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Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 So 27.11.2011
Autor: DoubleHelix

Aufgabe
Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des Residuensatzes:
[mm] \integral_{0}^{2\Pi}{\bruch{cos(3*x)}{5-4*cos(x)}} [/mm]


Hallo,
Ich soll das oben genannte Integral lösen.
Mein Rechenweg sieht folgendermaßen aus:
[][Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111127_211300dbugb.jpg]

ich finde den Fehler leider nicht.
Ich weiss, dass [mm] \bruch{\pi}{12} [/mm] herauskommen sollt...

wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:47 So 27.11.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Berechnen Sie folgende Integrale mit Hilfe des
> Residuensatzes:
>  [mm]\integral_{0}^{2\Pi}{\bruch{cos(3*x)}{5-4*cos(x)}}[/mm]
>  
> Hallo,
>  Ich soll das oben genannte Integral lösen.
>  Mein Rechenweg sieht folgendermaßen aus:
>  
> [][Externes Bild http://www.abload.de/thumb/img_20111127_211300dbugb.jpg]
>  
> ich finde den Fehler leider nicht.
>  Ich weiss, dass [mm]\bruch{\pi}{12}[/mm] herauskommen sollt...
>  


Zu berücksichtigen ist, daß z=0 3fache Nullstelle ist.
Weiterhin sind nur die Nullstellen innerhalb
des Integrationsweges wichtig.


> wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:55 So 27.11.2011
Autor: DoubleHelix

Hallo MathePower,
Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Jedoch steh ich noch immer auf dem Schlauch.
Wenn man den Integrationsweg am Einheitskreis betrachtet kommt nur 1/2 für als NST in Frage, jedoch bringt mich diese Tatsache nicht weiter.

Bitte hilf mir noch ein bischen weiter.

Bezug
                        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:27 So 27.11.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Hallo MathePower,
>  Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
>  Jedoch steh ich noch immer auf dem Schlauch.
> Wenn man den Integrationsweg am Einheitskreis betrachtet
> kommt nur 1/2 für als NST in Frage, jedoch bringt mich
> diese Tatsache nicht weiter.
>  


Es kommt auch die 0 als NST in Frage,
da z=0 auch innerhalb des Integrationsweges liegt.


> Bitte hilf mir noch ein bischen weiter.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:54 So 27.11.2011
Autor: DoubleHelix

Wenn ich für [mm] \bruch{z^6+1}{40z^3-20z^4-12z^2} [/mm] z gegen 0 gehen lasse so kommt unendlich heraus.
Also wende ich L'ospital an und leite sooft ab bis [mm] \bruch{30z^4}{240z-240z^2-24} [/mm] lass ich nun z gegen 0 laufen so bekomme ich [mm] \bruch{0}{-24} [/mm] heraus was wiederum 0 ergibt. Das Res von 0 ist somit 0 und hat keinen Einfluss auf das Ergebnis.

Was mach ich falsch?

Bezug
                                        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 So 27.11.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> Wenn ich für [mm]\bruch{z^6+1}{40z^3-20z^4-12z^2}[/mm] z gegen 0
> gehen lasse so kommt unendlich heraus.
>  Also wende ich L'ospital an und leite sooft ab bis
> [mm]\bruch{30z^4}{240z-240z^2-24}[/mm] lass ich nun z gegen 0 laufen
> so bekomme ich [mm]\bruch{0}{-24}[/mm] heraus was wiederum 0 ergibt.
> Das Res von 0 ist somit 0 und hat keinen Einfluss auf das
> Ergebnis.
>  
> Was mach ich falsch?


L'Hospital kannst Du hier nicht anwenden,
da kein unbestimmter Ausdruck vorliegt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Residuensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:15 So 27.11.2011
Autor: DoubleHelix

@mathe power: Ich komme einfach nicht drauf :( möchtest du mir vl. die Lösung sagen *liebfrag* ?

Bezug
                                                        
Bezug
Residuensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:29 So 27.11.2011
Autor: MathePower

Hallo DoubleHelix,

> @mathe power: Ich komme einfach nicht drauf :( möchtest du
> mir vl. die Lösung sagen *liebfrag* ?


Das Residuum an der Stelle z=0 berechnet sich wie folgt:

[mm]2*\pi*i*\bruch{1}{2!}*\bruch{d^{2}}{dz^{2}}\left( \ z^{3}*f\left(z\right) \ \right)[/mm]

, wobei f(z) der von Dir errechnete Integrand ist.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Residuensatz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:24 Mo 28.11.2011
Autor: DoubleHelix

Vielen Dank!

Die Formel war im Skriptum für Polstellen nter Ordnung hab das ganz übersehen...

Danke nochmal!

Bezug
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