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| Aufgabe | Berechnen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung um x = 0 für die Funktion
f : R [mm] \rightarrow [/mm] R; f(x) = x sin x :
Bestimmen Sie ein Intervall I [mm] \subset [/mm] R, so dass das Restglied [mm] R_4(x) [/mm] die Abschätzung
[mm] |R_4(x)| [/mm] < [mm] 10^{-3} [/mm] ; x [mm] \in [/mm] I
erfüllt.
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Hallo,
also das Taylorpolynom habe ich bestimmt: [mm] x^2:=T_{xsinx}(x,0)
[/mm]
Aber was ich mir genau unter dem Restglied vorstellen soll, weiß ich nicht, geschweige denn wie ich dieses Intervall bestimmen soll.
Ich habe mal ein bisschen gegoogelt und versucht das nach der Lagrangeschen Form zu machen:
[mm] R_n(x)=\bruch{f^{(4)}(\epsilon)}{4!}(x-0)^4, [/mm] wobei [mm] \epsilon \in [/mm] [x,0].
Dabei ist [mm] f^{(4)}=-3cosx+xsinx-cosx.
[/mm]
Ist das soweit richtig? Wir hatten nämlich bisher gar keine Übungsaufgaben dazu und ich suche mir das grad alles übers Internet zusammen...
Danke schonmal für Antworten!
Gruß
congo
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Hallo congo.hoango,
> Berechnen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung um x = 0
> für die Funktion
> f : R [mm]\rightarrow[/mm] R; f(x) = x sin x :
> Bestimmen Sie ein Intervall I [mm]\subset[/mm] R, so dass das
> Restglied [mm]R_4(x)[/mm] die Abschätzung
> [mm]|R_4(x)|[/mm] < [mm]10^{-3}[/mm] ; x [mm]\in[/mm] I
> erfüllt.
>
> Hallo,
>
> also das Taylorpolynom habe ich bestimmt:
> [mm]x^2:=T_{xsinx}(x,0)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Aber was ich mir genau unter dem Restglied vorstellen soll,
> weiß ich nicht, geschweige denn wie ich dieses Intervall
> bestimmen soll.
>
> Ich habe mal ein bisschen gegoogelt und versucht das nach
> der Lagrangeschen Form zu machen:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{f^{(4)}(\epsilon)}{4!}(x-0)^4,[/mm] wobei [mm]\epsilon \in[/mm]
> [x,0].
>
> Dabei ist [mm]f^{(4)}=-3cosx+xsinx-cosx.[/mm]
>
> Ist das soweit richtig? Wir hatten nämlich bisher gar
> keine Übungsaufgaben dazu und ich suche mir das grad alles
> übers Internet zusammen...
Ja, das ist soweit richtig.
>
> Danke schonmal für Antworten!
>
> Gruß
> congo
Gruss
MathePower
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Danke für die Antwort, aber wie bestimme ich nun dieses Intervall?
Meine Idee:
[mm] R_n(x)=\bruch{-4cos(\epsilon)+\epsilon sin\epsilon}{24}x^4, \epsilon \in [/mm] [x,0], bzw. [0,x]
Das ganze jetzt maximal werden lassen (aber wie? Die erste Ableitung =0 ergibt [mm] sin\epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}cos\epsilon) [/mm] und das [mm] \epsilon [/mm] ist dann mein Wert für das Intervall.
PS: Was kann ich mir allgemein eigentlich unter dem Restglied vorstellen? Ist das auch so geometrisch veranschaulichbar wie das Taylorpolynom?
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Hallo congo.hoango,
> Danke für die Antwort, aber wie bestimme ich nun dieses
> Intervall?
>
> Meine Idee:
>
> [mm]R_n(x)=\bruch{-4cos(\epsilon)+\epsilon sin\epsilon}{24}x^4, \epsilon \in[/mm]
> [x,0], bzw. [0,x]
>
> Das ganze jetzt maximal werden lassen (aber wie? Die erste
> Ableitung =0 ergibt [mm]sin\epsilon[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}cos\epsilon)[/mm]
> und das [mm]\epsilon[/mm] ist dann mein Wert für das Intervall.
Der Betrag des Restgliedes wird nach oben abgeschätzt:
[mm]\vmat{R_n(x)}=\vmat{ \bruch{-4cos(\epsilon)+\epsilon sin\epsilon}{24}x^4}=\vmat{\bruch{-4cos(\epsilon)+\epsilon sin\epsilon}{24}}x^4[/mm]
Auf den Ausdruck
[mm]\vmat{\bruch{-4cos(\epsilon)+\epsilon sin\epsilon}{24}}[/mm]
wendest Du jetzt die Dreiecksungleichung an.
>
> PS: Was kann ich mir allgemein eigentlich unter dem
> Restglied vorstellen? Ist das auch so geometrisch
> veranschaulichbar wie das Taylorpolynom?
>
>
Gruss
MathePower
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