Restgliedabschätzung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:06 Mi 08.12.2004 | | Autor: | kluh |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo Leute,
habe Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:
Sei [mm] (x_{n} \not= 0)_{n \in \IN} [/mm] eine reelle Zahlenfolge mit [mm] x_{n} \to [/mm] 0.
Zeigen Sie:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x_{n}}-1}{x_{n}} [/mm] = 1
Hinweis: Restgliedabschätzung
Meine erste Idee war, [mm] e^{x_{n}} [/mm] durch die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x_{n})^n}{n!} [/mm] auszudrücken.
Habe versucht, das Ganze irgendwie weiter umzuformen, komme aber nicht auf irgend etwas Brauchbares. Leider kann ich mit dem Hinweis der Restgliedabschätzung nicht viel anfangen, evtl. kann mir hierzu jemand einen Tipp geben, wie ich hier weiter machen kann.
Vielen Dank schon mal im Voraus,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:37 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kluh,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo Leute,
>
> habe Schwierigkeiten mit der folgenden Aufgabe:
>
> Sei [mm](x_{n} \not= 0)_{n \in \IN}[/mm] eine reelle Zahlenfolge mit
> [mm]x_{n} \to[/mm] 0.
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}[/mm] =
> 1
>
> Hinweis: Restgliedabschätzung
>
> Meine erste Idee war, [mm]e^{x_{n}}[/mm] durch die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(x_{n})^n}{n!}[/mm]
> auszudrücken.
Das ist fast okay! Du musst nur mit dem Laufindex aufpassen, den darfst du nicht mehr $n$ nennen, da $n$ schon vergeben ist. Nennen wir ihn also mal $k$:
[mm] $e^{x_n}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x_{n})^k}{k!}$
[/mm]
Machen wir das also damit mal:
[m]\begin{vmatrix}\bruch{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}-1\end{vmatrix}[/m]
[m]=\begin{vmatrix}\bruch{\left(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x_{n})^k}{k!}\right)-1}{x_{n}}-1\end{vmatrix}[/m]
[m]=\begin{vmatrix}\bruch{1+\left(\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(x_{n})^k}{k!}\right)-1}{x_{n}}-1\end{vmatrix}[/m]
[m]=\begin{vmatrix}\left(\bruch{\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(x_{n})^k}{k!}}{x_{n}}\right)-1\end{vmatrix}[/m]
[m]=\begin{vmatrix}\left(\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(x_{n})^{k-1}}{k!}\right)-1\end{vmatrix}[/m]
[m]\stackrel{Indexverschiebung}{=}\begin{vmatrix}\left(\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(x_{n})^{k}}{(k+1)!}\right)-1\end{vmatrix}[/m]
[m]=\begin{vmatrix}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(x_{n})^{k}}{(k+1)!}\end{vmatrix}[/m]
[m]\le \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{|x_{n}|^{k}}{(k+1)!}[/m]
[m]\le \summe_{k=1}^{\infty} |x_{n}|^{k}=(\star)[/m]
Da [m]x_n \to 0[/m] ($n [mm] \to \infty$) [/mm] und weil [mm] $(x_n \not=0)_{n \in \IN}$ [/mm] existiert ein $m [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle $l [mm] \ge [/mm] m$ gilt: [mm] $0<|x_l|<1$ [/mm]
O.B.d.A. können wir also $n [mm] \ge [/mm] m$ annehmen und erhalten deswegen mit der Formel für den Grenzwert einer geometrischen Reihe:
[m](\star)=\frac{|x_n|}{1-|x_n|}[/m].
Fazit:
[m]\begin{vmatrix}\bruch{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}-1\end{vmatrix} \le \frac{|x_n|}{1-|x_n|} [/m] (für alle [mm] $n\ge [/mm] m$).
Was folgt daraus nun bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Viele Grüße,
Marcel
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Wie genau kommst du auf:
Machen wir das also damit mal:
[m]\begin{vmatrix}\bruch{e^{x_{n}}-1}{x_{n}}-1\end{vmatrix}[/m]
Bzw. was verwendest du da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:11 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Konvergenz gegen einen GW g der Folge [mm] a_n [/mm] beweist man immer mit
[mm] |a_n-g|<\epsilon [/mm] für [mm] n>N_0
[/mm]
Gruss leduart
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Das heißt ich muss vorher schon den GW "kennen"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mi 01.12.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo glas_unklar!
Ja, aber durch die Aufgabenstellung ist dieser Wert von Beginn an bekannt.
Gruß
Loddar
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Hallo, alle
sobald kluh's Frage beantwortet ist hoffe ich verstehen zu können
warum man hier nicht einfach
[mm] $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..)-1}{x} [/mm] = [mm] \lim_{x \rightarrow 0} [/mm] ( 1 + x/2! + [mm] x^2/3! [/mm] + ...)$
einsetzen darf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mi 08.12.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Friedrich,
> Hallo, alle
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> sobald kluh's Frage beantwortet ist hoffe ich verstehen zu
> können
>
> warum man hier nicht einfach
>
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..)-1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} = 1 + x/2! + x^2/3! + ...[/mm]
Natürlich gilt:
[m]\frac{(1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ..)-1}{x}=1 + x/2! + x^2/3! + ...[/m]
Okay. Aber auf der rechten Seite erkennt man zwar, dass die Reihe konvergiert, aber man erkennt nicht unbedingt, gegen welchen Wert. Du mußt dann begründen, dass diese Gleichheit [m]\lim_{x \to 0}(1 + x/2! + x^2/3! + ...)=\lim_{x \to 0}1+\lim_{x \to 0}x/2!+\lim_{x \to 0}x^2/3!+...[/m] gilt (das ist machbar, aber evtl. hat Kluh diese Voraussetzungen noch nicht).
PS: Außerdem sollte die Aufgabe eigentlich per Restgliedabschätzung gelöst werden.
Viele Grüße,
Marcel
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