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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:25 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
| Aufgabe | Untersuchen Sie jeweils, ob die Relation R reflexiv, symmetrisch oder transitiv ist. Ist R eine Äquivalenzrelation?
a) [mm] R=\{(g1,g2)\in G^2 | g1 ist senkrecht zu g2\} [/mm] mit G={g|g it eine Gerade}
[mm] b)R=\{(g1,g2)\in G^2 | g_1 ist parallel zu g_2\} [/mm] mit G={g|g it eine Gerade}
c) [mm] R=\{(m1,m2)\in M^2 | m_1 ist Mutter von m_2\} [/mm] mit M={m|m it ein Mensch}
d) [mm] R=\{(m1,m2)\in M^2 | m_1 ist verheiratet mit m_2\} [/mm] mit M={m|m it ein Mensch}
e) [mm] R=\{(m1,m2)\in M^2 | m_1 und m_2 haben einen gemeinsamen Grossvater\} [/mm] mit M={m|m it ein Mensch}
f) [mm] R=\{(A,B)\in X^2 | A\Rightarrow B \} [/mm] mit X={A|A ist eine Aussage}
g) [mm] R=\{(A,B)\in X^2 | A\gdw B \} [/mm] mit X={A|A ist eine Aussage}
h) [mm] R=\{(A,B)\in X^2 | A\wedge B \} [/mm] mit X={A|A ist eine Aussage}
i) [mm] R=\{(A,B)\in X^2 | A\vee B \} [/mm] mit X={A|A ist eine Aussage}
j) [mm] R=\{(U,V)\in M^2 | U\subset V \} [/mm] mit einer Grundmenge G und [mm] M={U|U\substev G}
[/mm]
k) [mm] R=\{(U,V)\in M^2 | U = V \} [/mm] mit einer Grundmenge G und [mm] M={U|U\substev G}
[/mm]
l) [mm] R=\{(x,y)\in \IR^2 | x+y \in \IZ \} [/mm]
m) [mm] R=\{(x,y)\in \IZ^2 | x+y \in \IZ \} [/mm]
n) [mm] R=\{(x,y)\in \IR^2 | xy\ge 1 \} [/mm]
o) [mm] R=\{(x,y)\in (\IR\{0})^2 | \bruch{x}{y} \IZ \} [/mm] |
Moin,
Da bin ich wieder :) Mathe2 bestanden, nun Mathe1.
Heute gehts um Relatoinen. Mir fällt es schwer Aufgabe a)- e) mathematisch korrekt zu beweisen.
[mm] a)R=\{(g1,g2)\in G^2 | g1 ist senkrecht zu g2\} [/mm] mit G={g|g it eine Gerade}
Reflexivität : [mm] \forall [/mm] g1 [mm] \in [/mm] G g1 R g1
g1 R g1 -> g1 ist senkrecht zu g1
-Das ist bei einer Gerade nicht möglich, aber wie beweist man sowas so, dass mein Prof. nichts mehr dagegen sagen kann ?
Symmetrie : [mm] \forall [/mm] (g1,g2) [mm] \in G^2 [/mm] g1 R g2 [mm] \Rightarrow [/mm] g2 R g1
g1 ist senkrecht zu g2 [mm] \Rightarrow [/mm] g2 ist senkrecht zu g1
-Ist symmetrisch, aber auch hier fehlt mir der Ansatz, es mathematisch zu belegen.
Transitivität: [mm] \forall [/mm] (g1,g2,g3) [mm] \in G^3 [/mm] g1 R g2 [mm] \wedge [/mm] g2 R g3 [mm] \Rightarrow [/mm] g1 R g3
-Nicht transitiv, g1 und g3 sind parallel, aber diese Erklärung reicht sicherlich nicht aus.
R ist keine Äquivalenzrelationen, da R nicht reflexiv und transitiv ist.
Kann mir jemand bitte helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DragoNru!
> Heute gehts um Relatoinen. Mir fällt es schwer Aufgabe a)-
> e) mathematisch korrekt zu beweisen.
>
> [mm]a)R=\{(g1,g2)\in G^2 | g1 ist senkrecht zu g2\}[/mm] mit G={g|g
> it eine Gerade}
Hier geht es sicherlich nicht um einen (axiomatischen) Beweis geometrischer Tatsachen, sondern um die korrekte Anwendung der Begrifflichkeiten im Zusammenhang mit Relationen.
> Reflexivität : [mm]\forall[/mm] g1 [mm]\in[/mm] G g1 R g1
>
> g1 R g1 -> g1 ist senkrecht zu g1
>
> -Das ist bei einer Gerade nicht möglich, aber wie beweist
> man sowas so, dass mein Prof. nichts mehr dagegen sagen
> kann ?
Du darfst sicherlich als bekannt voraussetzen, dass jede Gerade nicht zu sich selbst senkrecht ist.
Zu beweisen ist, dass es mindestens eine Gerade gibt, die nicht zu sich selbst senkrecht ist.
Da kannst du einfach eine beliebige Gerade als Beispiel nehmen, denn alle Geraden sind nicht zu sich selbst senkrecht.
Notieren kannst du das folgendermaßen:
Es existiert irgendeine Gerade g.
Dann ist g nicht senkrecht zu sich selbst.
Also gilt nicht $g R g$.
Somit ist $R$ nicht reflexiv.
> Symmetrie : [mm]\forall[/mm] (g1,g2) [mm]\in G^2[/mm] g1 R g2 [mm]\Rightarrow[/mm] g2
> R g1
>
> g1 ist senkrecht zu g2 [mm]\Rightarrow[/mm] g2 ist senkrecht zu g1
>
> -Ist symmetrisch, aber auch hier fehlt mir der Ansatz, es
> mathematisch zu belegen.
Auch hier ist sicherlich kein geometrischer Beweis erforderlich.
Ausführlich notieren kannst du deine Überlegung z.B. wie folgt:
Behauptung: $R$ ist symmetrisch.
