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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 So 28.10.2012 | | Autor: | mikescho |
| Aufgabe | Wir betrachten auf der Menge [mm] \IR [/mm] die Relation
a [mm] \sim [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a - b [mm] \in \IZ
[/mm]
(1) Zeigen Sie, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
(2) Geben Sie ein Repräsentantensystem für die Relation an.
(3) Was fur ein Objekt erhalten Sie, wenn Sie in der Zahlengeraden alle Punkte, die zur gleichen Aquivalenzklasse gehören, zusammenkleben? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Sind die Aufgaben so richtig bearbeitet. Vor allem bei der (2) bin ich mir nicht sicher. Ich habe schon verschiedenste Definitionen zum Repräsentantensystem durchgelesen, aber ich kann es nicht anwenden. Könnte mir bitte jemand erklären wie ich ein geeignetes finde?
(1) a [mm] \sim [/mm] b [mm] \Leftrightarrow [/mm] a - b [mm] \in \IZ
[/mm]
Symmetrie: zu zeigen a [mm] \sim [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] b [mm] \sim [/mm] a
da b - a [mm] \in \IZ [/mm] ist, ist die Symmetrie der Relation gegeben. [mm] \\
[/mm]
Reflexiv: zu zeigen a [mm] \sim [/mm] a [mm] \Leftrightarrow [/mm] a - a [mm] \in \IZ [/mm]
da a - a = 0 [mm] \in \IZ [/mm] ist, ist die Reflexivität der Relation gegeben.
Transitiv: zu zeigen a [mm] \sim [/mm] b [mm] \wedge [/mm] b [mm] \sim [/mm] z [mm] \Leftrightarrow [/mm] a [mm] \sim [/mm] z
a - b [mm] \in \IZ [/mm] daraus folgt, dass a und b entweder die gleichen
Nachkommastellen haben oder auch aus [mm] \IZ [/mm] sind. Wenn a,b [mm] \in \IZ
[/mm]
sind, dann muss auch z [mm] \in \IZ [/mm] sein. Wenn $a,b$ die gleichen
Nachkommastellen haben, dann hat auch $z$ die selben Nachkommastellen. Daraus
ergibt sich, dass auch a - z [mm] \in \IZ [/mm] sein muss.
Da die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist, handelt es sich um eine
Äquivalenzrelation.
(2) [mm] \IZ$
[/mm]
(3) Man erhält eine Geradengleichung z.B.: Für die Äquivalenzklasse {a,b [mm] \in
[/mm]
[mm] \IZ [/mm] | a - b = 5}
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> Wir betrachten auf der Menge [mm]\IR[/mm] die Relation
> a [mm]\sim[/mm] b [mm]\Leftrightarrow[/mm] a - b [mm]\in \IZ[/mm]
> (1) Zeigen Sie,
> dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist.
> (2) Geben Sie ein Repräsentantensystem für die Relation
> an.
> (3) Was fur ein Objekt erhalten Sie, wenn Sie in der
> Zahlengeraden alle Punkte, die zur gleichen
> Aquivalenzklasse gehören, zusammenkleben?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> (1) a [mm]\sim[/mm] b [mm]\Leftrightarrow[/mm] a - b [mm]\in \IZ[/mm]
> Symmetrie: zu
> zeigen a [mm]\sim[/mm] b [mm]\Rightarrow[/mm] b [mm]\sim[/mm] a
Ja.
> da b - a [mm]\in \IZ[/mm] ist, ist die Symmetrie der Relation
> gegeben. [mm]\\
[/mm]
Da hast Du schon recht, aber Du solltest es so aufschreiben, daß eine lückenlose Argumentationskette entsteht:
Sei [mm] a\sim [/mm] b
==>
[mm] a-b=-(b-a)\in \IZ
[/mm]
==>
[mm] b-a\in \IZ
[/mm]
==>
[mm] b\sim [/mm] a,
also symmetrisch.
> Reflexiv: zu zeigen a [mm]\sim[/mm] a [mm]\Leftrightarrow[/mm] a - a [mm]\in \IZ[/mm]
> da a - a = 0 [mm]\in \IZ[/mm] ist, ist die Reflexivität der
> Relation gegeben.
Ja.
> Transitiv: zu zeigen a [mm]\sim[/mm] b [mm]\wedge[/mm] b [mm]\sim[/mm] z
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] a [mm]\sim[/mm] z
> a - b [mm]\in \IZ[/mm] daraus folgt, dass a und b entweder die
> gleichen
> Nachkommastellen haben oder auch aus [mm]\IZ[/mm] sind. Wenn a,b
> [mm]\in \IZ[/mm]
> sind, dann muss auch z [mm]\in \IZ[/mm] sein. Wenn [mm]a,b[/mm] die
> gleichen
> Nachkommastellen haben, dann hat auch [mm]z[/mm] die selben
> Nachkommastellen. Daraus
> ergibt sich, dass auch a - z [mm]\in \IZ[/mm] sein muss.
