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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 20.02.2014 | | Autor: | Theb |
| Aufgabe | 1. Man berechne mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
[mm] (C)\integral f(z)\, [/mm] dz
(C sei der positiv durchlaufene Einheitskreis) uber folgende Funktionen:
(a) f(z) = [mm] \bruch{1}{1+4z^2} [/mm] (b) f(z) = tan(z) |
Hallo erstmal,
zur (a):
Wie geh ich hier denn jetzt vor? also ich habe ja zwei Polstellen [mm] (\pm\bruch{1}{2}*i) [/mm] jetzt weiß ich jedoch nicht mit welcher formel ich auch das residuum komme, denn mit dem [mm] \limes_{z \to a} [/mm] (z-a)*f(z) würde ich doch damit jeweils auf Res(f, [mm] \bruch{1}{2}i) [/mm] = 1 und Res(f, [mm] -\bruch{1}{2}i) [/mm] = 1 kommen oder? Somit hätte ich als lösung I = 4* [mm] \pi*i. [/mm] Das Ergebnis jedoch ist I=0. Was mache ich hier falsch?
MfG Seb
PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> 1. Man berechne mit Hilfe des Residuensatzes das Integral
> [mm](C)\integral f(z)\,[/mm] dz
> (C sei der positiv durchlaufene Einheitskreis) uber
> folgende Funktionen:
> (a) f(z) = [mm]\bruch{1}{1+4z^2}[/mm] (b) f(z) = tan(z)
> Hallo erstmal,
>
> zur (a):
>
> Wie geh ich hier denn jetzt vor? also ich habe ja zwei
> Polstellen [mm](\pm\bruch{1}{2}*i)[/mm] jetzt weiß ich jedoch nicht
> mit welcher formel ich auch das residuum komme, denn mit
> dem [mm]\limes_{z \to a}[/mm] (z-a)*f(z) würde ich doch damit
> jeweils auf Res(f, [mm]\bruch{1}{2}i)[/mm] = 1 und Res(f,
> [mm]-\bruch{1}{2}i)[/mm] = 1 kommen oder?
Du hast Dich bei der Berechnung beider Residuen verrechnet !
> Somit hätte ich als
> lösung I = 4* [mm]\pi*i.[/mm] Das Ergebnis jedoch ist I=0.
Ja, das stimmt.
> Was
> mache ich hier falsch?
Kann ich Dir nicht sagen. Du hast Dich, wie gesagt, verrechnet. Wo Dein Fehler ist, kann man erst feststellen, wenn Du Deine Rechnungen nicht weiterhin verschweigst.
FRED
>
> MfG Seb
>
>
> PS:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 20.02.2014 | | Autor: | Theb |
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich habe meine Rechnung nochmal überdacht und komme jetzt auf Res(f, [mm] \bruch{1}{2}i) [/mm] = [mm] \bruch{4}{i} [/mm] und
Res(f, [mm] \bruch{1}{2}i) [/mm] = [mm] -\bruch{4}{i}... [/mm] dadurch komme ich auf I = 0. Mein Fehler war in der Überlegung der Formel, ich habe (rein aus Gewohnheit) "(z-a)" mit dem gesamten Nenner gekürzt, da dies bei bei meinen bisherigen Übungen der Fall gewesen ist. *schämend das Haupt zum Boden geneigt* Also Danke nochmal :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich habe meine
> Rechnung nochmal überdacht und komme jetzt auf Res(f,
> [mm]\bruch{1}{2}i)[/mm] = [mm]\bruch{4}{i}[/mm]
Stimmt
> und
> Res(f, [mm]\bruch{1}{2}i)[/mm] = [mm]-\bruch{4}{i}...[/mm]
Stimmt auch
> dadurch komme
> ich auf I = 0. Mein Fehler war in der Überlegung der
> Formel, ich habe (rein aus Gewohnheit) "(z-a)" mit dem
> gesamten Nenner gekürzt, da dies bei bei meinen bisherigen
> Übungen der Fall gewesen ist. *schäment das Haupt zum
> Boden geneigt* Also Danke nochmal :)
Deswegen musst Du Dich nicht schämen. Eher Grund zur Scham hast Du , wenn Du "schämend" so schreibst: schäment.....
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Do 20.02.2014 | | Autor: | Theb |
Auch hier danke für diesen Hinweis ;)
LG
Seb
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 Do 20.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu meiner ersten Antwort:
Setzen wir [mm] a:=\bruch{i}{2}, [/mm] so hat f in a und -a jeweils einen Pol der Ordnung 1.
Dass das Integral
$ [mm] (C)\integral f(z)\, [/mm] dz=0$
ist sieht man dann so:
$Res(f,a) = [mm] \limes_{z\rightarrow a} \bruch{z-a}{1+4z^2}=\limes_{z\rightarrow -a} \bruch{-z-a}{1+4(-z)^2}=-\limes_{z\rightarrow -a} \bruch{z+a}{1+4z^2}=-Res(f,-a)$
[/mm]
FRED
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