Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:05 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Berechne das Residuum a.d.S. [mm] $\pm \frac{\pi}{2}$ [/mm] von
[mm] $f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}$ [/mm] |
Hallo zusammen
Ich habe obiges Residuum zu berechnen versucht, leider bisher ohne Erfolg.
Entweder läuft die Berechnung bei mir darauf hinaus, die Grenzwerte
[mm] $\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $
zu berechnen, die ich irgendwie nicht rauskriege. Mittels l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die richtigen Kandidaten [mm] ($\pm [/mm] 1$) raus, aber wie kann ich das sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der richtige ist?
Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und da ich den Grenzwert für $ z [mm] \rightarrow \frac{\pi}{2} [/mm] $ berechne, kann ich auch nicht irgendwie $ z$ oder [mm] $z^n$ [/mm] o.ä. ausklammern ...
Hat mir jemand einen Vorschlag wie ich beginnen soll? :)
Viele Grüsse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da
> die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und
> da ich den Grenzwert für [mm]z \rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm]
> berechne, kann ich auch nicht irgendwie [mm]z[/mm] oder [mm]z^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
o.ä.
> ausklammern ...
Entwickle die Potenzreihe von $\cos z$ um den Punkt $\frac \pi 2$, um $\lim_{z\to\pi/2}(z-\pi/2)\frac {z^n} {\cos z}$ zu bestimmen.
Die Koeffizienten $a_k$ der Potenzreihe an der Stelle $\pi/2$ für $f(z)=cos z$ bekommst Du mit der Formel $f^{(k)}(\pi/2)=a_k*k!$.
Die Regel von L'Hospital läßt sich meines Wissens nur für Funktionen auf reellen Intervallen anwenden, anders als die Potenzreihenmethode, die sich hier sehr nützlich erweist.
Der Grenzwert ist tatsächlich das Residuum, denn $\pi/2$ ist eine einfache Nullstelle von $\cos z$ und damit ein Pol erster Ordnung von $\frac {z^n} {\cos z$.
Gruß,
Wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:05 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo
Dass L'Hôpital nur für reelle Funktionen verwenden darf, wurde uns wiederholt gesagt, sogar mit einem Gegenbeispiel:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x*e^{-i/x}}$
[/mm]
Selbstverständlich gehen Nenner und Zähler gegen Null.
Der Grenzwert existiert nicht, wendet man aber l'Hôpital an, wäre der Grenzwert 0.
Es soll aber gewisse Bedingungen geben, die eine Erweiterung zulassen, die aber im Script nicht weiter präzisiert sind bis auf eine Quellenangabe zu JSTOR.
Aber die Variante von Fred verwendet ja nicht Hôpital, sollte also auch gehen  Wie auch immer, höchstwahrscheinlich war die Absicht schon, deine Variante zu sehen ;)
Viele Grüsse und danke!
Lukas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:24 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Berechne das Residuum a.d.S. [mm]\pm \frac{\pi}{2}[/mm] von
> [mm]f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}[/mm]
>
> Hallo zusammen
>
> Ich habe obiges Residuum zu berechnen versucht, leider
> bisher ohne Erfolg.
>
> Entweder läuft die Berechnung bei mir darauf hinaus, die
> Grenzwerte
> [mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]
Du meinst sicher
[mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}z^n\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]
>
> zu berechnen, die ich irgendwie nicht rauskriege. Mittels
> l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die
> richtigen Kandidaten ([mm]\pm 1[/mm]) raus, aber wie kann ich das
> sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der
> richtige ist?
>
> Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da
> die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und
> da ich den Grenzwert für [mm]z \rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm]
> berechne, kann ich auch nicht irgendwie [mm]z[/mm] oder [mm]z^n[/mm] o.ä.
> ausklammern ...
>
> Hat mir jemand einen Vorschlag wie ich beginnen soll? :)
Das wesentliche ist der GW
[mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]
Geh zum Kehrwert über ! Differenzenquotient
FRED
P.S.: das sollte eine Antwort sein.
Edit Marcel: Habe Freds "Frage" in Antwort transformiert. 
>
> Viele Grüsse
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Fr 08.06.2012 | | Autor: | fernweh |
Hallo Fred
Klar, ich habe schon zuerst $ [mm] \limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}z^n\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $ berechnen, bin ja dann aber genau auf den wesentlichen Grenzwert $ [mm] \limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $ gestossen.
Das hat nun auf beide von euch geposteten Wege funktioniert, danke euch :)
@HJKweseleit: Naja, klar ist das eine Polstelle, aber ich will ja das Residuum, der zu berechnende Grenzwert existiert dann.
Viele Grüsse und danke nochmals
Lukas
|
|
|
| |
|
[mm]f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}[/mm]
> Mittels
> l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die
> richtigen Kandidaten ([mm]\pm 1[/mm]) raus, aber wie kann ich das
> sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der
> richtige ist?
Der Grenzwert ist nicht [mm] \pm [/mm] 1. [mm] \pi/2 [/mm] entspricht 90°, und der cos von 90° ist 0, [mm] (pi/2)^n [/mm] ist aber [mm] \ne [/mm] 0. Hier befindet sich eine Polstelle der Funktion, sonst wäre sie in einer Umgebung ja auch regulär und das Residuum wäre dann 0.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:23 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Helbig |
>
> Der Grenzwert ist nicht [mm]\pm[/mm] 1. [mm]\pi/2[/mm] entspricht 90°, und
> der cos von 90° ist 0, [mm](pi/2)^n[/mm] ist aber [mm]\ne[/mm] 0. Hier
> befindet sich eine Polstelle der Funktion, sonst wäre sie
> in einer Umgebung ja auch regulär und das Residuum wäre
> dann 0.
Das ist schon richtig für [mm] $\lim_{z\to\pi/2}\frac{z^n} {\cos z}$, [/mm] aber hier geht es um den Grenzwert [mm] $\lim_{z\to\pi/2}(z-\pi/2)*\frac{z^n} {\cos z}$.
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
>
>
|
|
|
|