Sei [mm] $(g_1,g_2)\in G^2$ [/mm] mit [mm] $g_1 [/mm] R [mm] g_2$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $g_2 [/mm] R [mm] g_1$.
[/mm]
Wegen [mm] $g_1 [/mm] R [mm] g_2$ [/mm] ist [mm] $g_1$ [/mm] senkrecht zu [mm] $g_2$.
[/mm]
Also ist [mm] $g_2$ [/mm] senkrecht zu [mm] $g_1$.
[/mm]
Damit gilt wie gewünscht [mm] $g_2 [/mm] R [mm] g_1$.
[/mm]
> Transitivität: [mm]\forall[/mm] (g1,g2,g3) [mm]\in G^3[/mm] g1 R g2 [mm]\wedge[/mm]
> g2 R g3 [mm]\Rightarrow[/mm] g1 R g3
>
> -Nicht transitiv, g1 und g3 sind parallel, aber diese
> Erklärung reicht sicherlich nicht aus.
Du musst Geraden [mm] $g_1,g_2,g_3$ [/mm] mit [mm] $g_1Rg_2$ [/mm] und [mm] $g_2 [/mm] R [mm] g_3$, [/mm] aber nicht $g_1R [mm] g_3$ [/mm] finden.
Du hast völlig Recht, dass JEDE Wahl von Geraden [mm] $g_1,g_2,g_3$ [/mm] mit [mm] $g_1Rg_2$ [/mm] und $g_2R [mm] g_3$ [/mm] bereits nicht [mm] $g_1 Rg_3$ [/mm] erfüllt.
Du musst also nur noch Geraden [mm] $g_1,g_2,g_3$ [/mm] mit [mm] $g_1 [/mm] R [mm] g_2$ [/mm] und [mm] $g_2Rg_3$ [/mm] finden.
Das ist nicht schwer:
Wähle irgendeine Gerade [mm] $g_1$, [/mm] irgendeine dazu senkrechte Gerade [mm] $g_2$ [/mm] und irgendeine wiederum zu [mm] $g_2$ [/mm] senkrechte Gerade [mm] $g_3$.
[/mm]
(Du könntest auch [mm] $g_3=g_1$ [/mm] wählen, das würde deine Überlegung weiter vereinfachen.)
Ausführlich notiert:
Es existiert eine Gerade [mm] $g_1$.
[/mm]
Dann existiert eine zu [mm] $g_1$ [/mm] senkrechte Gerade [mm] $g_2$.
[/mm]
Wiederum existiert eine zu [mm] $g_2$ [/mm] senkrechte Gerade [mm] $g_3$.
[/mm]
Dann sind [mm] $g_1$ [/mm] und [mm] $g_3$ [/mm] parallel, insbesondere nicht senkrecht zueinander.
Es gilt also [mm] $g_1Rg_2$ [/mm] und [mm] $g_2 [/mm] R [mm] g_3$, [/mm] aber nicht [mm] $g_1 [/mm] R [mm] g_3$.
[/mm]
Also ist $R$ nicht transitiv.
> R ist keine Äquivalenzrelationen, da R nicht reflexiv und
> transitiv ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Vielen Dank, klingt logisch.
Werde gleich mal die a)-e) nach dem Muster fertigstellen.
Gruß vom auchMünsterianer :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:34 Mi 23.10.2013 | | Autor: | abakus |
> > Transitivität: [mm]\forall[/mm] (g1,g2,g3) [mm]\in G^3[/mm] g1 R g2 [mm]\wedge[/mm]
> > g2 R g3 [mm]\Rightarrow[/mm] g1 R g3
> >
> > -Nicht transitiv, g1 und g3 sind parallel, aber diese
> > Erklärung reicht sicherlich nicht aus.
> Du musst Geraden [mm]g_1,g_2,g_3[/mm] mit [mm]g_1Rg_2[/mm] und [mm]g_2 R g_3[/mm],
> aber nicht [mm]g_1R g_3[/mm] finden.
>
> Du hast völlig Recht, dass JEDE Wahl von Geraden
> [mm]g_1,g_2,g_3[/mm] mit [mm]g_1Rg_2[/mm] und [mm]g_2R g_3[/mm] bereits nicht [mm]g_1 Rg_3[/mm]
> erfüllt.
>
Hallo,
das kann man so absolut aber nur in der Ebene sagen.
Im dreidimensionalen Raum gibt es durchaus Konstellationen, in denen drei Gerade paarweise aufeinander senkrecht stehen (z.B. 3 von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders).
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo abakus!
Danke für den Hinweis. Ich war gedanklich in der Ebene.
(Der Aufgabensteller sollte präzisieren, was mit Geraden genau gemeint ist.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke für ein Tipp, aber der Prof. will es doch lieber so sehen :(
a)
Reflexiv: zu zeigen [mm] g_1 [/mm] R [mm] g_1
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] und [mm] g_1 [/mm] haben die identische Steigung [mm] m_1. [/mm] Zwischen ihnen kann kein Winkel von 90° existieren. Somit gilt nicht [mm] g_1 [/mm] R [mm] g_1.
[/mm]
Symmetrie: zu zeigen [mm] g_1 [/mm] R [mm] g_2 \Rightarrow g_2 [/mm] R [mm] g_1
[/mm]
[mm] g_1 [/mm] R [mm] g_2 \gdw m_1= -\bruch{1}{m_2} [/mm] | [mm] *m_2
[/mm]
[mm] m_1 [/mm] * [mm] m_2= [/mm] -1 | [mm] :m_1
[/mm]
[mm] m_2= -\bruch{1}{m_1} \gdw g_2 [/mm] R [mm] g_1, [/mm] somit ist R symmetrisch
Transitivität: zu zeigen [mm] g_1 [/mm] R [mm] g_2 \wedge g_2 [/mm] R [mm] g_3 \Rightarrow g_1 [/mm] R [mm] g_3
[/mm]
(*) [mm] g_1 [/mm] R [mm] g_2 \gdw m_1= -\bruch{1}{m_2}
[/mm]
(**) [mm] g_2 [/mm] R [mm] g_3 \gdw m_2= -\bruch{1}{m_3} [/mm] | [mm] *m_3
[/mm]
[mm] m_2 [/mm] * [mm] m_3= [/mm] -1 | : [mm] m_2
[/mm]
[mm] m_3= -\bruch{1}{m_2} [/mm]
(**) einsetzen in (*)
[mm] ->m_1=m_3, [/mm] somit ist R nicht transitiv.
