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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Geddon |
| Aufgabe | 1. (a) Bestimmen Sie das Taylor Polynom 2. Grades T2(x) der Funktion
f(x) = ln x + [mm] \wurzel{x} [/mm] im Entwicklungspunkt x0 = 1.
(b) Zeigen Sie, dass für das Restglied R(x) = f(x) - T2(x) für x >= 1 die
Abschätzung gilt |R(x)| <= [mm] \bruch{19}{48}(x [/mm] - [mm] 1)^{3}: [/mm] |
Hallo,
die Lösung hab ich, nur verstehe ich den Lösungsweg an einigen Stellen nicht.
a) T2(x) = 1 + 1,5(x-1) - [mm] \bruch{5}{8}(x-1)^{2}
[/mm]
f'''(x) = [mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{8}x^{\bruch{-5}{2}}
[/mm]
b) |R(x)| <= [mm] \bruch{C}{(n+1)!} [/mm] * |x - [mm] x0|^{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{C}{6} [/mm] * [mm] (x-1)^{3}
[/mm]
Soweit so gut, jetzt fehlt mir nurnoch C.
Wähle C mit |f'''(x)| = f'''(x) = [mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] + [mm] \bruch{3}{8}x^{\bruch{-5}{2}} [/mm] <= C
Da f'''(x) monoton fallend ist gilt f'''(x) <= f'''(1) = [mm] \bruch{19}{8} [/mm]
Den roten Teil verstehe ich nicht, ab hier versteh ich es wieder
C = 19/8 und einsetzen
= [mm] \bruch{19}{48} (x-1)^{3}
[/mm]
Was wurde da gemacht?
Angenommen ich müsste für eine Andere Gleichung die Restgliedabschätzung machen, wieder mit T2, würde sich dann was an
Wähle C mit |f'''(x)| = f'''(x) = $ [mm] \bruch{2}{x^{3}} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{3}{8}x^{\bruch{-5}{2}} [/mm] $ <= C
ändern außer der 3. Ableitung? Also das immer f'''(x) <= C gilt?
Da f'''(x) monoton fallend ist gilt f'''(x) <= f'''(1) = $ [mm] \bruch{19}{8} [/mm] $
Gut, am Ende wurde in f'''(1) eingesetzt.
Was aber wenn f'''(x) steigend wäre, was würde sich da ändern? vielleicht "<=" in ">=" ?
Wird da immer die 1 eingesetzt oder ist das Abhängig von dem Entwicklungspunkt x0?
Gruß
Geddon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Sa 29.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei der Restgliedbestimmung ist ja C=f'''(x1) wobei x1 im betrachteten Intervall liegt. zur abschätzung muss man dan ds max(f'''(x)) über das betrachtete Intervall hier [mm] x\e [/mm] 1 nehmen, und da f''' fällt ist das an der unteren Grenze des Intervalls also f'''(1)
wäre das Intervall x>0,75 müsstest du f'''(0.75) für C nehmen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Geddon |
Hi,
Wenn ich also eine Funktion hab die steigt und das Intervall bis -5 (<-5) betrachten würde, würde ich -5 nehmen?
Wie würde es denn aussehen wenn ich eine steigende Funktion habe mit dem Intervall >5? Würde ich da dann unendlich oder so nehmen? (bzw. eine fallende Funktion die ich im Intervall < 5 nehmen würde -unendlich?)
Wenn ich ein (-1, 1) Intervall hätte müsste ich nur herausfinden an welcher Stelle die Funktion den maximalen Wert annimmt?
> Hallo
> bei der Restgliedbestimmung ist ja C=f'''(x1) wobei x1 im
> betrachteten Intervall liegt. zur abschätzung muss man dan
> ds max(f'''(x)) über das betrachtete Intervall hier [mm]x\e[/mm] 1
> nehmen, und da f''' fällt ist das an der unteren Grenze
> des Intervalls also f'''(1)
> wäre das Intervall x>0,75 müsstest du f'''(0.75) für C
> nehmen.
