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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:47 Di 07.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Hier noch eine Aufgabe:
Wende den Residuensatz auf die Funktion f bezüglich des Gebietes [mm] \Omega(r) [/mm] aus Aufgabe 1 an, und betrachte den Limes [mm] r\to\infty. [/mm] Zeige so, dass [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\wurzel{\pi}.
[/mm]
(Hier nochmal Aufgabe 1:
Betrachte die Funktion [mm] f(z):=\bruch{e^{-z^2}}{1+e^{-2az}} [/mm] mit [mm] a:=(1+i)\wurzel{\bruch{\pi}{2}}. [/mm] Zeige, dass [mm] z_n:=\bruch{1}{2}(2n-1)a [/mm] mit [mm] n\in\IZ [/mm] die einzigen Polstellen von f sind, und dass alle Pole einfach sind. Zeige weiter, dass [mm] f(z)-f(z+a)=e^{-z^2}. [/mm] Es seinen dann [mm] r>\wurzel{\bruch{\pi}{2}} [/mm] und [mm] \Omega(r) [/mm] das Rechteck mit den Ecken r, [mm] r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}, [/mm] -r. Zeige, dass [mm] z_1 [/mm] der einzige Pol in [mm] \Omega(r) [/mm] ist, und dass das Residuum von f in [mm] z_1 [/mm] durch [mm] -\bruch{i}{2\wurzel{\pi}} [/mm] gegeben ist.)
So, nun kann ich doch nach dem Residuensatz schreiben:
[mm] \integral_{\Omega(r)}f(z)\;dz [/mm] = [mm] 2\pi i*\bruch{1}{2}a [/mm] = [mm] a\pi [/mm] i
denn [mm] z_1=\bruch{1}{2}a [/mm] ist ja nach Aufgabe 1 die einzige Polstelle, die in dem Rechteck liegt, also brauche ich doch über die anderen gar nicht zu summieren, oder? Und die Windungszahl von [mm] \Omega [/mm] ist doch =1, weil ich nur einmal auf dem Rechteck entlang gehe, oder nicht?
Allerdings glaube ich, dass da doch irgendetwas falsch ist, weil da nämlich kein r mehr drin vorkommt, und dann kann ich ja schlecht den limes über r bilden... ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Und was das Ganze dann mit dem Integral da zu tun hat, ist mir auch noch nicht klar. Ob mir da vielleicht jemand einen Tipp geben könnte?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich kann dir aus Zeitgründen nur den groben Weg skizzieren. Vielleicht kann dir dann ja jemand anders bei den Details weiterhelfen...
Definiere
[mm] $\gamma_1(t) [/mm] = r + [mm] ti\sqrt{\frac{\pi}{2}}$,
[/mm]
[mm] $\gamma_2(t) [/mm] = [mm] i\sqrt{\frac{\pi}{2}} [/mm] + r-2tr$,
[mm] $\gamma_3(t) [/mm] = [mm] -r+(1-t)i\sqrt{\frac{\pi}{2}}$,
[/mm]
[mm] $\gamma_4(t) [/mm] = -r +2tr$.
Es gilt nun:
[mm] $\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_{\gamma_1} f(z)\, [/mm] dz + [mm] \int\limits_{\gamma_2}f(z)\, [/mm] dz + [mm] \int\limits_{\gamma_3}f(z) [/mm] + [mm] \int\limits_{\gamma_4} [/mm] f(z)$.
Weiterhin gilt nach dem Residuensatz:
[mm] $\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, [/mm] dz = [mm] 2\pi [/mm] i [mm] res_{z_1}f [/mm] = [mm] 2\pi i\cdot \frac{-i}{2\sqrt{\pi }} [/mm] = [mm] \sqrt{\pi}$.
[/mm]
Nun weist du folgendes nach:
[mm] $\int\limits_{\gamma_4} [/mm] f(z) + [mm] \int\limits_{\gamma_2} [/mm] f(z) = [mm] \int\limits_{-r}^r e^{-z^2}\, [/mm] dz$.
(Benutze dabei die andere Aufgabe. Allerdings habe ich es eben nicht hinbekommen und befürchte, dass die Eckpunkte des Quadrats im Hinweis falsch gewählt sind, für mich müsste $r+a$ eine Ecke sein (aber es kann sein, dass ich Trottel mich verrechnet habe).)
[mm] $\lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{\gamma_1} [/mm] f(z)=0 = [mm] \lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_ {\gamma_3} [/mm] f(z)$.
Daraus folgt dann die Behauptung.
Um letzteres nachzuweisen, musst du die Wegintergrale natürlich gemäß
[mm] $\int\limits_{\gamma}f(z)\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^1 f(\gamma(t))\, \gamma'(t)\, [/mm] dt$
parametrisieren, wie wir das ja schon so oft mittlerweile gemacht haben.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mi 08.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
> Ich kann dir aus Zeitgründen nur den groben Weg skizzieren.
