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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:32 Mi 22.07.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Berechne mit Hilfe des Residuensatzes:
[mm] \integral_{\delta B_{2}(0)}{\bruch{dz}{sin^2(z)*cos(z)}} [/mm] |
Ich habe zuerst die singulären Punkt gesucht.
Das wären [mm] \bruch{\pi}{2}*k, [/mm] wobei k [mm] \in [/mm] {-1 , 0 , 1}.
Das sind also diejenigen sinuglären Punkte, welche im Ball [mm] B_{2}(0) [/mm] sind.
Daraus folgt, dass [mm] Ind_{B_{2}(0)} [/mm] für diese Punkte = 1 ist.
Nun muss ich also noch [mm] res_c(h) [/mm] für diese 3 singulären Punkt berechnen, wobei h= [mm] \bruch{1}{sin^2(z)*cos(z)}.
[/mm]
Dies habe ich mit Hilfe des folgenden Lemmas gemacht:
Es seien g und h holomorph in einer Umgebung von c, wobei g(c) [mm] \not= [/mm] 0, h(c)=0 und [mm] h'(c)\not= [/mm] 0. Dann hat f := [mm] \bruch{g}{h} [/mm] in c einen einfachen Pol, und es gilt:
[mm] res_c [/mm] f = [mm] \bruch{g(c)}{h'(c)}.
[/mm]
So habe ich für [mm] res_{-\bruch{\pi}{2}}(h)= [/mm] 1
und [mm] res_{\bruch{\pi}{2}}(h)= [/mm] -1 erhalten. Stimmt das?
Bin mir also überhaupt nicht sicher.
Und wie kann ich dann [mm] res_0 [/mm] (h) herausfinden? Mit diesem Lemma geht das ja nicht...?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 22.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Berechne mit Hilfe des Residuensatzes:
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> [mm]\integral_{\delta B_{2}(0)}{\bruch{dz}{sin^2(z)*cos(z)}}[/mm]
>
> Ich habe zuerst die singulären Punkt gesucht.
> Das wären [mm]\bruch{\pi}{2}*k,[/mm] wobei k [mm]\in[/mm] {-1 , 0 , 1}.
> Das sind also diejenigen sinuglären Punkte, welche im
> Ball [mm]B_{2}(0)[/mm] sind.
>
> Daraus folgt, dass [mm]Ind_{B_{2}(0)}[/mm] für diese Punkte = 1
> ist.
>
> Nun muss ich also noch [mm]res_c(h)[/mm] für diese 3 singulären
> Punkt berechnen, wobei h= [mm]\bruch{1}{sin^2(z)*cos(z)}.[/mm]
>
> Dies habe ich mit Hilfe des folgenden Lemmas gemacht:
>
> Es seien g und h holomorph in einer Umgebung von c, wobei
> g(c) [mm]\not=[/mm] 0, h(c)=0 und [mm]h'(c)\not=[/mm] 0. Dann hat f :=
> [mm]\bruch{g}{h}[/mm] in c einen einfachen Pol, und es gilt:
>
> [mm]res_c[/mm] f = [mm]\bruch{g(c)}{h'(c)}.[/mm]
>
> So habe ich für [mm]res_{-\bruch{\pi}{2}}(h)=[/mm] 1
> und [mm]res_{\bruch{\pi}{2}}(h)=[/mm] -1 erhalten. Stimmt das?
Du meinst [mm]res_{-\bruch{\pi}{2}}(\red{f})= 1[/mm] und [mm]res_{\bruch{\pi}{2}}(\red{f})= -1[/mm]? Ja, beide Werte stimmen.
> Bin mir also überhaupt nicht sicher.
> Und wie kann ich dann [mm]res_0[/mm] (h) herausfinden? Mit diesem
> Lemma geht das ja nicht...?
Es gibt (wie so oft) mehrere Möglichkeiten. Bei 0 hat f einen Pol 2. Ordnung, daher kannst du die allgemeine Formel für Pole n-ter Ordnung benutzen:
[mm]\mathrm{res}_0 f = \lim_{z\to0} \bruch{d}{dz}(z^2f(z)) [/mm].
Das ist allerdings mühsam.
Einfacher ist dieses Argument: f ist eine gerade Funktion von z: $f(-z)=f(z)$. Daher verschwinden in der Laurententwicklung um 0 alle Koeffizienten der ungeraden Potenzen von z, und damit auch der zu [mm] $z^{-1}$. [/mm] Also ist das gesuchte Residuum 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Do 23.07.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
Vielen Dank für die Antwort.
