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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Basti51 |
| Aufgabe | Untersuche für jede der folgenden vier Relationen auf der menge [mm] \IZ [/mm] der ganzen Zahlen, ob sie Äquivalenzrelationen sind. Falls ja, so gib ein vollständiges Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen an.
(a) [mm] a\simb [/mm] falls eine Zahl p in [mm] \IZ [/mm] gibt, so dass x-y=3*p gilt.
(b) [mm] a\simb [/mm] falls x*y>0 oder x=y |
Ich habe bereits die beiden Relationen überprüft und ich denke es handelt sich um Äquivalenzrelationen. Mein Problem:
Ich hab keine Ahnung, wie ich ein Repräsentantensystem aufstelle und wie man bei (a) die Äquivalenzklassen aufschreibt.
Meine Äuivalenzklassen für (b) sind: [o],[x,y >0], [x,y>0] Schreibt man das so auf? Unsere Übungsleitung hat uns nichts dazu sagen können und im Skript finde ich auch nichts.
Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.
mfg Basti
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Wenn es eine Äquivalenzrel. ist, dann gibt es Klassen (Mengen) [mm] \{a_1,a_2,a_3,...\} [/mm] für die gilt, dass [mm] \forall [/mm] i,j [mm] a_i \sim a_j
[/mm]
Bzgl. der Relation [mm] \sim [/mm] sind diese Elemente nun alle gleich.
Daher kann man sich eines aussuchen, und das dann als Repräsentant für die gesammte Menge verwenden.
Du kennst vielleicht die Konstruktion der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] aus den Natürlichen [mm] \IN.
[/mm]
Das Paar [mm] (n_1,n_2) [/mm] ist äquivalent zu [mm] (m_1,m_2) [/mm] falls [mm] n_1-n_2=m_1-m_2
[/mm]
Dann ist (2,3) [mm] \sim [/mm] (3,4) , wegen 2-3=3-4.
Als Repräsentant wird dann (0,1) also 0-1=-1 gewählt.
Wenn man -1 schreibt meint man theoretisch die Klasse aller Paare nat. Zahlen [mm] (n_1,n_2) [/mm] , die äquivalent zu (0,1) sind.
Du musst somit nur ein Ele. aus jeder Klasse aussuchen.
Ciao.
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