> Vielleicht kann dir dann ja jemand anders bei den Details
> weiterhelfen...
Macht nichts - das ist ja schon recht viel.  Danke.
> Definiere
>
> [mm]\gamma_1(t) = r + ti\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm],
>
> [mm]\gamma_2(t) = i\sqrt{\frac{\pi}{2}} + r-2tr[/mm],
>
> [mm]\gamma_3(t) = -r+(1-t)i\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm],
>
> [mm]\gamma_4(t) = -r +2tr[/mm].
edit: Ich glaub', ich hab' das jetzt verstanden, was ich hier im Folgenden beschrieben habe, lies vielleicht erstmal das hier.
Vielleicht kannst du mir bei Gelegenheit mal erklären, wie man auf diese komischen Wege kommt? Ich glaube dir das jetzt einfach mal, deswegen musst du es nicht direkt erklären, aber vielleicht für Montag (am Montag hab ich Übung). Ich habe mal versucht, das zu rekonstruieren - ich würde sagen, du hast mit [mm] \gamma_1 [/mm] auf dem rechten senkrechten Stück angefangen und bist dann mathematisch gegen den Uhrzeigersinn gegangen. Allerdings verstehe ich [mm] \gamma_4 [/mm] überhaupt nicht. Muss da nicht noch irgendwo ein i hin? Aber selber da drauf kommen würde ich sowieso nicht. (Ich hab' das jetzt mal so versucht zu verstehen: Der Realteil ist quasi der Stützvektor und der Imaginärteil der Richtungsvektor (kann man das eigentlich so als Gerade auffassen?), nur dann verstehe ich nicht, wieso dann da bei [mm] \gamma_1 [/mm] nicht nur ti steht. Oder sind die Grenzen hier direkt mit drin - also dass es keine Gerade, sondern nur die Strecke ist, die wir haben wollen? Müsste ja eigentlich...)
> Es gilt nun:
>
> [mm]\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, dz = \int\limits_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_2}f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_3}f(z) + \int\limits_{\gamma_4} f(z)[/mm].
>
> Weiterhin gilt nach dem Residuensatz:
>
> [mm]\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, dz = 2\pi i res_{z_1}f = 2\pi i\cdot \frac{-i}{2\sqrt{\pi }} = \sqrt{\pi}[/mm].
>
> Nun weist du folgendes nach:
>
> [mm]\int\limits_{\gamma_4} f(z) + \int\limits_{\gamma_2} f(z) = \int\limits_{-r}^r e^{-z^2}\, dz[/mm].
>
> (Benutze dabei die andere Aufgabe. Allerdings habe ich es
> eben nicht hinbekommen und befürchte, dass die Eckpunkte
> des Quadrats im Hinweis falsch gewählt sind, für mich
> müsste [mm]r+a[/mm] eine Ecke sein (aber es kann sein, dass ich
> Trottel mich verrechnet habe).)
>
> [mm]\lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{\gamma_1} f(z)=0 = \lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_ {\gamma_3} f(z)[/mm].
>
> Daraus folgt dann die Behauptung.
>
> Um letzteres nachzuweisen, musst du die Wegintergrale
> natürlich gemäß
>
> [mm]\int\limits_{\gamma}f(z)\, dz = \int\limits_0^1 f(\gamma(t))\, \gamma'(t)\, dt[/mm]
>
> parametrisieren, wie wir das ja schon so oft mittlerweile
> gemacht haben.
Gut, dass du das nochmal erwähnt hast. Ich hätte das zwar so vermutet, aber bevor ich mich da tot rechne, hätte ich wohl doch nochmal nachgefragt. Aber ich habe trotzdem noch zwei Fragen:
Als Grenzen kommen da doch nicht 0 und 1 hin, sondern z. B. bei [mm] \gamma_1 -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}} [/mm] als untere Grenze und [mm] r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}} [/mm] also obere Grenze.
Das ist ja auch wichtig, damit ich bei dem "Hauptteil" richtig rechne.
Aber bei diesen zweien hier - kann ich da dann [mm] \lim [/mm] und Integral vertauschen? Ich hoffe mal, denn sonst muss ich das Integral ja noch berechnen... Wenn man das vertauschen kann, dann folgt das doch direkt, sobald man da [mm] e^{-r^2} [/mm] im Zähler stehen hat, das geht ja dann gegen 0, und wohl auch schneller als alle anderen Teile, die [mm] e^{irgendwas mit r} [/mm] enthalten. Und da im Nenner 1+... steht, dürfte das wohl auf jeden Fall definiert sein (muss man das erwähnen - ist es überhaupt richtig?).
