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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Do 26.04.2007 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum [mm] \emptyset=A \subset [/mm] X. Sei weiter [mm] d_{A} [/mm] die von d in A induzierte Metrik, d.h. für x,y [mm] \in [/mm] A ist [mm] d_{A}8x,y):=d(x,y).
[/mm]
Zeigen Sie: [mm] U\subset [/mm] A ist offen bzgl. [mm] d_A [/mm] genau dann wenn es eine bzgl. d in X offene Menge [mm] U^{\sim}\subset [/mm] X gibt, für die [mm] U=U^{\sim}\cap [/mm] A ist |
Hallo,
So ich hab jetzt schon mal versucht zu Beweisen:
U offene Teilmenge von A [mm] \Rightarrow \forall [/mm] z [mm] \in [/mm] U gibt es ein [mm] \varepsilon_{z}>0 [/mm] s.d. [mm] U_{\varepsilon_{z}}(z) \cap [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] U
bliebe z.z. [mm] U=U^{\sim}\cap [/mm] A dann gilt [mm] U^{\sim}=\bigcup_{z\in U}^{}U_{\varepsilon_{z}}(z) [/mm] offen in X.
Kann mir hier jemand weiterhelfen vorausgesetzt das stimmt so.
Umgekehrt muss ich dann noch [mm] U=U^{\sim}\cap [/mm] A wobei [mm] U^{\sim} [/mm] offen in X. Jedes z [mm] \in [/mm] U liegt auch in [mm] U^{\sim} [/mm] s.d. [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit
[mm] U_{\varepsilon}(z)\subseteq U^{\sim} [/mm] dann gilt [mm] U_{\varepsilon}(z) \cap A\subseteq [/mm] U
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 Fr 27.04.2007 | | Autor: | komduck |
> So ich hab jetzt schon mal versucht zu Beweisen:
> U offene Teilmenge von A [mm]\Rightarrow \forall[/mm] z [mm]\in[/mm] U gibt
> es ein [mm]\varepsilon_{z}>0[/mm] s.d. [mm]U_{\varepsilon_{z}}(z) \cap[/mm] A
> [mm]\subseteq[/mm] U
Sei nun [mm] U^{\sim} [/mm] = [mm] \bigcup_{z\in U}^{}U_{\varepsilon_{z}}(z)
[/mm]
Beliebige Vereinigungen offener Mengen sind immer offen.
Nun zeigst du [mm] U^{\sim} \cap [/mm] A [mm] \subseteq [/mm] U
und U [mm] \subseteq U^{\sim} \cap [/mm] A
getrennt.
Die Rückrichtung ist so wie du sie aufgeschrieben hast nicht verständlich.
Sei [mm] U^{\sim} [/mm] offen in X und [mm] U=U^{\sim}\cap [/mm] A
Wir wollen zeigen U ist offen in A also
z.Z für alle z [mm] \in [/mm] U existiert ein [mm] \varepsilon [/mm] mit: {x | x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] d(x,z) < [mm] \varepsilon [/mm] } [mm] \subseteq [/mm] U
Sei z beliebig aus U weil U offen in X gibt es eine [mm] \varepsilon [/mm] Kugel
die ganz in U liegt. Wir wählen genau dieses [mm] \varepsilon [/mm] für unsere Umgebung
{x | x [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] d(x,z) < [mm] \varepsilon [/mm] } in A.
nun gilt ...
komduck
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 30.04.2007 | | Autor: | grashalm |
Mh ich glaub ich schaff es nicht die richtigen Schlussfolgerungen zu ziehen bei der Hinrichtung wie zeig ich das denn getrennt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Mo 30.04.2007 | | Autor: | komduck |
Hallo,
Wir wissen:
(X,d) ein ist metrischer Raum
A [mm] \subset [/mm] X
[mm] (A,d_{A}) [/mm] ist ein metrischer Raum mit [mm] d_{A}(x,y) [/mm] = d(x,y)
Wir zeigen:
1) $ U [mm] \subset [/mm] A $ offen bzgl. [mm] d_{A} [/mm] dann gibt es $ [mm] U^{\sim}\subset [/mm] X $
für die gilt: $ [mm] U=U^{\sim}\cap [/mm] A $
da U offenen in [mm] (A,d_{A}) [/mm] ist, gibt es für jedes z aus U ein [mm] $\varepsilon_{z}>0 [/mm] $
sodaß $ [mm] U_{\varepsilon_{z}}(z) \cap [/mm] $ A $ [mm] \subseteq [/mm] $ U.
Wir definieren $ [mm] U^{\sim} [/mm] = [mm] \bigcup_{z\in U}^{}U_{\varepsilon_{z}}(z) [/mm] $
Es gilt offensichlich U $ [mm] \subseteq U^{\sim} [/mm] $.
Weil $ U [mm] \subset [/mm] A $ folgt
1a) U $ [mm] \subseteq U^{\sim} \cap [/mm] $ A
$ [mm] U^{\sim} \cap [/mm] A = [mm] (\bigcup_{z\in U}^{}U_{\varepsilon_{z}}(z)) \cap [/mm] A $
$ = [mm] \bigcup_{z\in U}^{}(U_{\varepsilon_{z}}(z)) \cap [/mm] A) $
da nun jede einzelne Menge der Vereinignug Teilmenge von U ist gilt:
1b) $ [mm] U^{\sim} \cap [/mm] $ A $ [mm] \subseteq [/mm] U $
aus 1a und 1b folgt:
$ [mm] U^{\sim} [/mm] = A [mm] \subseteq [/mm] U $
komduck
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