Residuum berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Do 14.04.2011 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | f(z) = [mm] \bruch{z^2+3}{2z(z-2)^2}
[/mm]
Man berechne das Residuum von f an der Stelle z = 2. |
Hallo Zusammen,
mit dieser Formel will ich das Residuum ausrechnen: [mm] $Res_{z_0} [/mm] f = [mm] \bruch{1}{(k-1)!} \cdot{} g^{k-1} (z_0)$
[/mm]
[mm] z_0 [/mm] = 2 und k = 2, aufgrund doppelten Pol
Es ergibt sich [mm] Res_{2} [/mm] f = [mm] \bruch{1}{(2-1)!} \cdot{} [/mm] g^(2-1) (2) = g'(2)
g(z) = [mm] (z-z_0)^k \cdot{} [/mm] f(z) = [mm] (z-2)^2 \cdot{} \bruch{z^2+3}{2z(z-2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{(z-2)^2 (z^2+3)}{2z(z-2)^2}
[/mm]
Nun ist g'(z) gesucht, ich habe folgendes erhalten: g'(z) = [mm] \bruch{2(z-2)[(z^2+3)+(z(z-2))](2z(z-2)^2)-(z-2)^2(z^2+3)[2(z-2)^2+2z(2z-4)]}{(2z(z-2)^2))^2}
[/mm]
Wenn ich das ganze in Wolfram Alpha eingebe, kommt die alternative Form g'(z) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{3}{2z^2} [/mm] heraus. Somit würde sich für das Residuum g'(2) = [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ergeben. Das müsste stimmen.
Jedoch wie kommt man auf die alternative Form? Wenn ich in g'(z) direkt die 2 einsetze, also g'(2) dann kommt Null heraus. Warum ist dies so?
Oder habe ich mich doch irgendwo verrechnet?
Vielen Dank im Voraus
itse
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 14.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(z) = [mm]\bruch{z^2+3}{2z(z-2)^2}[/mm]
>
> Man berechne das Residuum von f an der Stelle z = 2.
> Hallo Zusammen,
>
> mit dieser Formel will ich das Residuum ausrechnen:
> [mm]Res_{z_0} f = \bruch{1}{(k-1)!} \cdot{} g^{k-1} (z_0)[/mm]
>
> [mm]z_0[/mm] = 2 und k = 2, aufgrund doppelten Pol
>
> Es ergibt sich [mm]Res_{2}[/mm] f = [mm]\bruch{1}{(2-1)!} \cdot{}[/mm]
> g^(2-1) (2) = g'(2)
>
> g(z) = [mm](z-z_0)^k \cdot{}[/mm] f(z) = [mm](z-2)^2 \cdot{} \bruch{z^2+3}{2z(z-2)^2}[/mm] = [mm]\bruch{(z-2)^2 (z^2+3)}{2z(z-2)^2}[/mm]
Hier kannst Du doch kürzen: [mm]\bruch{(z-2)^2 (z^2+3)}{2z(z-2)^2}= \bruch{z^2+3}{2z}= \bruch{1}{2}z-\bruch{3}{2z}[/mm]
FRED
>
> Nun ist g'(z) gesucht, ich habe folgendes erhalten: g'(z) =
> [mm]\bruch{2(z-2)[(z^2+3)+(z(z-2))](2z(z-2)^2)-(z-2)^2(z^2+3)[2(z-2)^2+2z(2z-4)]}{(2z(z-2)^2))^2}[/mm]
>
> Wenn ich das ganze in Wolfram Alpha eingebe, kommt die
> alternative Form g'(z) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{3}{2z^2}[/mm]
> heraus. Somit würde sich für das Residuum g'(2) =
> [mm]\bruch{1}{8}[/mm] ergeben. Das müsste stimmen.
>
> Jedoch wie kommt man auf die alternative Form? Wenn ich in
> g'(z) direkt die 2 einsetze, also g'(2) dann kommt Null
> heraus. Warum ist dies so?
> Oder habe ich mich doch irgendwo verrechnet?
>
>
> Vielen Dank im Voraus
> itse
|
|
|
|
