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Resiuden bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:31 Di 29.06.2010
Autor: moerni

Aufgabe
[mm] f(z)=\frac{z^2+z-1}{z^2(z-1)} [/mm]

Hallo.

Die Aufgabe ist, die Residuen der Funktion f an allen singulären Stellen zu bestimmen. Ich bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal drüber schauen könnte.

f hat die singulären Stellen [mm] z_1=0 [/mm] und [mm] z_2=1. [/mm]
[mm] z_2=1 [/mm] ist einfacher Pol. [mm] C_{-1}=lim_{z\to 1} (z-1)f(z)=\frac{1}{3-2}=1 [/mm]
[mm] z_1=0 [/mm] ist Pol der Ordnung k=2. [mm] C_{-1}=lim_{z \to 0} (z^2f(z))\frac{d}{dz}=lim_{z\to 0} (\frac{(z-1)(2z+1)-(z^2+z-1)}{(z-1)^2})=0 [/mm]

Stimmt das so? Fehlt noch etwas?
lg moerni

        
Bezug
Resiuden bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Di 29.06.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> [mm]f(z)=\frac{z^2+z-1}{z^2(z-1)}[/mm]
>  Hallo.
>  
> Die Aufgabe ist, die Residuen der Funktion f an allen
> singulären Stellen zu bestimmen. Ich bin mir bei meiner
> Lösung nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal
> drüber schauen könnte.
>  
> f hat die singulären Stellen [mm]z_1=0[/mm] und [mm]z_2=1.[/mm]
> [mm]z_2=1[/mm] ist einfacher Pol. [mm]C_{-1}=lim_{z\to 1} (z-1)f(z)=\frac{1}{3-2}=1[/mm]
>  
> [mm]z_1=0[/mm] ist Pol der Ordnung k=2. [mm]C_{-1}=lim_{z \to 0} (z^2f(z))\frac{d}{dz}=lim_{z\to 0} (\frac{(z-1)(2z+1)-(z^2+z-1)}{(z-1)^2})=0[/mm]
>  
> Stimmt das so? Fehlt noch etwas?

Beides richtig.

Noch ein kleiner Tipp:

[mm] f(z)=\bruch{z^2+z-1}{z^2(z-1)} = \bruch{z^2}{z^2(z-1)} + \bruch{z-1}{z^2(z-1)} = \bruch{1}{z-1} + \bruch{1}{z^2} [/mm].

Da siehst du sofort: Der erste Summand hat nur eine Singularität bei 1 mit Residuum 1, der zweite nur bei 0 mit Residuum 0.

Viele Grüße
   Rainer


Bezug
                
Bezug
Resiuden bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:54 Di 29.06.2010
Autor: moerni

Super. Vielen Dank für die rasche Antwort!
lg moerni

Bezug
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