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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 So 04.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hallo !
hab eine Frage zu dem Residuensatz, den ich in folgender Fassung kenne:
f sei eine Funktion, die auf der offenen Menge U bis auf isolierte Singularitäten holomorph sei. Dann gilt für jeden nullhomologen Zyklus [mm] \Gamma [/mm] in U, auf dessen Spur keine Singularität von f liegt:
[mm] \int_{\Gamma}f(z)dz=2\pi i*\sum_{z\in U}n(\Gamma,z)*res_{z}f
[/mm]
Folgende Frage:
Warum ist die Summe auf der rechten Seite existent bzw sinnvoll?
Habe im Skript die Begründung gelesen, dass [mm] K=\{z\in\IC, n(\Gamma,z)\not=0\} [/mm] eine relativ kompakte Teilmenge von U sei, die nur endlich viele isol. Singularitäten enthält.
(1) Warum ist K relativ kompakt? Muss damit zu tun haben, dass [mm] \Gamma [/mm] nullhomolog ist...
(2) Wieso folgt daraus, dass [mm] K\cap\{isolierten Sing.\} [/mm] endlich ist ?
Wäre super, wenn ihr mir da auf die Sprünge helfen könntet.
Danke !
Lieben Gruß
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 So 04.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fry!
> hab eine Frage zu dem Residuensatz, den ich in folgender
> Fassung kenne:
>
> f sei eine Funktion, die auf der offenen Menge U bis auf
> isolierte Singularitäten holomorph sei. Dann gilt für
> jeden nullhomologen Zyklus [mm]\Gamma[/mm] in U, auf dessen Spur
> keine Singularität von f liegt:
>
> [mm]\int_{\Gamma}f(z)dz=2\pi i*\sum_{z\in U}n(\Gamma,z)*res_{z}f[/mm]
>
> Folgende Frage:
> Warum ist die Summe auf der rechten Seite existent bzw
> sinnvoll?
> Habe im Skript die Begründung gelesen, dass [mm]K=\{z\in\IC, n(\Gamma,z)\not=0\}[/mm]
> eine relativ kompakte Teilmenge von U sei, die nur endlich
> viele isol. Singularitäten enthält.
> (1) Warum ist K relativ kompakt? Muss damit zu tun haben,
> dass [mm]\Gamma[/mm] nullhomolog ist...
Auf der unbeschraenkten Komponente von [mm] $\IC \setminus Spur(\Gamma)$ [/mm] ist die Windungszahl 0, womit der Bereich, in dem die Windungszahl [mm] $\neq [/mm] 0$ ist, beschraenkt ist. Und in [mm] $\IC$ [/mm] bedeutet das, dass er relativ kompakt ist (Satz von Heine-Borel).
Nullhomolog brauchst du hier nur dafuer, dass sich innerhalb von $K$ die Singularitaeten nicht haeufen. (Also eigentlich brauchst du das dafuer, dass der Abschluss von $K$ in $U$ liegt -- daraus wiederum folgt, dass sich die Singularitaeten in $K$ nicht haeufen.)
> (2) Wieso folgt daraus, dass [mm]K\cap\{isolierten Sing.\}[/mm]
> endlich ist ?
Die Menge der Singularitaeten ist ![[]](/images/popup.gif) diskret (um jede Singularitaet findest du eine kleine Kreisscheibe, in der es keine weitere Singularitaet gibt). Aber diskret bedeutet ja gerade, dass in einer (relativ) kompakten Menge nur endlich viele davon liegen.
Hilft dir das schon weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 So 04.04.2010 | | Autor: | Fry |
Huhu Felix,
danke für deine schnelle Antwort !!
Könntest du mir vielleicht dieses genauer erklären:
"Nullhomolog brauchst du hier nur dafuer, dass sich innerhalb von $ K $ die Singularitaeten nicht haeufen. (Also eigentlich brauchst du das dafuer, dass der Abschluss von $ K $ in $ U $ liegt -- daraus wiederum folgt, dass sich die Singularitaeten in $ K $ nicht haeufen.) "
Du schreibst, dass die Menge der Singularitäten diskret sei (in U?).
Ich kenne die Definition mittels "Menge hat keine Häufungspunkte in U". Ist dies äquivalent? Dann wäre die Menge der isol. Singularitäten nicht diskret in U... hab das Gefühl, dass es mehrere nicht äquivalente Definitionen von diskret gibt...
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:11 Mo 05.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Fry,
> danke für deine schnelle Antwort !!
Bitte :)
> Könntest du mir vielleicht dieses genauer erklären:
>
> "Nullhomolog brauchst du hier nur dafuer, dass sich
> innerhalb von [mm]K[/mm] die Singularitaeten nicht haeufen. (Also
> eigentlich brauchst du das dafuer, dass der Abschluss von [mm]K[/mm]
> in [mm]U[/mm] liegt -- daraus wiederum folgt, dass sich die
> Singularitaeten in [mm]K[/mm] nicht haeufen.) "
>
> Du schreibst, dass die Menge der Singularitäten diskret
> sei (in U?).
Genau. Ob eine Menge diskret ist, haengt nicht (direkt) von der umgebenden Menge ab, sondern nur von der induzierten Topologie: diese muss diskret sein.
> Ich kenne die Definition mittels "Menge hat keine
> Häufungspunkte in U". Ist dies äquivalent?
Nein, aber dies ist eine staerkere Aussage. Aus $U [mm] \subseteq [/mm] X$ "hat keine Haeufungspunkte in $X$" folgt, dass $U$ diskret ist. Aber die Menge [mm] $\{ \frac{1}{n} \mid n \in \IN_{\ge 1} \}$ [/mm] ist ebenfalls diskret in $[0, 1]$, hat jedoch einen Haeufungspunkt. Aber der Haeufungspunkt gehoert nicht zur Menge selber.