Wäre ich von alleine nie drauf gekommen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Tut mir leid, dass ich die Erwartungen deines Professors nicht getroffen habe.
Er arbeitet also mit einem konkreten Modell der Geometrie der Ebene, indem er Geraden mit Abbildungen [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] identifiziert.
1. Einwand von mir: G soll doch die Menge aller Geraden sein. Warum lässt der Professor die Geraden parallel zur y-Achse unberücksichtigt?
> a)
>
> Reflexiv: zu zeigen [mm]g_1[/mm] R [mm]g_1[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] und [mm]g_1[/mm] haben die identische Steigung [mm]m_1.[/mm] Zwischen
> ihnen kann kein Winkel von 90° existieren.
2. Einwand: Wenn man es schon so detailliert macht, sollte man das begründen.
> Somit gilt
> nicht [mm]g_1[/mm] R [mm]g_1.[/mm]
3. Einwand: Somit ist gezeigt, dass [nicht [mm] $g_1Rg_1$] [/mm] für alle betrachteten Geraden [mm] $g_1$ [/mm] gilt.
Es bleibt zu zeigen/zu bemerken, dass es mindestens eine solche Gerade gibt.
> Symmetrie: zu zeigen [mm]g_1[/mm] R [mm]g_2 \Rightarrow g_2[/mm] R [mm]g_1[/mm]
>
> [mm]g_1[/mm] R [mm]g_2 \gdw m_1= -\bruch{1}{m_2}[/mm] | [mm]*m_2[/mm]
>
> [mm]m_1[/mm] * [mm]m_2=[/mm] -1 | [mm]:m_1[/mm]
>
> [mm]m_2= -\bruch{1}{m_1} \gdw g_2[/mm] R [mm]g_1,[/mm] somit ist R
> symmetrisch
Damit bin ich abgesehen vom 1. Einwand einverstanden.
> Transitivität: zu zeigen [mm]g_1[/mm] R [mm]g_2 \wedge g_2[/mm] R [mm]g_3 \Rightarrow g_1[/mm]
> R [mm]g_3[/mm]
>
> (*) [mm]g_1[/mm] R [mm]g_2 \gdw m_1= -\bruch{1}{m_2}[/mm]
>
> (**) [mm]g_2[/mm] R [mm]g_3 \gdw m_2= -\bruch{1}{m_3}[/mm] | [mm]*m_3[/mm]
> [mm]m_2[/mm] * [mm]m_3=[/mm] -1 | : [mm]m_2[/mm]
> [mm]m_3= -\bruch{1}{m_2}[/mm]
>
> (**) einsetzen in (*)
>
> [mm]->m_1=m_3,[/mm] somit ist R nicht transitiv.
Hier gilt wieder Analoges zum 2. und 3. Einwand.
Alle drei Einwände ließen sich beheben.
> Wäre ich von alleine nie drauf gekommen...
Wir beide sind von den Geraden der Anschauungsebene ausgegangen.
Der Professor hingegen von den Geraden, die sich als Funktionen [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] beschreiben lassen.
Hätte der Professor
[mm] $G=\{g\colon\IR\to\IR\;|\;\text{der Graph von }g\text{ ist eine Gerade}\}$
[/mm]
oder noch besser
[mm] $G=\{g\colon\IR\to\IR\;|\;g(x)=mx+b\text{ für alle }x\in\IR;\;m,b\in\IR\}$
[/mm]
geschrieben, wäre dieses Missverständnis wohl nicht aufgetreten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ok, also die Lösung war nicht direkt vom Prof. Sie wurde nur vom Prof. "abgesegnet", deshalb ging ich davon aus, dass das sowas wie ne Musterlösung sei.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
stecke nun bei c) fest.
wie kann man zeigen, ob [mm] m_1 [/mm] Mutter von [mm] m_1 [/mm] ist oder nicht? Hier passt das mit der Steigung nicht mehr :)
Einfach zu sagen: [mm] m_1 [/mm] kann nicht Mutter von [mm] m_1 [/mm] sein, ist kein Beweis. Hat jemand eine Idee, wie man diese Relation untersuchen kann?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Auf deine Mitteilung gehe ich gleich in einer anderen Mitteilung ein.
> stecke nun bei c) fest.
>
> wie kann man zeigen, ob [mm]m_1[/mm] Mutter von [mm]m_1[/mm] ist oder nicht?
> Hier passt das mit der Steigung nicht mehr :)
> Einfach zu sagen: [mm]m_1[/mm] kann nicht Mutter von [mm]m_1[/mm] sein, ist
> kein Beweis. Hat jemand eine Idee, wie man diese Relation
> untersuchen kann?
1. Möglichkeit (unwahrscheinlich): Ihr habt ein Axiomensystem über die Aussageform "ist Mutter von".
Dann gilt es, rein logisch von den Axiomen abzuleiten.
2. Möglichkeit: Ihr habt kein Axiomensystem über die Aussageform "ist Mutter von".
Dann ist weder rein logisch herleitbar, dass R reflexiv ist, noch das R nicht reflexiv ist.
Ich gehe jedoch davon aus, dass ihr sehr wohl dem gesunden Menschenverstand entnehmen dürft, dass kein Mensch Mutter von sich selbst ist.
Die physikalische/biologische Begründung ist wohl kaum Gegenstand einer Mathe-Vorlesung.
