Restgliedabschätzung Taylor < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^{3} \to \IR [/mm] gegeben durch: f(x,y,z):=sin(x)*cos(x)*exp(z). Bestimme ein r>0 sodass [mm] |f(x)-T_2(x)|<10^-5 [/mm] für [mm] ||x||^3. [/mm] Wobei x:=(x,y,z) ein Vektor ist. Wobei [mm] T_2(x)
[/mm]
das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f ist um (0,0,0) entwickelt. |
Hi.
Zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage:
In der Lösung wird jetzt das Restglied von Lagrange für die mehrdimensionale Taylorentwicklung wird so abgeschätzt:
[mm] R_2(x)=\frac{1}{6}* \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k=1}^{3} D_i D_jD_K f(\mu) x_i x_j x_k [/mm] <= [mm] \frac{27}{6} [/mm] * [mm] exp(|\mu|) [/mm] * [mm] ||x||^3
[/mm]
||.|| ist dabei eine Norm auf dem [mm] R^3. [/mm] Es wird nicht explizit erwähnt, dass es sich um die euklidische Norm handelt aber ich vermute es. Die Abschätzung mit [mm] exp(|\mu|)
[/mm]
ist so zu erklären: sin(x)*cos(x)*exp(z) <= exp(|z|)
Die Formel für das Lagrange-Restglied steht in diesem Artikel unter der Kategorie "Taylor im Mehrdimensionalen"
"z" ist in meinem Fall das [mm] \mu
[/mm]
Was ich nicht verstehe ist die Abschätzung mit der Norm die ganz am Schluss steht.
Könnt ihr mir die erklären???
Das wäre cool! Danke!
Die Aufgabe ist übr. aus dem Repetitorium Analysis 2 von Timmann auf S100 zu finden (ganz unten)
Gruß
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Hallo dre1ecksungleichung,
> Sei [mm]f:\IR^{3} \to \IR[/mm] gegeben durch:
> f(x,y,z):=sin(x)*cos(x)*exp(z). Bestimme ein r>0 sodass
> [mm]|f(x)-T_2(x)|<10^-5[/mm] für [mm]||x||^3.[/mm] Wobei x:=(x,y,z) ein
> Vektor ist. Wobei [mm]T_2(x)[/mm]
> das Taylorpolynom zweiter Ordnung von f ist um (0,0,0)
> entwickelt.
> Hi.
> Zu dieser Aufgabe habe ich eine Frage:
> In der Lösung wird jetzt das Restglied von Lagrange für die
> mehrdimensionale Taylorentwicklung wird so abgeschätzt:
> [mm]R_2(x)=\frac{1}{6}* \summe_{i=1}^{3} \summe_{j=1}^{3} \summe_{k=1}^{3} D_i D_jD_K f(\mu) x_i x_j x_k[/mm]
> <= [mm]\frac{27}{6}[/mm] * [mm]exp(|\mu|)[/mm] * [mm]||x||^3[/mm]
> ||.|| ist dabei eine Norm auf dem [mm]R^3.[/mm] Es wird nicht
> explizit erwähnt, dass es sich um die euklidische Norm
> handelt aber ich vermute es. Die Abschätzung mit
> [mm]exp(|\mu|)[/mm]
> ist so zu erklären: sin(x)*cos(x)*exp(z) <= exp(|z|)
> Die Formel für das Lagrange-Restglied steht in diesem
> Artikel unter der Kategorie "Taylor im Mehrdimensionalen"
> "z" ist in meinem Fall das [mm]\mu[/mm]
>
> Was ich nicht verstehe ist die Abschätzung mit der Norm die
> ganz am Schluss steht.
> Könnt ihr mir die erklären???
Die Funktion
[mm]f\left(x,y,z\right)=\sin\left(x\right)*\cos\left(\red{y}\right)*e^{z}[/mm]
muß doch so lauten?
Dann kommt das mit der Abschätzung hin.
Übrigens, hier wurde [mm]x^{k}*y^{l}*z^{3-k-l}, \ 0 \le k+l \le 3, \ k,l \in \IN_{0}[/mm] durch
[mm]x^{k}*y^{l}*z^{3-k-l} \le \left( \ \operatorname{max}\left\{\vmat{x},\vmat{y},\vmat{z}\right\} \right)^{3}[/mm]
abgeschätzt, also die Maximumsnorm.
> Das wäre cool! Danke!
> Die Aufgabe ist übr. aus dem Repetitorium Analysis 2 von
> Timmann auf S100 zu finden (ganz unten)
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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Was ist k und l bei dir?
Kannst du das alles mal ein bisschen ausführlicher und genauer aufschreiben?
Gruß
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achso und was ist dieses 3-l-k im exponenten?
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Hallo dre1ecksungleichung,
> Was ist k und l bei dir?
> Kannst du das alles mal ein bisschen ausführlicher und
> genauer aufschreiben?
Nun, das Restglied ist ein Polynom 3. Grades in x,y und z.
Das Restglied schreibt sich hier so:
[mm]R_{2}\left(x,y,z\right)=[/mm]
[mm]\summe_{k+l+m=3, k,l,m \ge 0}^{}\bruch{1}{k!*l!*m!}\bruch{\partial^{3} f}{\partial x^{k} \partial y^{l} \partial z^{m}}\left( \ x_{0}+\theta*\left(x-x_{0}\right),y_{0}+\theta*\left(y-y_{0}\right),z_{0}+\theta*\left(z-z_{0}\right) \ \right)*\left(x-x_{0}\right)^{k}*\left(y-y_{0}\right)^{l}*\left(z-z_{0}\right)^{m}[/mm]
mit einer geeigneten Zahl [mm]0<\theta<1[/mm]
und [mm]\pmat{x_{0} \\ y_{0} \\ z_{0}}[/mm] dem Entwicklungspunkt
Hier ist k die Potenz bei [mm]\left(x-x_{0}\right)[/mm], l die Potenz bei
[mm]\left(y-y_{0}\right)[/mm] und [mm] m=3-k-l[/mm] die Potenz bei [mm]\left(z-z_{0}\right)[/mm]
>
> Gruß
Gruß
MathePower
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