So, ich versuch nachher noch das zu zeigen, was du noch nicht geschafft hast (obwohl du mir mit dem Kommentar nicht gerade Mut gemacht hast  )
Allerdings sehe ich auch noch nicht so ganz, warum daraus dann die Behauptung folgt.
Viele Grüße und ich hoffe, ich stelle nicht zu viele Fragen...
Christiane
![[clown]](/images/smileys/clown.gif "[clown]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Do 09.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> > Definiere
> >
> > [mm]\gamma_1(t) = r + ti\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm],
> >
> > [mm]\gamma_2(t) = i\sqrt{\frac{\pi}{2}} + r-2tr[/mm],
> >
> > [mm]\gamma_3(t) = -r+(1-t)i\sqrt{\frac{\pi}{2}}[/mm],
> >
> > [mm]\gamma_4(t) = -r +2tr[/mm].
>
> edit: Ich glaub', ich hab' das jetzt verstanden, was ich
> hier im Folgenden beschrieben habe, lies vielleicht erstmal
> das hier.
>
> Vielleicht kannst du mir bei Gelegenheit mal erklären, wie
> man auf diese komischen Wege kommt?
Es sind einfache Geradengleichungen, gegeben zwei Punkte. Diese werden auf das Intervall $[0,1]$ eingeschränkt, so dass man eine Strecke enthält. Du musst eigentlich nur darauf achten, dass für $t=0$ und $t=1$ die richtigen Punkte rauskommen, dann ist die Strecke automatisch richtig.
> Ich glaube dir das
> jetzt einfach mal, deswegen musst du es nicht direkt
> erklären, aber vielleicht für Montag (am Montag hab ich
> Übung). Ich habe mal versucht, das zu rekonstruieren - ich
> würde sagen, du hast mit [mm]\gamma_1[/mm] auf dem rechten
> senkrechten Stück angefangen und bist dann mathematisch
> gegen den Uhrzeigersinn gegangen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Allerdings verstehe ich
> [mm]\gamma_4[/mm] überhaupt nicht. Muss da nicht noch irgendwo ein i
> hin?
Nein. Man wandert ja entlang der reellen Achse.
> Aber selber da drauf kommen würde ich sowieso nicht.
> (Ich hab' das jetzt mal so versucht zu verstehen: Der
> Realteil ist quasi der Stützvektor und der Imaginärteil der
> Richtungsvektor
Nein. Im allgemeinen nicht. Nur bei den Senkrechten.
>(kann man das eigentlich so als Gerade
> auffassen?), nur dann verstehe ich nicht, wieso dann da bei
> [mm]\gamma_1[/mm] nicht nur ti steht. Oder sind die Grenzen hier
> direkt mit drin - also dass es keine Gerade, sondern nur
> die Strecke ist, die wir haben wollen? Müsste ja
> eigentlich...)
Richtig. Es wird (wie immer, wenn nichts dabeisteht) über $[0,1]$ parametrisiert.
> > Es gilt nun:
> >
> > [mm]\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, dz = \int\limits_{\gamma_1} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_2}f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_3}f(z) + \int\limits_{\gamma_4} f(z)[/mm].
>
> >
> > Weiterhin gilt nach dem Residuensatz:
> >
> > [mm]\int\limits_{\Omega(r)} f(z)\, dz = 2\pi i res_{z_1}f = 2\pi i\cdot \frac{-i}{2\sqrt{\pi }} = \sqrt{\pi}[/mm].
>
> >
> > Nun weist du folgendes nach:
> >
> > [mm]\int\limits_{\gamma_4} f(z) + \int\limits_{\gamma_2} f(z) = \int\limits_{-r}^r e^{-z^2}\, dz[/mm].
>
> >
> > (Benutze dabei die andere Aufgabe. Allerdings habe ich es
> > eben nicht hinbekommen und befürchte, dass die Eckpunkte
> > des Quadrats im Hinweis falsch gewählt sind, für mich
> > müsste [mm]r+a[/mm] eine Ecke sein (aber es kann sein, dass ich
> > Trottel mich verrechnet habe).)
> >
> > [mm]\lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{\gamma_1} f(z)=0 = \lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_ {\gamma_3} f(z)[/mm].
>
> >
> > Daraus folgt dann die Behauptung.
> >
> > Um letzteres nachzuweisen, musst du die Wegintergrale
> > natürlich gemäß
> >
> > [mm]\int\limits_{\gamma}f(z)\, dz = \int\limits_0^1 f(\gamma(t))\, \gamma'(t)\, dt[/mm]
>
> >
> > parametrisieren, wie wir das ja schon so oft mittlerweile
> > gemacht haben.