Falls der Professor doch eine nähere Begründung erwartet, bin ich gespannt auf seine...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
f) [mm] R=\{(A,B)\in X^2 | A\Rightarrow B \}
[/mm]
[mm] Reflexiv:\forall [/mm] A [mm] \in [/mm] X A R A
Könnte man hier R mithilfe einer Wertetabelle beweisen? Sind alle Werte true, so ist R reflexiv.
[mm] \vmat{ A & A\Rightarrow A \\ w & w \\ f & w }, [/mm] beide Zustände ergeben true, somit gilt A R A und R ist reflexiv.
Symmetrie: [mm] \forall [/mm] (A,B) [mm] \in X^2 [/mm] A R B [mm] \Rightarrow [/mm] B R A
[mm] \vmat{ A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ w & w & w & w \\ w & f & f & w\\ f & w & w & f } [/mm] -> letzte Zeile: aus A R B true, kann nicht B R A false folgen. Somit ist R nicht symmetrisch
Oder gibt es bei so einer Relation einen besseren Weg?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mi 23.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> f) [mm]R=\{(A,B)\in X^2 | A\Rightarrow B \}[/mm]
>
> [mm]Reflexiv:\forall[/mm] A [mm]\in[/mm] X A R A
>
> Könnte man hier R mithilfe einer Wertetabelle beweisen?
Im Wesentlichen ja.
> Sind alle Werte true, so ist R reflexiv.
>
> [mm]\vmat{ A & A\Rightarrow A \\ w & w \\ f & w },[/mm] beide
> Zustände ergeben true, somit gilt A R A und R ist
> reflexiv.
Man könnte es auch so formulieren:
Sei [mm] $A\in [/mm] X$.
Falls $A$ wahr ist, gilt [mm] $A\Rightarrow [/mm] A$.
Falls $A$ falsch ist, gilt ebenfalls [mm] $A\Rightarrow [/mm] A$.
Somit gilt $A R A$.
Also ist $R$ reflexiv.
> Symmetrie: [mm]\forall[/mm] (A,B) [mm]\in X^2[/mm] A R B [mm]\Rightarrow[/mm] B R A
>
> [mm]\vmat{ A & B & A \Rightarrow B & B \Rightarrow A \\ w & w & w & w \\ w & f & f & w\\ f & w & w & f }[/mm]
> -> letzte Zeile: aus A R B true, kann nicht B R A false
> folgen. Somit ist R nicht symmetrisch
Ist da bei dir ein "nicht" zu viel? Ich verstehe den Teil hinter dem Doppelpunkt nicht.
Aber du hast völlig recht: Im Wesentlichen lässt sich der letzten Zeile entnehmen, dass R nicht symmetrisch ist.
Ausführlicher Vorschlag:
Sei A die Aussage "Ich bin der Kaiser von China." und $B$ die Aussage "Ich bin nicht der Kaiser von China.".
Dann ist $A$ falsch und $B$ wahr.
Also ist [mm] $A\Rightarrow [/mm] B$ wahr und [mm] $B\Rightarrow [/mm] A$ falsch.
Somit gilt $ARB$, aber nicht $BRA$.
Also ist $R$ nicht symmetrisch.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Mi 23.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke dir. Dein Vorschlag wird sogar vom Prof. bevorzugt. Werde es so wie du machen.
Gruß
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Heute is 17j) dran
[mm] R=\{(U,V)\in M^2 | U\subset V \}
[/mm]
Hab es so versucht.
Reflexivität: Sei U [mm] \subset [/mm] M beliebig [mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subset [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] U R U [mm] \Rightarrow [/mm] R ist reflexiv.
-Wäre das mathematisch sauber bewiesen? Bin davon ausgegangen, wenn U echte Teilmenge von M ist, dann ist U Teilmenge von U. Kann man so auf R reflexiv schließen?
Symmetrie war schon etwas schwieriger.
V=U [mm] \cup \{x\} [/mm] mit x [mm] \in [/mm] M, x [mm] \not\in [/mm] U
[mm] \Rightarrow [/mm] U [mm] \subset [/mm] V aber [mm] \neg [/mm] (V [mm] \subset [/mm] U), den x [mm] \in [/mm] V und x [mm] \not\in [/mm] U , somit R nicht symmetrisch.
Hier bin ich mir auch nicht ganz sicher, ob das die volle Punktzahl bringt. Außerdem könnte es doch sein, das U=V ist. Da weiß ich nicht, wie man das korrekt aufschreibt.
Und bei der Transitivität fehlt mir noch der Ansatz.
Hat jemand eine Idee?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Heute is 17j) dran
>
> [mm]R=\{(U,V)\in M^2 | U\subset V \}[/mm]
>
> Hab es so versucht.
>
> Reflexivität: Sei U [mm]\subset[/mm] M beliebig [mm]\Rightarrow[/mm] U
> [mm]\subset[/mm] U [mm]\Rightarrow[/mm] U R U [mm]\Rightarrow[/mm] R ist reflexiv.
>
> -Wäre das mathematisch sauber bewiesen?
ja, ist O.K.
> Bin davon
> ausgegangen, wenn U echte Teilmenge von M ist,
Das brauchst Du nicht !
> dann ist U
> Teilmenge von U.
U ist immer Teilmenge von U !!!
> Kann man so auf R reflexiv schließen?
>
> Symmetrie war schon etwas schwieriger.
>
> V=U [mm]\cup \{x\}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] M, x [mm]\not\in[/mm] U
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subset[/mm] V aber [mm]\neg[/mm] (V [mm]\subset[/mm] U), den x [mm]\in[/mm]
> V und x [mm]\not\in[/mm] U , somit R nicht symmetrisch.
ist O.K.
>
> Hier bin ich mir auch nicht ganz sicher, ob das die volle
> Punktzahl bringt. Außerdem könnte es doch sein, das U=V
> ist. Da weiß ich nicht, wie man das korrekt aufschreibt.
