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Restglied Taylorpolynom: Idee fehlt
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:53 So 23.06.2013
Autor: mbra771

Aufgabe
Bestimmen Sie mit dem Satz von Taylor eine Umgebung U von 0, sodass für alle x Element U gilt:

[mm] \left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right [/mm] |< [mm] \frac{1}{12}10^{-6} [/mm]

Hallo Forum,
erst hab ich mich gefreut, mal mit Zahlen rechnen. Jetzt weiß ich aber nicht mehr ganz so toll weiter.

Meine Idee ist:
[mm] \left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right [/mm] |   stellt den Fehler in der Aprox. von sin(x) im Entwicklungspunkt 0 dar. Dabei ist

[mm] (x-\frac{x^3}{6}) [/mm] das Taylorpolynom vom Grad 3. (In meinen Unterlagen als [mm] P_{3,0}(x) [/mm] benannt)


Diesen Fehler kann ich auch mit dem Restglied ausdrücken. (Bezeichnet mit [mm] R_{3,0}(x) [/mm] )

Von der Überlegung müßte ich jetzt eigentlich nur [mm] R_{3,0}(x) [/mm] < [mm] \frac{1}{12}10^{-6} [/mm]
setzen und könnte dann mit dem x die Umgebung ausrechnen.

Dabei komme ich nicht weiter. Das Restglied lässt sich mit:

[mm] R_{3,0}(x)=\frac{f^{n+1}(t0)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} [/mm]

berechnen. Wobei a der Entwicklungspunkt, also 0 ist. n+1 muß dann 4 sein, aber t0 bereitet mir Probleme.
Wenn ich das richtig sehe, dann muß ich doch mein t0 in Abhängigkeit von x wählen.
... das hab ich aber noch nicht.

Würde mich über eine Idee freuen,
Grüße,
Micha



        
Bezug
Restglied Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:08 So 23.06.2013
Autor: fred97


> Bestimmen Sie mit dem Satz von Taylor eine Umgebung U von
> 0, sodass für alle x Element U gilt:
>  
> [mm]\left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right[/mm] |<
> [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
>  Hallo Forum,
>  erst hab ich mich gefreut, mal mit Zahlen rechnen. Jetzt
> weiß ich aber nicht mehr ganz so toll weiter.
>  
> Meine Idee ist:
>  [mm]\left | sin(x)-(x-\frac{x^3}{6}) \right[/mm] |   stellt den
> Fehler in der Aprox. von sin(x) im Entwicklungspunkt 0 dar.
> Dabei ist
>
> [mm](x-\frac{x^3}{6})[/mm] das Taylorpolynom vom Grad 3. (In meinen
> Unterlagen als [mm]P_{3,0}(x)[/mm] benannt)
>  
>
> Diesen Fehler kann ich auch mit dem Restglied ausdrücken.
> (Bezeichnet mit [mm]R_{3,0}(x)[/mm] )
>  
> Von der Überlegung müßte ich jetzt eigentlich nur
> [mm]R_{3,0}(x)[/mm] < [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
>  setzen


Nein, sondern [mm]|R_{3,0}(x)|[/mm] < [mm]\frac{1}{12}10^{-6}[/mm]


> und könnte dann mit dem x die Umgebung
> ausrechnen.
>  
> Dabei komme ich nicht weiter. Das Restglied lässt sich
> mit:
>  
> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{f^{n+1}(t0)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}[/mm]
>  
> berechnen. Wobei a der Entwicklungspunkt, also 0 ist. n+1
> muß dann 4 sein, aber t0 bereitet mir Probleme.
>  Wenn ich das richtig sehe, dann muß ich doch mein t0 in
> Abhängigkeit von x wählen.
> ... das hab ich aber noch nicht.

Es ist doch

    [mm] R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4 [/mm]

also

[mm] |R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4 [/mm]

Jetz bestimme die x mit

[mm] \frac{1}{24}x^4< \frac{1}{12}10^{-6} [/mm]

FRED

>  
> Würde mich über eine Idee freuen,
>  Grüße,
>  Micha
>  
>  


Bezug
                
Bezug
Restglied Taylorpolynom: Wie Schuppen ...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 So 23.06.2013
Autor: mbra771

Meine Güte,
da fällt es einem wie Schuppen von den Augen.

Ich hoffe, das bessert sich irgendwann mal. Momentan klatsche ich mir hier immer bei den Antworten vor den Kopf und frage mich, warum ich selber da nicht drauf komme.

Hallo Fred, vielen vielen Dank ;-)   (wieder ein mal :-)


Bezug
                
Bezug
Restglied Taylorpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:37 So 23.06.2013
Autor: asterix27


>  
> Es ist doch
>  
> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
>  
> also
>  
> [mm]|R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4[/mm]

Wie komme ich darauf?
Woher kommt :
[mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]

>  
> Jetz bestimme die x mit
>  
> [mm]\frac{1}{24}x^4< \frac{1}{12}10^{-6}[/mm]
>
> FRED
>  

Könnt ihr mir dies bitte etwas genauer erklären?


Bezug
                        
Bezug
Restglied Taylorpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:07 So 23.06.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,

> >  

> > Es ist doch
>  >  
> > [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]
>  >  
> > also
>  >  
> > [mm]|R_{3,0}(x)| \le\frac{1}{24}x^4[/mm]
>  
> Wie komme ich darauf?
>  Woher kommt :
> [mm]R_{3,0}(x)=\frac{sin(t_0)}{24}x^4[/mm]


Gucke hier: []Wikipedia Taylor-Formel
und auch unter dem Abschnitt "Restgliedformeln".

Die allgemeine Formel für das Restglied lautet (für Funktion f, Entwicklungspunkt a)

[mm] $R_n(x) [/mm] = [mm] \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}*(x-a)^{n+1}$, [/mm]

Zwischenstelle [mm] $\xi$ [/mm] zwischen x und a.

Wir nutzen hier n = 3, weil wir f mit einem Polynom 3. Ordnung approximieren.
$f(x) = [mm] \sin(x)$. [/mm]
$a = 0$ (siehe Aufgabe Entwicklungspunkt)

Das Problem bei solchen Restgliedformeln ist normalerweise, dass man das [mm] $\xi$ [/mm] nicht kennt und daher nicht weiß, an welcher Stelle man die $(n+1)$-te Ableitung von $f$ auswerten soll. Hier ist es nun aber so, dass [mm] $f^{(n+1)}(\xi) = \sin(\xi)$ [/mm] ist und wir das einfach beschränken können.





Viele Grüße,
Stefan

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