Rentenrechnung Teil 2 < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:47 Fr 12.01.2007 | | Autor: | Biened25 |
Hallo Fories,
hier sind die weiteren folgenden Aufgaben die ich Euch vorstellen möchte:
Aufgabe 1:
Eine jeweils zum Jahresanfang (erstmalig zum 1.1.2000) fällig werdende Rente in Höhe von 10.000 Geldeinheiten p.a. mit einer Laufzeit von 5 Jahren soll in die folgende Rente umgewandelt werden. Der Rechnungszins betrage 6%. Wie hoch sind die jeweiligen Rentenzahlungen?
a)Vierteljährlich nachschüssige Rente mit einer Laufzeit von 10 Jahren beginnend mit dem 31.03.2000.
b)Monatlich vorschüssig mit einer Laufzeit von 10 Jahren beginnend mit dem 01.01.2000.
Aufgabe 2:
Ein Industrieunternehmen hat am 1.1.1988 bei einer Bank einen Investitionskredit in Höhe von 500.000 Geldeinheiten aufgenommen. Der erste Teil der Rückzahlung erfolgte vom 1.1.1990 bis 31.12.1993 mit nachschüssigen Quartalsraten von jeweils 20.000 Geldeinheiten. Vom 1.1.1994 bis 31.12.1996 sollen keine Rückzahlungen erfolgen. Wie lange müssen vorschüssige Monatsraten in Höhe von 15.000 Geldheinheiten ab 1.1.1997 gezahlt werden, damit der gesamte Kredit zurückgezahlt ist (p=10% p.a.)?
Aufgabe 3:
Aus einer 10-jährigen Ansparung für eine Ausbildung nachschüssige Einzahlung 4.800 Geldeinheiten wird eine 12-jährige Rente bezogen, die vierteljährlich ausgezahlt wird. Die Auszahlung der ersten Quartalsrate erfolgt genau ein Jahr nach der letzten Einzahlung. Der Zinssatz beträgt 4,25% p.a.
a)Wie hoch sind die vierteljährlichen Auszahlungsraten?
b)Welche vorschüssigen monatlichen Einzahlungen hätten bei der 10-jährigen Sparaktion die gleichen Auszahlungsbeträge erbracht?
c)Über welchen Zeitraum könnte man aus der angesparten Summe anstelle der obigen Quartalsrente eine vorschüssige Jahresrente von 4.500 Geldeinheiten beziehen, deren erste Auszahlung ebenfalls genau ein Jahr nach der letzten Einzahlung erfolgte?
Aufgabe 4:
a)Eine Person schließt an ihrem 40. Geburtstag eine Lebensversicherung mit einem nachscüssigen Jahresbeitrag in Höhe von 10.000 Geldeinheiten ab, die an ihrem 60. Geburtstag fällig wird. Während dieser Zeit gilt nach Abzug der Kosten für Verwaltung und Versicherungsriskio ein Zinssatz von 6,5% p.a. Wie groß ist das Endkapital?
b)Von dem so angsparten Kapital läßt sich eine nachschüssige Rente bezahlen. Die Versicherungsgesellschaft rechnet mit einer Rest-Lebenserwartung von 20 Jahren und einem Zinssatz von 7,5%. Wie hoch ist die Jahresrente?
c)sie möchte die Rente monatlich nachschüssig ausgezahlt bekommen. Wie hoch ist die monatliche Rente?
d)sie möchte die Rente halbjährlich vorschüssig ausgezahlt bekommen. Wie hoch ist die Rente?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 So 14.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Biened25,
> Aufgabe 1:
> Eine jeweils zum Jahresanfang (erstmalig zum 1.1.2000)
> fällig werdende Rente in Höhe von 10.000 Geldeinheiten p.a.
> mit einer Laufzeit von 5 Jahren soll in die folgende Rente
> umgewandelt werden. Der Rechnungszins betrage 6%. Wie hoch
> sind die jeweiligen Rentenzahlungen?
> a)Vierteljährlich nachschüssige Rente mit einer Laufzeit
> von 10 Jahren beginnend mit dem 31.03.2000.
> b)Monatlich vorschüssig mit einer Laufzeit von 10 Jahren
> beginnend mit dem 01.01.2000.