Es geht doch darum, zu zeigen, dass aus U R V im allgemeinen nicht folgt V R U.
das hast Du getan.
>
> Und bei der Transitivität fehlt mir noch der Ansatz.
Sei U [mm] \subset [/mm] V und V subset W. Nun ist die Frage, ob dann stets folgt U [mm] \subset [/mm] W .
Wenn ja, so ist R transitiv, anderenfalls nicht.
FRED
>
> Hat jemand eine Idee?
>
> Gruß
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Danke erstmal für den Check. Dein Tipp hat mir sehr geholfen. Hier mal mein Lösungsvorschlag.
Transitivität:
Sei x beliebiges Element aus U und V [mm] \Rightarrow [/mm] wegen U [mm] \subset [/mm] V x [mm] \in [/mm] U und x [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] da V [mm] \subset [/mm] W ist x [mm] \in [/mm] V und x [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] weil U [mm] \subset [/mm] V und V [mm] \subset [/mm] W folgt x [mm] \in [/mm] U x [mm] \in [/mm] V und x [mm] \in [/mm] W, daraus folgt, da x [mm] \in [/mm] U und x [mm] \in [/mm] W, U [mm] \subset [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] U R W [mm] \Rightarrow [/mm] R ist transitiv
R ist keine Äquivalenrelation, da R nicht symmetrisch ist.
Geht das so in Ordnung?
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für den Check. Dein Tipp hat mir sehr
> geholfen. Hier mal mein Lösungsvorschlag.
>
> Transitivität:
>
> Sei x beliebiges Element aus U und V
Das beginnt schon der Murks.
Wir haben: U [mm] \subset [/mm] V und V [mm] \subset [/mm] W.
Wir wollen zeigen: U [mm] \subset [/mm] W.
Dazu sei x [mm] \in [/mm] U. Wegen U [mm] \subset [/mm] V ist dann x [mm] \in [/mm] V. Wegen V [mm] \subset [/mm] W folgt dann, wie gewünscht: x [mm] \in [/mm] W.
FRED
> [mm]\Rightarrow[/mm] wegen U
> [mm]\subset[/mm] V x [mm]\in[/mm] U und x [mm]\in[/mm] V [mm]\Rightarrow[/mm] da V [mm]\subset[/mm] W
> ist x [mm]\in[/mm] V und x [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] weil U [mm]\subset[/mm] V und V
> [mm]\subset[/mm] W folgt x [mm]\in[/mm] U x [mm]\in[/mm] V und x [mm]\in[/mm] W, daraus folgt,
> da x [mm]\in[/mm] U und x [mm]\in[/mm] W, U [mm]\subset[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] U R W
> [mm]\Rightarrow[/mm] R ist transitiv
>
> R ist keine Äquivalenrelation, da R nicht symmetrisch
> ist.
>
> Geht das so in Ordnung?
>
> Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Kleine Ergänzungen zu Freds Antwort:
> Symmetrie war schon etwas schwieriger.
>
> V=U [mm]\cup \{x\}[/mm] mit x [mm]\in[/mm] M, x [mm]\not\in[/mm] U
[mm] $x\in [/mm] G$ meinst du, nicht [mm] $x\in [/mm] M$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] U [mm]\subset[/mm] V aber [mm]\neg[/mm] (V [mm]\subset[/mm] U), den x [mm]\in[/mm]
> V und x [mm]\not\in[/mm] U , somit R nicht symmetrisch.
Deine Argumentation funktioniert "nur" im Falle [mm] $G\not=\emptyset$.
[/mm]
Im Falle [mm] $G=\emptyset$ [/mm] ist $R$ symmetrisch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:03 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
alles klar, danke. Habs jetzt :)
Sitze grad an k) [mm] R=\{(U,V)\in M^2 | U = V \} [/mm] fest und frage mich, muss man Symmetrie und Transitivität für alle beliebigen x beweisen, oder reicht auch ein beliebiges x?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Do 24.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> alles klar, danke. Habs jetzt :)
>
> Sitze grad an k) [mm]R=\{(U,V)\in M^2 | U = V \}[/mm] fest und
> frage mich, muss man Symmetrie und Transitivität für alle
> beliebigen x beweisen, oder reicht auch ein beliebiges x?
Was meinst Du damit ???
R ist symmetrisch, wenn aus U=V stets folgt: V=U.
Ist das so ?
R ist transitiv, wenn aus U=V und V=W stets folgt: U=W
ist das so ?
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Hab es mir so gedacht: Beweise das ein beliebiges x aus U auch in V vorkommt, dann ist U=V oder nicht? Nur dann dachte ich mir, es müssen ja alle Elemente aus U auch in V.
Und ist U=V [mm] \Rightarrow [/mm] V=U nicht trivial? Gibt es eine Situation, indem U=V aber nicht V=U gilt? glaube nicht.
Bei der Transitivität würde ich ebenfalls, so wie bei der Aufgabe davor, ein x wählen und zeigen, das dieses in jeder Menge vorkommt, nur auch da müsste man doch zeigen, das alle x aus U auch in W sind und das alle El. aus W auch in U sind oder steigere ich mich da zu sehr rein und geht es auch leichter zu beweisen?
Auch hier ist es doch trivial zu sagen:
Wenn U=V und V=W, dann muss U auch gleich W sein, somit wie gewünscht URW, R ist transitiv.
Gruß keinMatheAss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hab es mir so gedacht: Beweise das ein beliebiges x aus U
> auch in V vorkommt, dann ist U=V oder nicht?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wenn alle [mm] $x\in [/mm] U$ auch [mm] $x\in [/mm] V$ erfüllen, bedeutet das [mm] $U\subseteq [/mm] V$, nicht notwendig $U=V$.
Was hat das jetzt mit dieser Relation zu tun?
> Und ist U=V [mm]\Rightarrow[/mm] V=U nicht trivial? Gibt es eine
> Situation, indem U=V aber nicht V=U gilt? glaube nicht.
