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Hallo ich habe ein Problem mit einer alte Klausuraufgabe!
Jemand will monatlich 500 sparen und in den nächsten 4 Jahren die Raten um 10% gegenüber dem Vorjahr erhöhen (Raten innerhalb eines Jahred konstant). Im Jahr nach der ersten Sparphase will er monatliche Beträge entnehmen, die von Jahr zu Jahr um 50 zu erhöhen gedenkt. Seine Entnahmen sollen sich auch über insgesamt 5 Jahre erstrecken.
Welche monatlichen Beträge kann er nach der Sparphase entnehmen wenn der Zinssatz 5% beträgt?
Erstmal Berechnung des Sparbetrags:
[mm] K0=500*(0,05/(1,05^{1/12}-1)*((1,05^4-1,1^4)/(1,05-1,1))=30508,86
[/mm]
Frage muss ich den Betrag für 4 oder 5 Jahre berechnen?
Berechnung der monatlichen Auszahlung:
[mm] 0=K4*(1+i)^n*(1+i)-x*(i/j)*(((1+i)^n-C^5)/((1+i)-C))
[/mm]
j=(1+i)^(1/12)-1
C=Zuwachs der Raten z.B. 1,05 für 5% Wachstum
Frage: Zuwach der Raten ist in der Formel in Prozent angegeben allerdings in der Aufgabe ein fester Betrag von 50 wie kann ich die Formel modifizieren? x kann ich dann ausrechnen.
Für Hilfe bin ich dankbar!!
Gruss Nico
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:20 So 23.01.2005 | | Autor: | Josef |
Hallo DoktorBee,
> Jemand will monatlich 500 sparen und in den nächsten 4
> Jahren die Raten um 10% gegenüber dem Vorjahr erhöhen
> (Raten innerhalb eines Jahred konstant). Im Jahr nach der
> ersten Sparphase will er monatliche Beträge entnehmen, die
> von Jahr zu Jahr um 50 zu erhöhen gedenkt. Seine Entnahmen
> sollen sich auch über insgesamt 5 Jahre erstrecken.
>
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> Welche monatlichen Beträge kann er nach der Sparphase
> entnehmen wenn der Zinssatz 5% beträgt?
>
> Erstmal Berechnung des Sparbetrags:
>
[mm]K0=500*(0,05/(1,05^{1/12}-1)*((1,05^4-1,1^4)/(1,05-1,1))=30508,86
[/mm]
> Frage muss ich den Betrag für 4 oder 5 Jahre berechnen?
>
> Berechnung der monatlichen Auszahlung:
>
> [mm]0=K4*(1+i)^n*(1+i)-x*(i/j)*(((1+i)^n-C^5)/((1+i)-C))
[/mm]
>
> j=(1+i)^(1/12)-1
> C=Zuwachs der Raten z.B. 1,05 für 5% Wachstum
> Frage: Zuwach der Raten ist in der Formel in Prozent
> angegeben allerdings in der Aufgabe ein fester Betrag von
> 50 wie kann ich die Formel modifizieren? x kann ich dann
> ausrechnen.
> Für Hilfe bin ich dankbar!!
> Gruss Nico
>
Mein Lösungsvorschlag, jedoch ohne Gewähr:
Ich neige zu einer unterjährigen, vorschüssigen Ratenzahlung. Die erste Ratenzahlung wird ja zu Beginn eines jeden Monats gezahlt. Ein Sparjahr und in den nächsten 4 Jahren, also 5 Sparjahre! Dies geht auch aus dem Satz hervor: "Seine Entnahmen sollen sich auch üder insgesamt 5 Jahre erstrecken.
Die jährliche Ersatzrente beträgt:
500*[12+[mm]\bruch{0,05}{2}[/mm]*(12+1)] = 6.162,50
6.162,50*[mm]\bruch{1,05^{5}-1,1^5}{1,05-1,1}[/mm] = 41.193,85
Es steht also ein Kapital von 41.193,85 zur Verfügung. Davon soll nachschüssig 5 Jahre lang eine monatlich Rente, die Jahr zu Jahr um 50 Euro steigen soll, gezahlt werden.
Ich rechne erst die Jahresrente im ersten Jahr aus:
r = [mm]\bruch{1,05^{5}*41.193,85*0,05 + 50*5}{1,05^{5}-1}[/mm]
r = 9.419,67 jährlich
monatliche, nachschüssige Rente:
r*[12+[mm]\bruch{0,05}{2}[/mm]*(12-1)] = 9.419.67
r = 767,39
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