Deiner Argumentation kann ich durchaus folgen.
Nur fürchte ich, daß in Deiner Vorlesung "x hat dieselben Nachkommastellen wie y" gar nicht definiert wurde, Du also ierauf nicht zurückgreifen solltest.
Mach es so:
Es sei a [mm] $\sim$ [/mm] b und b [mm] $\sim$ [/mm] z .
Dann sind a-b und b-z beides ganze Zahlen.
Und nun addierst Du...
> Da die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist,
> handelt es sich um eine
> Äquivalenzrelation.
Ja.
> (2) [mm]\IZ$[/mm]
> Vor allem bei der
> (2) bin ich mir nicht sicher. Ich habe schon verschiedenste
> Definitionen zum Repräsentantensystem durchgelesen, aber
> ich kann es nicht anwenden. Könnte mir bitte jemand
> erklären wie ich ein geeignetes finde?
Wir beschäftigen uns zuvor noch mit den Äquivalenzklassen.
In [mm] [a]_{\sim} [/mm] sind alle Zahlen versammelt, die zu a äquivalent sind.
Schreib jetztmal die folgenden Äquivalenzklassen in aufzählender Form auf:
[mm] [1]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [5]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [-7]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [0.123]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [8.123]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [\pi]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [\pi-3]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [\wurzel{2}]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [\wurzel{2}-1]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
[mm] [\wurzel{2}+1]_{\sim}=\{...\}
[/mm]
Hier solltest Du sehen, was Du sicher auch schon gelernt hat:
[mm] füra\sim [/mm] b ist [mm] [a]_{\sim}=[b]_{\sim}.
[/mm]
Du suchst nun ein Repräsentantensystem V.
Dies ist eine Teilmenge V der Grundmenge [mm] \IR, [/mm] welche folgende Eigenschaften hat:
für jede reelle Zahl r gibt es ein [mm] v\in [/mm] V, so daß [mm] v\in[r]_{\sim},
[/mm]
also [mm] [v]_{\sim}=[r]_{sim}.
[/mm]
Vielleicht blickst Du jetzt etwas besser durch.
Du hattest ja oben schon geschrieben, daß es nur auf die Nachkommastellen ankommt. Such Dir nun ein passendes Intervall.
Die Aufgabe (3) kann ich mit meinem Spatzenhirn nicht begreifen.
Ich weiß nicht, wie man auf der Zahlengeraden etwas zusammenkleben kann - und ich habe viel gebastelt früher.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:06 So 28.10.2012 | | Autor: | mikescho |
Danke für deine Hilfe. Ich habe mir jetzt die verschiedenen Äquivalenzklassen angeguckt.
[mm] [1]_{\sim} [/mm] = {....,-2,-1,0,1,2....}
[mm] [2]_{\sim} [/mm] = {....,-2,-1,0,1,2....}
[mm] [0.123]_{\sim} [/mm] = {...,0.123 - 2,0.123 - 1,0.123,1.123...}
[mm] [8.123]_{\sim} [/mm] = {...,0.123 - 2,0.123 - 1,0.123,1.123...}
[mm] [\pi]_{\sim} [/mm] = [mm] {...,\pi - 1,\pi,\pi + 1,\pi + 2,...} [/mm]
[mm] [\pi -3]_{\sim} [/mm] = [mm] {...,\pi - 1,\pi,\pi + 1,\pi + 2,...} [/mm]
Ich hoffe ich habe es richtig Verstanden, dann müsste ich jetzt eine Menge finden, die aus jeder Äquivalenzklasse genau ein Element enthält.
Würde ich jetzt als Repräsentantensystem z.B.: (-1,1) nehmen, dann hätte ich aus der Äquivalenzklasse [mm] [0.123]_{\sim} [/mm] mehrere Elemente eingeschlossen. Also kann dies kein Repräsentantensystem sein oder liege ich da flasch? Demnach bleibt als richtige Lösung, dass ich entwerder (-1,0] oder [0,1) als Repräsentantensystem verwende.
Ist das so richtig gedacht?
(3) die Aufgabe habe ich auch nicht richtig verstanden. Ich dachte zuerst, es würde eine Diagonale entstehen z.B.: a - b = 5, aber nach deiner Erklärung was eine Äquivalenzklasse ist macht dieses keinen Sinn.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:40 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mikescho und auch von mir ein herzliches !