Ich finde, das ist in der Tat trivial. (Es ergibt sich aus der Bedeutung des Gleichheitszeichens.)
(Für Interessierte Mitleser(innen), die eine Rückführung auf noch elementarere Tatsachen über die Gleichheitsrelation suchen:
Es gilt natürlich $V=V$.
Wegen $U=V$ kann in jeder Aussage über $V$ beliebig oft $V$ durch $U$ ersetzt werden, ohne den Wahrheitswert der Aussage zu ändern.
Damit folgt $V=U$ aus $V=V$.)
> Bei der Transitivität würde ich ebenfalls, so wie bei der
> Aufgabe davor, ein x wählen und zeigen, das dieses in
> jeder Menge vorkommt, nur auch da müsste man doch zeigen,
> das alle x aus U auch in W sind und das alle El. aus W auch
> in U sind oder steigere ich mich da zu sehr rein und geht
> es auch leichter zu beweisen?
Das ist eine mögliche Vorgehensweise, aber nicht nötig.
> Auch hier ist es doch trivial zu sagen:
> Wenn U=V und V=W, dann muss U auch gleich W sein, somit
> wie gewünscht URW, R ist transitiv.
Genau.
(Für die interessierten Mitleser(innen):
Wegen $U=V$ kann in jeder Aussage über $V$ beliebig oft $V$ durch $U$ ersetzt werden, ohne den Wahrheitswert der Aussage zu ändern.
Also folgt $U=W$ aus $V=W$.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Super, nun ging k) ganz locker von der Hand. Gleich kommt l)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
17 l) [mm] R=\{(x,y)\in \IR^2 | x+y \in \IZ \}
[/mm]
Das müsste doch so richtig sein oder?
Reflexivität: [mm] \forall x\in \IR [/mm] xRx
Da [mm] x\in \IR [/mm] , foglt aus x+x=b mit [mm] b\in \IR, [/mm] somit ist R nicht reflexiv
Symmetrie: [mm] \forall (x,y)\in \IR^2 [/mm] xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
Gegeben: x+y=k mit [mm] k\in \IZ
[/mm]
Zu zeigen : y+x=k mit [mm] k\in \IZ
[/mm]
x+y=k , wegen dem kommutativgesetz [mm] \Rightarrow [/mm] y+x=k mit [mm] k\in \IZ \Rightarrow [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] R ist symmetrisch
Transitivität: [mm] \forall (x,y,z)\in \IR^3 [/mm] xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
x+y=k mit [mm] k\in \IZ
[/mm]
y+z=l mit [mm] l\in \IZ
[/mm]
(x+y) + (y+z) = (x+z)
[mm] (k+l)\in \IZ
[/mm]
k+l=(x+z) [mm] \Rightarrow (x+z)\in \IZ \Rightarrow [/mm] xRz [mm] \Rightarrow [/mm] R ist transitiv
R ist keine Äquivalenzrelation, da R nicht reflexiv
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> 17 l) [mm]R=\{(x,y)\in \IR^2 | x+y \in \IZ \}[/mm]
>
> Das müsste doch so richtig sein oder?
>
> Reflexivität: [mm]\forall x\in \IR[/mm] xRx
>
> Da [mm]x\in \IR[/mm] , foglt aus x+x=b mit [mm]b\in \IR,[/mm] somit ist R
> nicht reflexiv
[mm] $b\in\IR$ [/mm] schließt doch [mm] $b\in\IZ$ [/mm] nicht aus.
Um die Reflexivität zu widerlegen musst du eine Zahl [mm] $x\in\IR$ [/mm] finden mit [mm] $x+x\notin\IZ$.
[/mm]
> Symmetrie: [mm]\forall (x,y)\in \IR^2[/mm] xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
Sei [mm] $(x,y)\in [/mm] R$.
> Gegeben: x+y=k mit [mm]k\in \IZ[/mm]
> Zu zeigen : y+x=k mit [mm]k\in \IZ[/mm]
>
> x+y=k , wegen dem kommutativgesetz [mm]\Rightarrow[/mm] y+x=k mit
> [mm]k\in \IZ \Rightarrow[/mm] yRx [mm]\Rightarrow[/mm] R ist symmetrisch
Ja.
> Transitivität: [mm]\forall (x,y,z)\in \IR^3[/mm] xRy [mm]\wedge[/mm] yRz
> [mm]\Rightarrow[/mm] xRz
>
> x+y=k mit [mm]k\in \IZ[/mm]
> y+z=l mit [mm]l\in \IZ[/mm]
> (x+y) + (y+z) =
> (x+z)
Diese Gleichung stimmt im Allgemeinen nicht.
> [mm](k+l)\in \IZ[/mm]
> k+l=(x+z) [mm]\Rightarrow (x+z)\in \IZ \Rightarrow[/mm]
> xRz [mm]\Rightarrow[/mm] R ist transitiv
Folgerichtig.
Widerlege die Transitivität von $R$, indem du [mm] $x,y,z\in\IR$ [/mm] mit [mm] $x+y\in\IZ$, $y+z\in\IZ$ [/mm] und [mm] $x+z\notin\IZ$ [/mm] findest.
> R ist keine Äquivalenzrelation, da R nicht reflexiv
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
ach Mist, du hast völlig recht. Da war ich viel zu vorschnell :(
Danke für den Hinweis, ist nun korrigiert.
Und noch ne kurze Frage, ist jetzt leider schon ne Mitteilung.
Du hast [mm] \forall (x,y)\in \IR^2 [/mm] verändert, is das falsch? (x,y) ist doch ein geordnetes Paar aus [mm] \IR x\IR [/mm] also [mm] \IR^2, [/mm] oder seh ich das falsch? Und passt [mm] \forall [/mm] nicht, ist "Sei" besser?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Du hast [mm]\forall (x,y)\in \IR^2[/mm] verändert, is das falsch?
Nein, das ist völlig richtig. Mein "Sei [mm] $(x,y)\in [/mm] R$." sollte eine Ergänzung, keine Korrektur sein.
