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Hallo!
Ich möchte folgendes Nachvollziehen:
[mm] \pi(x) \AC [/mm] Li(x) [mm] \Leftrightarrow \pi(x)=Li(x) +O\left( x^\alpha \cdot \ln x \right).
[/mm]
Dafür habe ich wie es in meinem Buch steht Li(x) partiell integriert und bekomme
Li(x) = [mm] \int \limits_{2}^x [/mm] 1 [mm] \cdot \frac{1}{\ln t} \cdot [/mm] dt
= [mm] \left[ \frac{t}{\ln t} \right]_{2}^x [/mm] + [mm] \int \limits_{2}^x \frac{1}{(\ln t)^2} \cdot [/mm] dt
= [mm] \frac{x}{\ln x} [/mm] - [mm] \frac{2}{\ln 2} [/mm] + [mm] \int \limits_{2}^x \frac{1}{(\ln t)^2} \cdot [/mm] dt
= [mm] \frac{x}{\ln x} [/mm] - [mm] \frac{2}{\ln 2} [/mm] + [mm] \frac{x}{(\ln x)^2} [/mm] - [mm] \frac{2}{(\ln 2)^2}+2 \cdot \int \limits_{2}^x \frac{1}{(\ln t)^3} \cdot [/mm] dt
= [mm] \frac{x}{\ln x} [/mm] - [mm] \frac{2}{\ln 2} [/mm] + [mm] \frac{x}{(\ln x)^2} [/mm] - [mm] \frac{2}{(\ln 2)^2} [/mm] + [mm] \frac{2 \cdot x}{(\ln x)^3} [/mm] - [mm] \frac{4}{(\ln 2)^3} [/mm] + 6 [mm] \cdot \int \limits_{2}^x \frac{1}{(\ln t)^4} \cdot [/mm] dt [mm] \mbox{ \qquad usw.}
[/mm]
Aber wie folgere ich von dieser Integration auf [mm] O\left( x^\alpha \cdot \ln x \right)? [/mm] Der Logarithmus ist doch immer im Nenner und x nie mit höherer Potenz?
Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 29.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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