> [mm][1]_{\sim}[/mm] = {....,-2,-1,0,1,2....}
> [mm][2]_{\sim}[/mm] = {....,-2,-1,0,1,2....}
>
> [mm][0.123]_{\sim}[/mm] = {...,0.123 - 2,0.123 - 1,0.123,1.123...}
> [mm][8.123]_{\sim}[/mm] = {...,0.123 - 2,0.123 - 1,0.123,1.123...}
>
> [mm][\pi]_{\sim}[/mm] = [mm]{...,\pi - 1,\pi,\pi + 1,\pi + 2,...}[/mm]
> [mm][\pi -3]_{\sim}[/mm] = [mm]{...,\pi - 1,\pi,\pi + 1,\pi + 2,...}[/mm]
Sehr schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe ich habe es richtig Verstanden, dann müsste ich
> jetzt eine Menge finden, die aus jeder Äquivalenzklasse
> genau ein Element enthält.
> Würde ich jetzt als Repräsentantensystem z.B.: (-1,1)
> nehmen, dann hätte ich aus der Äquivalenzklasse
> [mm][0.123]_{\sim}[/mm] mehrere Elemente eingeschlossen. Also kann
> dies kein Repräsentantensystem sein oder liege ich da
> flasch?
Da liegst du richtig.
> Demnach bleibt als richtige Lösung, dass ich
> entwerder (-1,0] oder [0,1) als Repräsentantensystem
> verwende.
Ja. (Es gibt noch viel mehr Möglichkeiten.)
> (3) die Aufgabe habe ich auch nicht richtig verstanden.
Ist auch eine sehr komische Aufgabe. Nach einigem Überlegen glaube ich, sie ist folgendermaßen gemeint:
Wir stellen uns die Zahlengerade als Schnur vor.
Da man mit unendlich langen Schnüren so schlecht basteln kann, schauen wir uns zunächst mal den endlichen Abschnitt von 0 bis 1 (jeweils einschließlich) an. 0 und 1 müssen zusammengeklebt werden. Wir kleben also die beiden Schnurenden zusammen und erhalten eine Art "Armband".
Nun verlängern wir die Schnur auf den Abschnitt von 0 bis 2. Wir haben also zunächst unser "Armband" (o.ä.), von dem an der Stelle 1(=0) eine Schnur bis zum Endpunkt 2 abgeht. Jetzt sind alle Stellen [mm] $x\in(1,2]$ [/mm] mit der entsprechenden Stelle [mm] $x-1\in(0,1]$ [/mm] zu verkleben. Wir erhalten so wieder unser "Armband".
Mit den Abschnitten von -1 bis 0 und von 2 bis 3 verfahren wir ähnlich. Dann mit den Abschnitten von -2 bis -1 und 3 bis 4. Und so weiter und so fort. Immer wieder erhalten wir unsere Art "Armband".
Viele Grüße
Tobias
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> > (3) die Aufgabe habe ich auch nicht richtig verstanden.
> Ist auch eine sehr komische Aufgabe.
Hallo,
beruhigt mich, daß nicht nur ich sie komisch finde...
> Nach einigem
> Überlegen glaube ich, sie ist folgendermaßen gemeint:
>
> Wir stellen uns die Zahlengerade als Schnur vor.
>
> Da man mit unendlich langen Schnüren so schlecht basteln
> kann, schauen wir uns zunächst mal den endlichen Abschnitt
> von 0 bis 1 (jeweils einschließlich) an. 0 und 1 müssen
> zusammengeklebt werden. Wir kleben also die beiden
> Schnurenden zusammen und erhalten eine Art "Armband".
Also, wenn wir's schön zurechtzupfen, einen Kreis, richtig?
Insgesamt übereinander liegende Kreise. Meinst Du das so?
LG Angela
>
> Nun verlängern wir die Schnur auf den Abschnitt von 0 bis
> 2. Wir haben also zunächst unser "Armband" (o.ä.), von
> dem an der Stelle 1(=0) eine Schnur bis zum Endpunkt 2
> abgeht. Jetzt sind alle Stellen [mm]x\in(1,2][/mm] mit der
> entsprechenden Stelle [mm]x-1\in(0,1][/mm] zu verkleben. Wir
> erhalten so wieder unser "Armband".
>
> Mit den Abschnitten von -1 bis 0 und von 2 bis 3 verfahren
> wir ähnlich. Dann mit den Abschnitten von -2 bis -1 und 3
> bis 4. Und so weiter und so fort. Immer wieder erhalten wir
> unsere Art "Armband".
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:54 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also, wenn wir's schön zurechtzupfen, einen Kreis,
> richtig?
> Insgesamt übereinander liegende Kreise. Meinst Du das
> so?
Genau. Je nach "Zurechtzupferei" könnten wir auch einen Ovalrand, einen Rechtecksrand usw. erhalten. Eben alles, was sich auch aus einem Armband zurechtzupfen lässt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:12 So 28.10.2012 | | Autor: | mikescho |
Danke an euch beide. Ihr habt mir sehr gut weitergeholfen.
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