> (x,y) ist doch ein geordnetes Paar aus [mm]\IR x\IR[/mm] also [mm]\IR^2,[/mm]
> oder seh ich das falsch?
Völlig richtig. Mit $R$ meine ich die Relation, nicht die Menge der reellen Zahlen.
> Und passt [mm]\forall[/mm] nicht, ist "Sei"
> besser?
Mittels "Sei [mm] $(x,y)\in [/mm] R$." kann man zum Ausdruck bringen, dass man nun ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit $xRy$ betrachtet.
Erst dann macht es wirklich Sinn, von Termen wie $x+y$ zu reden, ohne jedes Mal dazu zu sagen: "Für alle [mm] $(x,y)\in\IR^2$ [/mm] mit $xRy$ gilt..."
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Und die 17n) , die 17 machen wir heute noch fertig ;)
Hoffentlich passt alles.
[mm] R=\{(x,y)\in \IZ^2 | xy\ge 1 \}
[/mm]
Reflexivität: [mm] \forall x\in \IZ [/mm] xRx , Sei [mm] x\in [/mm] R
Sei x=0, dann folgt xRx [mm] \Rightarrow 2x\ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] 0 ist nicht [mm] \ge [/mm] 1, somit ist R nicht reflexiv.
Symmetrie: [mm] \forall (x,y)\in \IZ^2 [/mm] xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
Gegeben : xRy [mm] \Rightarrow [/mm] xy [mm] \ge [/mm] 1
Zu zeigen: yRx [mm] \Rightarrow [/mm] yx [mm] \ge [/mm] 1 , hier bin ich mir nicht ganz sicher, ob das [mm] \ge [/mm] auch zur Relation gehört und man es auch vertauschen muss. Aber ich gehe mal von "nein" aus.
xy [mm] \ge [/mm] 1 | wegen dem Kommutativgesetzt der Multiplikation
yx [mm] \ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] R ist symmetrisch
Transitivität : [mm] \forall (x,y,z)\in \IZ^3 [/mm] xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz, Sei [mm] (x,y,z)\in [/mm] R
Wenn xy [mm] \ge [/mm] 1, dann gilt (x,y)>0
Wenn yz [mm] \ge [/mm] 1, dann gilt (y,z)>0
[mm] \Rightarrow [/mm] (x,z)>0 und da [mm] (x,z)\in \IZ^2, [/mm] folgt [mm] xz\ge [/mm] 1, somit transitiv.
R ist keine Äquivalenzrelation, weil R nicht reflexiv.
Ist das O.K.?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 24.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> [mm]R=\{(x,y)\in \IZ^2 | xy\ge 1 \}[/mm]
>
> Reflexivität: [mm]\forall x\in \IZ[/mm] xRx , Sei [mm]x\in[/mm] R
[mm] $x\in\IZ$, [/mm] nicht [mm] $x\in [/mm] R$ meinst du.
Du willst hier gar kein beliebig vorgegebenes $x$ betrachten, sondern $x=0$.
> Sei x=0, dann folgt xRx
Würde folgen, wenn $R$ reflexiv wäre.
> [mm]\Rightarrow 2x\ge[/mm] 1
[mm] $x^2$ [/mm] meinst du, nicht $2x$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] 0
> ist nicht [mm]\ge[/mm] 1,
Der Folgepfeil passt hier nicht.
> somit ist R nicht reflexiv.
Die Idee ist völlig richtig.
Ich würde es so notieren:
Für [mm] $x:=0\in\IZ$ [/mm] gilt $x*x=0<1$ und somit nicht $xRx$.
Damit ist $R$ nicht reflexiv.
> Symmetrie: [mm]\forall (x,y)\in \IZ^2[/mm] xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
>
> Gegeben : xRy [mm]\Rightarrow[/mm] xy [mm]\ge[/mm] 1
> Zu zeigen: yRx [mm]\Rightarrow[/mm] yx [mm]\ge[/mm] 1 ,
Zu zeigen ist $yRx$, d.h. zu zeigen ist [mm] $yx\ge1$.
[/mm]
(Bei dir sieht es so aus, als wäre zu zeigen, dass $yRx$ die Ungleichung [mm] $yx\ge1$ [/mm] impliziert.)
> hier bin ich mir
> nicht ganz sicher, ob das [mm]\ge[/mm] auch zur Relation gehört und
> man es auch vertauschen muss. Aber ich gehe mal von "nein"
> aus.
Richtig. $yRx$ bedeutet [mm] $yx\ge [/mm] 1$.
> xy [mm]\ge[/mm] 1 | wegen dem Kommutativgesetzt der Multiplikation
> yx [mm]\ge[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] yRx [mm]\Rightarrow[/mm] R ist symmetrisch
> Transitivität : [mm]\forall (x,y,z)\in \IZ^3[/mm] xRy [mm]\wedge[/mm] yRz
> [mm]\Rightarrow[/mm] xRz, Sei [mm](x,y,z)\in[/mm] R
[mm] $(x,y,z)\in\IZ^3$ [/mm] meinst du.
> Wenn xy [mm]\ge[/mm] 1, dann gilt (x,y)>0
Was meinst du mit $(x,y)>0$?
Aus [mm] $xy\ge [/mm] 1$ mit [mm] $x,y\in\IZ$ [/mm] folgt [mm] $x,y\ge [/mm] 1$ oder [mm] $x,y\le-1$.
[/mm]
> Wenn yz [mm]\ge[/mm] 1, dann gilt (y,z)>0
> [mm]\Rightarrow[/mm] (x,z)>0 und da [mm](x,z)\in \IZ^2,[/mm] folgt [mm]xz\ge[/mm] 1,
> somit transitiv.
Diesen Beweis der Transitivität von $R$ musst du überarbeiten.
> R ist keine Äquivalenzrelation, weil R nicht reflexiv.
