Restklasse invertierbar < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:58 Sa 19.12.2009 | | Autor: | chrissi2709 |
| Aufgabe | | Sei f(x) = [mm] x^{19} [/mm] +19x +57 [mm] \in \IQ. [/mm] Ist die Restklasse von [mm] x^{18}+2 [/mm] in [mm] \IQ/(f) [/mm] invertierbar? |
Hallo,
ich habe hier so gar keine Ahnung, wie ich diese Aufgabe lösen soll;
wie invertiere ich denn eine Restklasse?
kann mir da jemand weiterhelfen?
schon mal vielen Dank;
fg
Chrissi
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Hallo Chrissi,
Deine Restklasse wäre invertierbar, wenn es eine Restklasse y gäbe, so dass
[mm] (x^{18}+2)y=r(x^{19}+19x+57)+1 [/mm] mit [mm] r\in\IQ [/mm] ist.
y ist dabei ein Polynom in x, also [mm] y=\summe_{i=0}^n a_i x^i [/mm] mit [mm] i,n\in\IN [/mm] und n<19.
Nun zeigt eine Polynomdivision, dass
[mm] y=rx+\blue{\bruch{17rx+57r+1}{x^{18}+2}}
[/mm]
ist. Kannst Du r so wählen, dass der blaue Bruch eine ganzrationale Funktion wird, hier also ein Polynom höchstens vom Grad 18?
Wenn ja, ist Deine Restklasse invertierbar - wenn nein, dann nicht.
Mich irritiert allerdings, dass ein anderer Weg ein anderes Ergebnis bringt: invertierbar sind genau die Restklassen, die zum Modul teilerfremd sind. Und das ergäbe hier doch...
Zumindest folgt dann aber, dass einer der beiden vorgeschlagenen Wege falsch ist, oder ich mich anderweitig irre.
Insofern ist diese Antwort wohl mit Vorsicht zu genießen, und ich lasse die Frage weiter halboffen stehen.
lg
reverend
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Hi Chrissi,
hab deine Frage mal gegoogelt. Guckst du hier:
![[]](/images/popup.gif) Aufgabe
Schönen Gruß,
duke
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