> Dann wäre die Menge der isol. Singularitäten nicht diskret in U...
Wieso das? Die Menge der isolierten Singularitaeten ist immer diskret, wie der Name "isoliert" schon sagt: um jede isolierte Singularitaet gibt es eine kleine Kreisscheibe, auf der die Funktion sonst keine Singularitaet hat.
> hab das Gefühl, dass es mehrere nicht äquivalente
> Definitionen von diskret gibt...
Die "richige" Definition ist: eine Menge $A [mm] \subseteq [/mm] X$ heisst diskret, wenn die induzierte Topologie auf $A$ die diskrete Topologie ist (d.h. jede Menge ist offen). Anders gesagt: $A$ ist diskret, wenn es zu jedem $a [mm] \in [/mm] A$ eine offene Menge $U [mm] \subseteq [/mm] X$ gibt mit $A [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{ a \}$. [/mm] (Sprich: [mm] $\{ a \}$ [/mm] ist offen in $A$ fuer jedes $a [mm] \in [/mm] A$.)
Daraus folgt naemlich: ist $K$ kompakt und $A$ diskret (beides in einem topologischen Raum, sagen wir $X$), so ist $K [mm] \cap [/mm] A$ sowohl diskret wie auch kompakt -- und damit endlich.
Und man kann zeigen, dass (in vernuenftigen Raeumen $X$, etwa [mm] $\IR^n$ [/mm] oder [mm] $\IC^n$; [/mm] allgemein muesste man es nachpruefen) $A$ genau dann diskret ist, wenn fuer jede kompakte Menge $K$ gilt $|A [mm] \cap [/mm] K| < [mm] \infty$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 05.04.2010 | | Autor: | Fry |
Vielen Dank für die Erklärungen !
Könntest du vielleicht trotzdem folgendes nochmal genauer erklären:
Nullhomolog brauchst du hier nur dafuer, dass sich innerhalb von $ K $ die Singularitaeten nicht haeufen. (Also eigentlich brauchst du das dafuer, dass der Abschluss von $ K $ in $ U $ liegt -- daraus wiederum folgt, dass sich die Singularitaeten in $ K $ nicht haeufen.)
Das hab ich noch nicht so richtig verstanden.
Danke : ) + Frohe Ostern
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:36 Di 06.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Christian,
> Könntest du vielleicht trotzdem folgendes nochmal genauer
> erklären:
>
> Nullhomolog brauchst du hier nur dafuer, dass sich
> innerhalb von [mm]K[/mm] die Singularitaeten nicht haeufen. (Also
> eigentlich brauchst du das dafuer, dass der Abschluss von [mm]K[/mm]
> in [mm]U[/mm] liegt -- daraus wiederum folgt, dass sich die
> Singularitaeten in [mm]K[/mm] nicht haeufen.)
also:
1) Aus nullhomolog folgt, dass der Abschluss von $K$ in $U$ liegt:
Aus nullhomolog folgt erstmal, dass $K$ selber in $U$ liegt. Weiterhin liegt die Spur von [mm] $\Gamma$ [/mm] ebenfalls in $U$, und diese ist der Rand von $K$. Damit liegt der Abschluss von $K$ in $U$.
2) Aus [mm] $\overline{K} \subseteq [/mm] U$ folgt, dass sich in $K$ die Singularitaeten von $f$ nicht haeufen:
Die Menge [mm] $\overline{K}$ [/mm] ist abgeschlossen, und falls sich Singularitaeten (oder sonstige Punkte) in einer abgeschlossenen Menge haeufen, ist der Haeufungspunkt auch in dieser enthalten. Und da [mm] $\overline{K} \subseteq [/mm] U$ gilt, gaebe es somit auch einen Haeufungspunkt in $U$ -- was aber nicht sein kann.
Dir auch frohe Ostern!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:42 Do 08.04.2010 | | Autor: | Fry |
Super, nochmal vielen Dank für deine wie immer gut verständlichen Erklärungen : )
Gruß!
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Sa 10.04.2010 | | Autor: | Fry |
Hey Felix,
hab nochmal ne kleine Frage:
Warum ist denn unbedingt die Spur von [mm] \Gamma [/mm] = Rand von K ?
Könnte es nicht auch anders sein?
Gruß
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 10.04.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Christian,
> hab nochmal ne kleine Frage:
> Warum ist denn unbedingt die Spur von [mm]\Gamma[/mm] = Rand von K
> ?
> Könnte es nicht auch anders sein?
ah, das stimmt nicht ganz. Der Rand von $K$ ist in der Spur von [mm] $\Gamma$ [/mm] enthalten.
In jeder Zusammenhangskomponente von $U [mm] \setminus Spur(\Gamma)$ [/mm] ist [mm] $n(\Gamma, \bullet)$ [/mm] konstant, womit in jeder solchen Komponente kein Randpunkt von $K$ liegen kann. Damit muss der Rand von $K$ ausserhalb $U [mm] \setminus Spur(\Gamma)$ [/mm] liegen, also in [mm] $Spur(\Gamma) \cup \partial [/mm] U$.
Jedoch liegt [mm] $Spur(\Gamma)$ [/mm] in $U$, also "weit entfernt" von [mm] $\partial [/mm] U$. Damit kann kein Randpunkt von $K$ in [mm] $\partial [/mm] U$ liegen, womit [mm] $\partial [/mm] K [mm] \subseteq Spur(\Gamma)$ [/mm] sein muss.
LG Felix
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