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Do 24.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Schon wieder so viele Fehler eingebaut... naja
Ja, irgendwie kam ich nicht direkt drauf, dass x,y auch kleiner gleich -1 sein könnten, deshalb auch (x,y)>1, was quatsch ist.
Hier mal die Symmetrie überarbeitet:
[mm] \forall (x,y)\in \IZ^2 [/mm] xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
Gegeben: xRy, d.h. [mm] xy\ge [/mm] 1
Zu zeigen: yRx, d.h. [mm] yx\ge1
[/mm]
[mm] xy\ge [/mm] 1 | Wegen dem Kommutativgesetz der Multiplikation
[mm] yx\ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] yRx [mm] \Rightarrow [/mm] R ist symmetrisch
Hoffentlich passt das jetzt.
Mit der Transitivität komm ich nicht ganz klar. Hier die ersten Schritte
Sei [mm] (x,y,z)\in \IZ^3 [/mm] xRy [mm] \wedge [/mm] yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
Aus xy [mm] \ge [/mm] 1 mit [mm] x,y\in \IZ [/mm] folgt [mm] x,y\ge [/mm] 1 oder [mm] x,y\le [/mm] -1
Aus yz [mm] \ge [/mm] 1 mit [mm] y,z\in \IZ [/mm] folgt [mm] y,z\ge [/mm] 1 oder [mm] y,z\le [/mm] -1
Und ab hier funktioniert mein Kopf nicht mehr.
[mm] (x,y,z)\in \IZ [/mm] und entweder ist [mm] (x,y,z)\ge [/mm] 1 oder [mm] (x,y,z)\le [/mm] -1. In beiden Fällen gilt aber xRz, da [mm] x,z\ge [/mm] 1 oder [mm] x,z\le [/mm] -1 und aus beiden Fällen [mm] xz\ge [/mm] 1 mit [mm] x,z\in \IZ [/mm] folgt. Finde aber grad kein Weg es mathematisch aufzuschreiben. Aber der Gedankengang ist richtig oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 05:18 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hier mal die Symmetrie überarbeitet:
>
> [mm]\forall (x,y)\in \IZ^2[/mm] xRy [mm]\Rightarrow[/mm] yRx
>
> Gegeben: xRy, d.h. [mm]xy\ge[/mm] 1
> Zu zeigen: yRx, d.h. [mm]yx\ge1[/mm]
>
> [mm]xy\ge[/mm] 1 | Wegen dem Kommutativgesetz der Multiplikation
> [mm]yx\ge[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] yRx [mm]\Rightarrow[/mm] R ist symmetrisch
> Mit der Transitivität komm ich nicht ganz klar. Hier die
> ersten Schritte
>
> Sei [mm](x,y,z)\in \IZ^3[/mm] xRy [mm]\wedge[/mm] yRz [mm]\Rightarrow[/mm] xRz
>
> Aus xy [mm]\ge[/mm] 1 mit [mm]x,y\in \IZ[/mm] folgt [mm]x,y\ge[/mm] 1 oder [mm]x,y\le[/mm] -1
> Aus yz [mm]\ge[/mm] 1 mit [mm]y,z\in \IZ[/mm] folgt [mm]y,z\ge[/mm] 1 oder [mm]y,z\le[/mm] -1
> Und ab hier funktioniert mein Kopf nicht mehr.
> [mm](x,y,z)\in \IZ[/mm] und entweder ist [mm](x,y,z)\ge[/mm] 1 oder
> [mm](x,y,z)\le[/mm] -1.
Du meinst [mm] $x,y,z\ge [/mm] 1$ oder [mm] $x,y,z\le-1$.
[/mm]
> In beiden Fällen gilt aber xRz, da [mm]x,z\ge[/mm] 1
> oder [mm]x,z\le[/mm] -1 und aus beiden Fällen [mm]xz\ge[/mm] 1 mit [mm]x,z\in \IZ[/mm]
> folgt.
> Finde aber grad kein Weg es mathematisch
> aufzuschreiben. Aber der Gedankengang ist richtig oder?
Ja.
Behauptung: $R$ ist transitiv.
Beweis:
Sei [mm] $(x,y,z)\in\IZ^3$ [/mm] mit $xRy$ und $yRz$, d.h. [mm] $xy\ge [/mm] 1$ und [mm] $yz\ge1$.
[/mm]
Zu zeigen ist $xRz$, d.h. [mm] $xz\ge1$.
[/mm]
Wegen [mm] $xy\ge [/mm] 1$ und [mm] $x,y\in\IZ$ [/mm] gilt [mm] $x,y\ge1$ [/mm] oder [mm] $x,y\le-1$.
[/mm]
Wir führen eine Fallunterscheidung durch:
1. Fall: [mm] $x,y\ge [/mm] 1$.
Wegen [mm] $y\ge [/mm] 1$, [mm] $yz\ge [/mm] 1$ und [mm] $z\in\IZ$ [/mm] folgt [mm] $z\ge [/mm] 1$.
Aus [mm] $x,z\ge [/mm] 1$ folgt wie gewünscht [mm] $xz\ge1$.
[/mm]
2. Fall: [mm] $x,y\le-1$.
[/mm]
Wegen [mm] $y\le-1$, $yz\ge [/mm] 1$ und [mm] $z\in\IZ$ [/mm] folgt [mm] $z\le [/mm] -1$.
Aus [mm] $x,z\le-1$ [/mm] folgt wie gewünscht [mm] $xz\ge [/mm] 1$.
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| Status: |
(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 12:42 Fr 25.10.2013 | | Autor: | DragoNru |
Ok danke, die 17 ist nun komplett.
Könnt ihr vielleicht noch ein paar Aufgaben mir geben, die auf dem gleichen Niveau sind, wie die 17) ? Die ihr vielleicht in einer Klausur stellen würdet, angelehnt an die 17).
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Fr 25.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Vielleicht hilft dir eine Google-Suche nach "Relationen Beispiele" oder "Relationen Aufgaben" weiter.
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