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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Residuum
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Residuum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:05 Fr 08.06.2012
Autor: fernweh

Aufgabe
Berechne das Residuum a.d.S. [mm] $\pm \frac{\pi}{2}$ [/mm] von
[mm] $f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}$ [/mm]


Hallo zusammen

Ich habe obiges Residuum zu berechnen versucht, leider bisher ohne Erfolg.

Entweder läuft die Berechnung bei mir darauf hinaus, die Grenzwerte
[mm] $\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $
zu berechnen, die ich irgendwie nicht rauskriege. Mittels l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die richtigen Kandidaten [mm] ($\pm [/mm] 1$) raus, aber wie kann ich das sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der richtige ist?

Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und da ich den Grenzwert für $ z [mm] \rightarrow \frac{\pi}{2} [/mm] $ berechne, kann ich auch nicht irgendwie $ z$ oder [mm] $z^n$ [/mm] o.ä. ausklammern ...

Hat mir jemand einen Vorschlag wie ich beginnen soll? :)

Viele Grüsse



        
Bezug
Residuum: Potenzreihe vs. L'Hospital
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:41 Fr 08.06.2012
Autor: Helbig


> Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da
> die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und
> da ich den Grenzwert für [mm]z \rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm]
> berechne, kann ich auch nicht irgendwie [mm]z[/mm] oder [mm]z^n[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

o.ä.

> ausklammern ...

Entwickle die Potenzreihe von $\cos z$ um den Punkt $\frac \pi 2$, um $\lim_{z\to\pi/2}(z-\pi/2)\frac {z^n} {\cos z}$ zu bestimmen.

Die Koeffizienten $a_k$ der Potenzreihe an der Stelle $\pi/2$ für $f(z)=cos z$ bekommst Du mit der Formel $f^{(k)}(\pi/2)=a_k*k!$.

Die Regel von L'Hospital läßt sich meines Wissens nur für Funktionen auf reellen Intervallen anwenden, anders als die Potenzreihenmethode, die sich hier sehr nützlich erweist.

Der Grenzwert ist tatsächlich das Residuum, denn $\pi/2$ ist eine einfache Nullstelle von $\cos z$ und damit ein Pol erster Ordnung von $\frac {z^n} {\cos z$.

Gruß,
Wolfgang


Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Fr 08.06.2012
Autor: fernweh

Hallo

Dass L'Hôpital nur für reelle Funktionen verwenden darf, wurde uns wiederholt gesagt, sogar mit einem Gegenbeispiel:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0}\frac{x}{x*e^{-i/x}}$ [/mm]
Selbstverständlich gehen Nenner und Zähler gegen Null.

Der Grenzwert existiert nicht, wendet man aber l'Hôpital an, wäre der Grenzwert 0.
Es soll aber gewisse Bedingungen geben, die eine Erweiterung zulassen, die aber im Script nicht weiter präzisiert sind bis auf eine Quellenangabe zu JSTOR.

Aber die Variante von Fred verwendet ja nicht Hôpital, sollte also auch gehen :-) Wie auch immer, höchstwahrscheinlich war die Absicht schon, deine Variante zu sehen ;)

Viele Grüsse und danke!

Lukas



Bezug
        
Bezug
Residuum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Fr 08.06.2012
Autor: fred97


> Berechne das Residuum a.d.S. [mm]\pm \frac{\pi}{2}[/mm] von
>  [mm]f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}[/mm]
>  
> Hallo zusammen
>  
> Ich habe obiges Residuum zu berechnen versucht, leider
> bisher ohne Erfolg.
>  
> Entweder läuft die Berechnung bei mir darauf hinaus, die
> Grenzwerte
>  [mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]

Du meinst sicher

[mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}z^n\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]

>  
> zu berechnen, die ich irgendwie nicht rauskriege. Mittels
> l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die
> richtigen Kandidaten ([mm]\pm 1[/mm]) raus, aber wie kann ich das
> sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der
> richtige ist?
>
> Mittels Reihenentwicklung komm ich auch nicht weiter, da
> die Reihenentwicklung vom Cosinus ann im Nenner steht und
> da ich den Grenzwert für [mm]z \rightarrow \frac{\pi}{2}[/mm]
> berechne, kann ich auch nicht irgendwie [mm]z[/mm] oder [mm]z^n[/mm] o.ä.
> ausklammern ...
>  
> Hat mir jemand einen Vorschlag wie ich beginnen soll? :)

Das wesentliche ist der GW

[mm]\limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)}[/mm]

Geh zum Kehrwert über ! Differenzenquotient

FRED

P.S.: das sollte eine Antwort sein.

Edit Marcel: Habe Freds "Frage" in Antwort transformiert. ;-)

>  
> Viele Grüsse
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Residuum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:05 Fr 08.06.2012
Autor: fernweh

Hallo Fred

Klar, ich habe schon zuerst $ [mm] \limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}z^n\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $ berechnen, bin ja dann aber genau auf den wesentlichen Grenzwert $ [mm] \limes_{n\rightarrow \pm \frac{\pi}{2}}\bruch{z\pm\bruch{\pi}{2}}{\cos(z)} [/mm] $ gestossen.

Das hat nun auf beide von euch geposteten Wege funktioniert, danke euch :)

@HJKweseleit: Naja, klar ist das eine Polstelle, aber ich will ja das Residuum, der zu berechnende Grenzwert existiert dann.

Viele Grüsse und danke nochmals

Lukas

Bezug
        
Bezug
Residuum: Irrtum
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:25 Fr 08.06.2012
Autor: HJKweseleit

[mm]f(z)=\bruch{z^n}{\cos(z)}[/mm]

>  Mittels
> l'Hôpital kein Problem, damit krieg ich ja auch sofort die
> richtigen Kandidaten ([mm]\pm 1[/mm]) raus, aber wie kann ich das
> sinnvoll zeigen, dass dieser Grenzwert dann auch der
> richtige ist?

Der Grenzwert ist nicht [mm] \pm [/mm] 1. [mm] \pi/2 [/mm] entspricht 90°, und der cos von 90° ist 0, [mm] (pi/2)^n [/mm] ist aber [mm] \ne [/mm] 0. Hier befindet sich eine Polstelle der Funktion, sonst wäre sie in einer Umgebung ja auch regulär und das Residuum wäre dann 0.



Bezug
                
Bezug
Residuum: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 22:23 Fr 08.06.2012
Autor: Helbig


>
> Der Grenzwert ist nicht [mm]\pm[/mm] 1. [mm]\pi/2[/mm] entspricht 90°, und
> der cos von 90° ist 0, [mm](pi/2)^n[/mm] ist aber [mm]\ne[/mm] 0. Hier
> befindet sich eine Polstelle der Funktion, sonst wäre sie
> in einer Umgebung ja auch regulär und das Residuum wäre
> dann 0.

Das ist schon richtig für [mm] $\lim_{z\to\pi/2}\frac{z^n} {\cos z}$, [/mm] aber hier geht es um den Grenzwert [mm] $\lim_{z\to\pi/2}(z-\pi/2)*\frac{z^n} {\cos z}$. [/mm]

Grüße,
Wolfgang

>  
>  


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