>
> Gruss leduart
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Sa 29.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, du kannst nicht besser als das jeweilige max(f''') in dem gegebenen Intervall zu finden.
wobei natürlich für ein Intervall mit [mm] \infty [/mm] als eine grenze steigende unbeschränkte f''' keine sinvolle Aussage mehr erlauben. aber so sinnlose fragen stellt auch niemand.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Sa 29.01.2011 | | Autor: | Geddon |
Hi,
danke!
ich hab noch eine weiter Frage:
c) Bestimmen sie mit Hilfe von (a) eine Näherung für
[mm] 3^\bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{9} [/mm] = [mm] \wurzel[3]{8(1+ \bruch{1}{8})} [/mm] = 2* [mm] \wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{8})}
[/mm]
Ich brauch doch einfach nur [mm] 3^\bruch{2}{3} [/mm] in T2(x) einsetzen und ausrechnen.
Ich frage mich warum diese Umformungen in der Aufgabe mit dabei stehen. Iich vermute es ist ein Tipp um die Aufgabe ausrechnen zu können, da in der Klausur keine Taschenrechner erlaubt sind, aber ich kann keine Struktur erkennen was mir 2* [mm] \wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{8})} [/mm] bringen könnte.
Habt ihr da vielleicht eine Idee?
Gruß
Geddon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Sa 29.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ist das wirklich berufsschule Kl. 12?
Es handelt sich aber bei a) nicht um die Aufgabe oben, sondern wahrscheinlich um die Taylorentwicklung von $ [mm] \wurzel[3]{(1+ x)} [/mm] $ mit dem entwicklungspunkt 0. dann kannst du das hier verwenden mit x=1/8?
Hat es dich nie gewundert wie ein TR all die Kunsstücke vollbringt, die er kann? also wie rechnet er $ [mm] \wurzel[3]{(1,0234} [/mm] $ aus oder ähnliches?
Da er ja nur 8 Stellen wissen muss, muss er nur ein polynom ausrechnen, nämlich das entsprechende Taylorpolynom. da kommt er mit multiplizieren, dividieren und addieren aus, und nur das kann ein TR oder computer.
Oder stell dir Jauch vor, du sollst die $ [mm] \wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{1003})} [/mm] $ auf 3 Stellen hinter dem komma "wissen" A:10,111 B: 10,031 C: 1,001 D: 1,003
Was wäre deine Antwort ohne TR?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 30.01.2011 | | Autor: | Geddon |
Hi,
stimmt, das war ne andere Aufgabe:
a) Bestimmen Sie das Taylor Polynom 2. Grades T2(x) der Funktion f(x) = [mm] \wurzel[3]{x} [/mm] im Entwicklungspunkt x0 = 1.
T2(x) = [mm] 1+\bruch{1}{3}(x-1) [/mm] - [mm] \bruch{1}{9}(x-1)^2
[/mm]
und da muss ich eine Näherung für
$ [mm] 3^\bruch{2}{3} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel[3]{9} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel[3]{8(1+ \bruch{1}{8})} [/mm] $ = 2* $ [mm] \wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{8})} [/mm] $ verwenden
Gruß
Geddon
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 So 30.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> a) Bestimmen Sie das Taylor Polynom 2. Grades T2(x) der
> Funktion f(x) = [mm]\wurzel[3]{x}[/mm] im Entwicklungspunkt x0 = 1.
>
> T2(x) = [mm]1+\bruch{1}{3}(x-1)[/mm] - [mm]\bruch{1}{9}(x-1)^2[/mm]
wenn du jetzt x=1+d setzt hast du
T2(1+d) = [mm] $1+\bruch{1}{3}(d)$ [/mm] - [mm] $\bruch{1}{9}(d)^2$
[/mm]
> und da muss ich eine Näherung für
> [mm]3^\bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{9}[/mm] = [mm]\wurzel[3]{8(1+ \bruch{1}{8})}[/mm]
> = 2* [mm]\wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{8})}[/mm] verwenden
für [mm] $\wurzel[3]{(1+ \bruch{1}{8})}$ [/mm]
ist dann d=1/8
[mm] T_2(d==T2(1+1/8)=1+1/3*1/8-1/9*1/8^2=1,040..
[/mm]
[mm] d.h.$\wurzel[3]{9}$ \approx [/mm] 2*1.040
d.h. auf 3 Stellen nach dem Komma genau!
und so ähnlich rechnet eben dein TR nur nicht mit [mm] T_2 [/mm] sondern eher [mm] T_6
[/mm]
Gruss leduart
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