>
Aufgabe a)
Rentenendwert [mm] K_5 [/mm] =
[mm]10.000*1,06*\bruch{1,06^5 -1}{0,06} = 59.753,19[/mm]
Barwert am 1.1.2000 =
[mm]\bruch{59.753,19}{1,06^5} = 44.651,06[/mm]
Rentenendwert am 31.03.2000 =
[mm]44.651,06*1,06^{0,25} = 45.306,26[/mm]
Rentenendwert [mm] K_{10} [/mm] =
[mm]45.306,26*1,06^{10} = r*(4+\bruch{0,06}{2} *3) =*\bruch{1,06^{10}-1}{0,06}[/mm]
Aufgabe b)
Barwert am 1.1.2000 = 44.651,06
K_10 =
[mm]44.651,06*1,06^{10} = r*(12+\bruch{0,06}{2}*13)*\bruch{1,06^{10}-1}{0,06}[/mm]
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 So 14.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Biened25,
Berichtigung:
Rentenendwert am 31.03.2000 =
$ [mm] 44.651,06\cdot{}1,06^{0,25} [/mm] = 45.306,26 $
Beachte:
Richtigerweise muss hier wohl mit einfacher Verzinsung gerechnet werden!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 So 14.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo,
>
> Aufgabe 4:
> a)Eine Person schließt an ihrem 40. Geburtstag eine
> Lebensversicherung mit einem nachscüssigen Jahresbeitrag in
> Höhe von 10.000 Geldeinheiten ab, die an ihrem 60.
> Geburtstag fällig wird. Während dieser Zeit gilt nach Abzug
> der Kosten für Verwaltung und Versicherungsriskio ein
> Zinssatz von 6,5% p.a. Wie groß ist das Endkapital?
> b)Von dem so angsparten Kapital läßt sich eine
> nachschüssige Rente bezahlen. Die Versicherungsgesellschaft
> rechnet mit einer Rest-Lebenserwartung von 20 Jahren und
> einem Zinssatz von 7,5%. Wie hoch ist die Jahresrente?
> c)sie möchte die Rente monatlich nachschüssig ausgezahlt
> bekommen. Wie hoch ist die monatliche Rente?
> d)sie möchte die Rente halbjährlich vorschüssig ausgezahlt
> bekommen. Wie hoch ist die Rente?
Ansatz:
4a)
[mm]10.000*\bruch{1,065^{20}-1}{0,065} = 388.253,09[/mm]
b)
[mm]388.253,09*1,075^{20} = R*\bruch{1,075^{20}-1}{0,075}[/mm]
c)
[mm]388.253,09*1,075^{20} = r*(12+\bruch{0,075}{2}*11)*\bruch{1,075^{20}-1}{0,075}[/mm]
d)
[mm]388.523,09*1,075^{20} = r*(2+\bruch{0,075}{2}*3)*\bruch{1,075^{20}-1}{0,075}[/mm]
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 So 14.01.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo Biened25,
>
> Aufgabe 3:
> Aus einer 10-jährigen Ansparung für eine Ausbildung
> nachschüssige Einzahlung 4.800 Geldeinheiten wird eine
> 12-jährige Rente bezogen, die vierteljährlich ausgezahlt
> wird. Die Auszahlung der ersten Quartalsrate erfolgt genau
> ein Jahr nach der letzten Einzahlung. Der Zinssatz beträgt
> 4,25% p.a.
> a)Wie hoch sind die vierteljährlichen Auszahlungsraten?
> b)Welche vorschüssigen monatlichen Einzahlungen hätten bei
> der 10-jährigen Sparaktion die gleichen Auszahlungsbeträge
> erbracht?
> c)Über welchen Zeitraum könnte man aus der angesparten
> Summe anstelle der obigen Quartalsrente eine vorschüssige
> Jahresrente von 4.500 Geldeinheiten beziehen, deren erste
> Auszahlung ebenfalls genau ein Jahr nach der letzten
> Einzahlung erfolgte?
>
Ansatz a)
[mm]4.800*\bruch{1,0425^{10}-1}{0,0425} = 58.301,87[/mm]
58.301,87*1,0425 = 60.779,70
[mm]60.779,70*4,0425^{12} - r*(4+\bruch{0,0425}{2}*5)*\bruch{1,0425^{12}-1}{0,0425} = 0[/mm]
r = 1.600,12
b)
[mm]r*(12+\bruch{0,0425}{2}*13)*\bruch{1,0425^{10}-1}{0,0425} = 60.779,70*1,0425^{12}[/mm]
c)
[mm]30.779,70*1,0425^n - 4.500*1,0425*\bruch{1,0425^n -1}{0,0425} = 0[/mm]
Viele Grüße
Josef
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