>
> Einfacher ist dieses Argument: f ist eine gerade Funktion
> von z: [mm]f(-z)=f(z)[/mm]. Daher verschwinden in der
> Laurententwicklung um 0 alle Koeffizienten der ungeraden
> Potenzen von z, und damit auch der zu [mm]z^{-1}[/mm]. Also ist das
> gesuchte Residuum 0.
>
Hier ist mir aber noch nicht ganz klar, wie ich sehen kann, dass alle Koeffizienten mit ungeraden Potenzen verschwinden.
f ist eine gerade Funktion. Das ist mir klar.
Doch müsste ich nun die Funktion in eine Laurentreihen entwicklen, damit ich sehen kann, dass alle Koeffizienten mit ungeraden Potenzen verschwinden? Oder kann ich dies auch auf eine einfacherer Art sehen?
Dann hätte ich noch eine Frage zu folgendem Integral:
[mm] \integral_{\gamma}{\bruch{e^{\pi*z}}{z^2+1}dz}, [/mm] wobei [mm] \gamma [/mm] der Rand von [mm] B_2(0) \cap [/mm] H ist.
Das wäre also der postitive Halbkreis mit Radius 2 und Zentrum 0, oder?
Und das Integral habe ich wieder mit Hilfe des Residums auszurechnen versucht:
i ist ja der singuläre Punkt. eine Polstelle glaube ich.
Danach habe ich wieder obiges Lemma verwendet. g(z) = [mm] e^{\pi*z}, [/mm] h(z)= [mm] z^2 [/mm] +1 , h'(z) = 2z.
Also ist [mm] res_i [/mm] f = [mm] \bruch{e^{\pi*i}}{2i} [/mm] = [mm] \bruch{i}{2}.
[/mm]
Doch wie kann ich nun den Resiudensatz anwenden, da es sich hier ja nicht um einen geschlossenen Weg handelt, sondern eben nur um einen Halbkreis?
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Ist [mm]f(z) = \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} a_{\nu} z^{\nu}[/mm] die Laurententwicklung einer geraden Funktion, so folgt aus [mm]f(-z) = f(z)[/mm] die Beziehung
[mm]\sum_{\nu = - \infty}^{\infty} a_{\nu} (-1)^{\nu} z^{\nu} = \sum_{\nu = - \infty}^{\infty} a_{\nu} z^{\nu}[/mm]
Und durch Koeffizientenvergleich bekommt man für ungerade [mm]\nu = 2 \mu + 1[/mm]
[mm]- a_{2 \mu + 1} = a_{2 \mu + 1}[/mm],
also
[mm]a_{2 \mu + 1} = 0[/mm]
Und zur zweiten Frage: Wenn [mm]\gamma[/mm] der positiv orientierte Rand des Halbkreises ist, dann gehört dazu auch die Strecke auf der reellen Achse von -2 bis 2.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Fr 24.07.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
danke erstmals für die Antwort.
> Und zur zweiten Frage: Wenn [mm]\gamma[/mm] der positiv orientierte
> Rand des Halbkreises ist, dann gehört dazu auch die
> Strecke auf der reellen Achse von -2 bis 2.
Hier ist mir aber etwas noch nicht ganz klar.
Genau, die Strecke von -2 bis 2 gehört auch dazu.
Kann ich also nun einfach das Interal über den Halbkreis berechnen und danach noch das reelle Integral über -2 bis 2?
Also [mm] \integral_{\mu}{f(z) dz} [/mm] + [mm] \integral_{-2}^{2}{f(z) dz}? [/mm] (wobei [mm] \mu [/mm] der positive Halbkreis von [mm] B_2(0) [/mm] ist.)
Doch wie kann ich das Integral über [mm] \mu [/mm] mit Hilfe des Residuensatzes berechnen? Ist dies einfach halb so gross wie das Integral über den ganzen Kreis? Wohl nicht, oder?
Und der Residuensatz gilt ja nur für geschlossene Wege... Wie kann ich diesen hier überhaupt anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:27 Fr 24.07.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Du hast dich da ein bischen verrannt: der Integrationsweg ist der Rand einer halben Kreisfläche. Dies ist ein geschlossener Weg. Damit kannst du den Residuensatz direkt anwenden. Dass du den Integrationsweg in die zwei Teile (halbe Kreislinie und Durchmesser) zerlegen kannst, ist für den Residuensatz unerheblich.
Viele Grüße
Rainer
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