieses Beispiel antisymmetrisch?
> schon alleine die Definition a < b und b < a => a = b
> geht schon nicht, oder?
>
Antisymmetrisch heißt in diesem Fall das aus a<b folgt, dass b>a ist. Eine symmetrische Relation wäre es, wenn gelten würde
$a < b [mm] \Rightarrow [/mm] b<a$ , aber das stimmt offensichtlich nicht. Kehrt sich die Relation um (eine Relation einer komplementären Klasse ersetzt die alte Relation) , dann spricht man von antisymmetrischer Relation.
Ich hoffe das ist jetzt klarer geworden.
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Reaper |
Also was ich bei diesem Beispiel nicht kapiere ist das ja die Definition für die Antisymmetrie lautet:
R(für Relation)
aRb [mm] \wedge [/mm] bRa [mm] \Rightarrow [/mm] a = b
So und wenn ich dass jetzt auf das Beispiel : A = B = [mm] \IR, [/mm] aRb [mm] \gdw [/mm] a < b
anwende dann definiere ich Antisymmetrie so:
a < b [mm] \wedge [/mm] b < a [mm] \Rightarrow [/mm] a = b was ja unmöglich stimmen kann
Was ich also nun bei deiner Schlussfolgerung a < b und b > a nicht kapiere ist das ja Symmetrie im Grunde eine ähnliche Definition hat nämlich:
aRb => bRa
a < b => b < a
So und hier wird auf einmal das Vorzeichen nicht umgedreht, wieso?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Fr 07.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Also was ich bei diesem Beispiel nicht kapiere ist das ja
> die Definition für die Antisymmetrie lautet:
> R(für Relation)
> aRb [mm]\wedge[/mm] bRa [mm]\Rightarrow[/mm] a = b
> So und wenn ich dass jetzt auf das Beispiel : A = B =
> [mm]\IR,[/mm] aRb [mm]\gdw[/mm] a < b
> anwende dann definiere ich Antisymmetrie so:
Man kann die Antisymmetrie nicht für eine einzelne Relation definieren. Die Antisymmetrie ist eine Eigenschaft, die eine Relation haben kann oder nicht. Und die kleiner Relation < auf den Zahlen ist nun mal eine typische antisymmetrische Relation.
Man muss die Antisymmetrie so lesen:
Wenn a < b und b < a , dann a=b.
Nun kann der Wenn-Fall gar nicht eintreten. Nach der mathematischen Logik ist dann die Implikation automatisch Richtig (es gibt nichts zu prüfen).
Zur Erinnerung die Aussage [mm]\mathcal A\Rightarrow\mathcal B[/mm] ist richtig wenn [mm]\mathcal A[/mm] falsch ist.
> a < b [mm]\wedge[/mm] b < a [mm]\Rightarrow[/mm] a = b was ja unmöglich
> stimmen kann
>
> Was ich also nun bei deiner Schlussfolgerung a < b und b >
> a nicht kapiere ist das ja Symmetrie im Grunde eine
> ähnliche Definition hat nämlich:
> aRb => bRa
> a < b => b < a
Hier wiederum zu lesen: Wenn a < b, dann b<a. Das ist offensichtlich falsch, denn z.B. 3 < 5 aber [mm]\neg\ 5< 3[/mm]. Die Kleinerrelation ist nicht symmetrisch.
> So und hier wird auf einmal das Vorzeichen nicht
> umgedreht, wieso?
>
>
>
>
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Fr 07.01.2005 | | Autor: | Reaper |
OK ich verstehe deine Erläuterungen und habe mir sogar so etwas ähnliches gedacht aber nach der Aussage müsste ja dann alles antisymmetrisch sein.
einfaches Beispiel:
A = B = Menge aller Beschäftigten in einer Firma. aRb [mm] \gdw [/mm] a ist Untergebener von b.
antisymmetrisch:
Wenn a Untergebener von b ist und b Untergebener von a dann ist a = b
Da das Wenn falsch ist müsste es doch automatisch richtig sein, ist es aber leider nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Fr 07.01.2005 | | Autor: | moudi |
> OK ich verstehe deine Erläuterungen und habe mir sogar so
> etwas ähnliches gedacht aber nach der Aussage müsste ja
> dann alles antisymmetrisch sein.
> einfaches Beispiel:
> A = B = Menge aller Beschäftigten in einer Firma. aRb
> [mm]\gdw[/mm] a ist Untergebener von b.
>
> antisymmetrisch:
>
> Wenn a Untergebener von b ist und b Untergebener von a dann
> ist a = b
>
> Da das Wenn falsch ist müsste es doch automatisch richtig
> sein, ist es aber leider nicht.
Nichtmathematische Beispiele sind immer ein bisschen heikel. Aber die "Untergebenenrelation" ist im "Normalfall" antisymmetrisch. Es gibt auch Relationen die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind.
Hier eine Beispiel:
R= {(1,2), (2,1), (1,3)}
ist nicht symmetrisch, sonst müsste auch (3,1) in R liegen.
ist nicht antisymmetrisch weil 1 R 2 und 2 R 1 gilt, aber nicht 1=2.
mfg Moudi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Sa 08.01.2005 | | Autor: | moudi |
Vielleicht ist das Problem die Definition von antisymmetrisch.
[mm]a\,R\,b\ \&\ b\,R\,a\Rightarrow a=b[/mm]
Was will man wirklich ausdrücken und wie kommt man auf diese Formulierung.
i) Gehen wir von der Formulierung einer symmetrischen Relation aus.
Ist a in Relation zu b, dann ist auch b in Relation zu a ([mm]a\,R\,b\Rightarrow b\,R\,a[/mm])
ii) Jetzt will man das "Gegenteil" ausdrücken. Das heisst dass für
zwei verschiedene Elemente a und b gilt wenn a in Relation
zu b ist, dann ist b nicht in Relation zu a.
Formal: [mm]a\not=b\ \&\ a\,R\,b\Rightarrow \neg\ b\,R\,a[/mm] oder mengentheoretisch:
[mm]a\not=b\ \&\ (a,b)\in R\Rightarrow (b,a)\not\in R[/mm]
Diese Formulierung ist logisch äquivalent zur Formulierung
[mm](a,b)\in R\ \& \ (b,a)\in R \Rightarrow a=b[/mm]. Diese Formulierung
hat den "Vorteil", dass sie ohne Negation auskommt und deshalb ist
es die "offizielle" Version.
Jedoch zeigt sich, dass viele Leute (mir gings in jungen Jahren auch
so) ihre Schwierigkeiten haben die Implikation [mm]\Rightarrow[/mm] "richtig" zu verstehen.
mfG Moudi
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