>
> Gut, dass du das nochmal erwähnt hast. Ich hätte das zwar
> so vermutet, aber bevor ich mich da tot rechne, hätte ich
> wohl doch nochmal nachgefragt. Aber ich habe trotzdem
> noch zwei Fragen:
> Als Grenzen kommen da doch nicht 0 und 1 hin, sondern z.
> B. bei [mm]\gamma_1 -r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] als untere
> Grenze und [mm]r+i\wurzel{\bruch{\pi}{2}}[/mm] also obere Grenze.
Nein. Es kommen $0$ und $1$ als Grenzen hin.
> Das ist ja auch wichtig, damit ich bei dem "Hauptteil"
> richtig rechne.
> Aber bei diesen zweien hier - kann ich da dann [mm]\lim[/mm] und
> Integral vertauschen?
Das muss man explizit begründen, mit Vertauschungssaätzen (etwa dem Lebesgueschen Konvergenzsatz). Darf man hier aber, ja...
< Ich hoffe mal, denn sonst muss ich
> das Integral ja noch berechnen... Wenn man das vertauschen
> kann, dann folgt das doch direkt, sobald man da [mm]e^{-r^2}[/mm] im
> Zähler stehen hat, das geht ja dann gegen 0, und wohl auch
> schneller als alle anderen Teile, die [mm]e^{irgendwas mit r}[/mm]
> enthalten.
Das ist richtig. Ich hoffe mal, dass eurem Tutor diese Erklärung ausreicht. Aber das genauer zu begründen, würde jetzt auch zu viel Zeit fressen und erscheint mir an der Stelle unnötig. Über solche Fragen solltést du später noch einmal nachdenken. Wichtig ist erst einmal die grundlegende Struktur dieser Aufgaben (die immer ähnlich sind) zu verstehen. Dies ist wichtiger für eine eventuelle Klausur oder Vordiplomsprüfung.
> Und da im Nenner 1+... steht, dürfte das wohl
> auf jeden Fall definiert sein (muss man das erwähnen - ist
> es überhaupt richtig?).
>
> So, ich versuch nachher noch das zu zeigen, was du noch
> nicht geschafft hast (obwohl du mir mit dem Kommentar nicht
> gerade Mut gemacht hast )
>
> Allerdings sehe ich auch noch nicht so ganz, warum daraus
> dann die Behauptung folgt.
Wieso? Dann steht doch die Behauptung sofort da, wenn man alles zusammenfügt. Versuche dir das mal klarzumachen. Wenn du es dann noch nicht verstehst, frage diese Sache noch einmal explizit nach, in einer kurzen Nachfrag. Dann erkläre ich diese Sache noch einmal.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 09.06.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Also, zu dem Zusammenhang bzw. der letzten Folgerung:
Ich sollte ja zeigen (mal sehen, wie weit ich damit noch komme), dass:
[mm] \integral_{\gamma_2}f(z)\;dz+\integral_{\gamma_4}f(z)\;dz=\integral_{-r}^re^{-z^2}\;dz
[/mm]
Da die beiden anderen Integrale wegfallen, ist das Ganze dann (wie du ja vorgerechnet hast nach dem Residuensatz) [mm] =\wurzel{\pi}, [/mm] und dann habe ich da die Behauptung stehen, mit dem Unterschied, dass ich noch den [mm] \lim_^{r\to\infty} [/mm] berechnen soll. Bleibt das dann einfach das Gleiche oder wie?
Viele Grüße
Christiane
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Fr 10.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die beiden anderen Integrale fallen ja erst durch den Grenzübergang weg!
Es gilt also für alle $r >0$ (ich deute die Abhängigkeit der Wege von $r$ an):
[mm] $\int\limits_{\gamma_1(r)} f(z)\, [/mm] dz + [mm] \int\limits_{\gamma_2(r)} f(z)\, [/mm] dz + [mm] \int\limits_{\gamma_3(r)} f(z)\, [/mm] dz + [mm] \int\limits_{\gamma_4(r)} f(z)\, [/mm] dz [mm] =\sqrt{\pi}$,
[/mm]
also auch:
[mm] $\lim\limits_{r \to \infty} \left[ \int\limits_{\gamma_1(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_2(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_3(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_4(r)} f(z)\, dz \right]=\sqrt{\pi}$.
[/mm]
Aus dem vorher Gezeigten ist ersichtlich, dass andererseits
[mm] $\lim\limits_{r \to \infty} \left[ \int\limits_{\gamma_1(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_2(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_3(r)} f(z)\, dz + \int\limits_{\gamma_4(r)} f(z)\, dz \right] [/mm] = [mm] \lim\limits_{r \to \infty} \int\limits_{-r}^r e^{-z^2}\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2}\, [/mm] dz$
gilt, womit die Behauptung
[mm] $\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-z^2}\, [/mm] dz = [mm] \sqrt{\pi}$
[/mm]
bewiesen ist.
Liebe Grüße
Stefan
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