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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion
$f(z) = \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}$
und berechnen Sie
$\int_{|z|=1} f(z) dz$ |
Ich habe am Anfang alle Singularitäten der Funktion bestummen.
hat bei z = -2 einen Pol dirtter Ordnung
und bei $ z =(2i)\pi n \quad n\in\IZ$ einen einfachen Pol.
Somit muss ich nur das Residuum im Punkt z=0 berechnen, um das vorgegebene Integral zu lösen. Doch da scheitere ich kläglich.
$lim_{z\rightarrow 0} (z-0) \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}} $
Das klappt ja mal nicht. Muss ich nun alles in eine Laurent-Reihe um Null entwicklen? Das wäre aber ein enormer Aufwand. Wie ist der "beste" mein Ziel zu erreichen?
Danke für eure Hilfe, SA
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Hallo SamuraiApocalypse,
> Betrachten Sie die Funktion
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> [mm]f(z) = \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}[/mm]
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> und berechnen Sie
>
> [mm]\int_{|z|=1} f(z) dz[/mm]
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> Ich habe am Anfang alle Singularitäten der Funktion
> bestummen.
>
> hat bei z = -2 einen Pol dirtter Ordnung
>
> und bei [mm]z =(2i)\pi n \quad n\in\IZ[/mm] einen einfachen Pol.
>
> Somit muss ich nur das Residuum im Punkt z=0 berechnen, um
> das vorgegebene Integral zu lösen. Doch da scheitere ich
> kläglich.
>
> [mm]lim_{z\rightarrow 0} (z-0) \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}}[/mm]
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> Das klappt ja mal nicht. Muss ich nun alles in eine
> Laurent-Reihe um Null entwicklen? Das wäre aber ein
> enormer Aufwand. Wie ist der "beste" mein Ziel zu
> erreichen?
>
Du kannst den Zähler als auch den Nenner in eine Taylorreihe um z=0 entwicklen.
Im speziellen entwickelst Du nur [mm]e^{\pi*z}-1[/mm] in eine Taylorreihe um z=0.
> Danke für eure Hilfe, SA
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 Di 11.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Betrachten Sie die Funktion
>
> [mm]f(z) = \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}[/mm]
>
> und berechnen Sie
>
> [mm]\int_{|z|=1} f(z) dz[/mm]
>
> Ich habe am Anfang alle Singularitäten der Funktion
> bestummen.
>
> hat bei z = -2 einen Pol dirtter Ordnung
>
> und bei [mm]z =(2i)\pi n \quad n\in\IZ[/mm] einen einfachen Pol.
>
> Somit muss ich nur das Residuum im Punkt z=0 berechnen, um
> das vorgegebene Integral zu lösen. Doch da scheitere ich
> kläglich.
>
> [mm]lim_{z\rightarrow 0} (z-0) \bruch{z+4}{(z+2)^3(e^{\pi z} - 1)}}[/mm]
>
> Das klappt ja mal nicht.
Doch es klappt:
Im Wesentlichen gehts doch um den Grenzwert [mm] lim_{z\rightarrow 0} \bruch{z-0}{e^{\pi z} - 1}.
[/mm]
Setze mal [mm] f(z):=e^{\pi z}
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{e^{\pi z} - 1}{z-0}=\bruch{f(z)-f(0)}{z-0} [/mm] .... und das treibt was für z [mm] \to [/mm] 0 ?
FRED
> Muss ich nun alles in eine
> Laurent-Reihe um Null entwicklen? Das wäre aber ein
> enormer Aufwand. Wie ist der "beste" mein Ziel zu
> erreichen?
>
> Danke für eure Hilfe, SA
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