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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 06.07.2010 | | Autor: | Sierra |
| Aufgabe | Zu berechnen ist folgendes Integral:
[mm] \integral_{0}^{\infty}\bruch{x*sin(x)}{x^{4}+4x^{2}+4} [/mm] |
Hallo
ich bin zunächst wie folgt vorgegangen:
[mm] z^{4}+4z^{2}+4 [/mm] = ( [mm] z^{2} [/mm] + [mm] 2)^{2} [/mm] = 0
-> [mm] z_{0} [/mm] = [mm] \wurzel{2}*i
[/mm]
Nun habe ich doch einen Pol 4ter Ordnung, sodass ich folgendermaßen das Residuum bestimmen kann:
[mm] Res(f;z_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{z\rightarrow\wurzel{2}i} \bruch{1}{3!}*\bruch{d^{3}}{dz^{3}}*[\bruch{(z-\wurzel{2}i)^{3}*z*sin(z)}{(z^{2}+2)}]
[/mm]
Da dort aber quatsch rauskommt scheint das nicht der richtige Weg gewesen zu sein. Wo liegt der Fehler?
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Di 06.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Sierra!
> Zu berechnen ist folgendes Integral:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}\bruch{x*sin(x)}{x^{4}+4x^{2}+4}[/mm]
> Hallo
>
> ich bin zunächst wie folgt vorgegangen:
>
> [mm]z^{4}+4z^{2}+4[/mm] = ( [mm]z^{2}[/mm] + [mm]2)^{2}[/mm] = 0
>
> -> [mm]z_{0}[/mm] = [mm]\wurzel{2}*i[/mm]
Das ist eine der beiden Nullstellen, die andere ist [mm]-\wurzel{2}*i[/mm].
>
> Nun habe ich doch einen Pol 4ter Ordnung,
Das kann nicht sein, denn dann ließe sich der Nenner schreiben als [mm] $(z-z_0)^4$, [/mm] was offensichtlich nicht der Fall ist.
Bleibt noch die Frage, wie du vom Residuum auf den Wert des Integrals kommst. Tipp: der Integrand ist eine gerade Funktion von x.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo Rainer
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> Das kann nicht sein, denn dann ließe sich der Nenner
> schreiben als [mm](z-z_0)^4[/mm], was offensichtlich nicht der Fall
> ist.
Gut, es ist wohl doch eher ein Pol 2ter Ordnung:
[mm] Res(f,z_{0})= \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{1}{2} \bruch{d}{dz} [(z-z_{0})^{2} \bruch{z*sinz}{(z^{2}+2)^{2}}]
[/mm]
Hier weiß ich schon nicht mehr so richtig weiter, folgender Schritt wäre wohl eher unzulässig
[mm] =\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{1}{2} \bruch{d}{dz} z\*sinz
[/mm]
>
> Bleibt noch die Frage, wie du vom Residuum auf den Wert des
> Integrals kommst. Tipp: der Integrand ist eine gerade
> Funktion von x.
>
> Viele Grüße
> Rainer
>
Gruß
Sierra
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:50 Mi 07.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
> [mm]Res(f,z_{0})= \limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{1}{2} \bruch{d}{dz} [(z-z_{0})^{2} \bruch{z*sinz}{(z^{2}+2)^{2}}][/mm]
>
> Hier weiß ich schon nicht mehr so richtig weiter,
> folgender Schritt wäre wohl eher unzulässig
> [mm]=\limes_{z\rightarrow z_{0}} \bruch{1}{2} \bruch{d}{dz} z\*sinz[/mm]
Das sieht gut aus in meinen Augen.
Jetzt schreibe im Nenner [mm] (z^{2} [/mm] + [mm] 2)^{2} [/mm] = [mm] [(z-\wurzel{2}*i)*(z+\wurzel{2}*i)]^{2}
[/mm]
Für [mm] z_{0} [/mm] musst du natürlich [mm] \wurzel{2}*i [/mm] einsetzen.
Und jetzt einfach das folgende ausführen:
[mm] \bruch{d}{dz}[(z-z_{0})^{2} \bruch{z*sinz}{(z^{2}+2)^{2}}]_{z_{0}}
[/mm]
und diese Abgeleitete Funktion an der Stelle [mm] z_{0} [/mm] auswerten.
PS: gehe auf wolframalpha.com und gib "residues "deine Funktion"" ein.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Mi 07.07.2010 | | Autor: | Sierra |
Hab vielen Dank :)
> Jetzt schreibe im Nenner [mm](z^{2}[/mm] + [mm]2)^{2}[/mm] =
> [mm][(z-\wurzel{2}*i)*(z+\wurzel{2}*i)]^{2}[/mm]
der Schritt war das, was mir fehlte...
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