Restklassen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige:
a) [mm] z^3=z [/mm] für alle z [mm] \in \IF_9
[/mm]
b) [mm] z^7=z [/mm] für alle z [mm] \in \IF_{49} [/mm] |
Zuallererst:
Was kann ich mir unter [mm] \IF_9 [/mm] bzw [mm] \IF_{49} [/mm] vorstellen? Wir haben in der Vorlesung für eine Primzahl p definiert:
[mm] \IF_p:=\IZ/(p)
[/mm]
Kann ich das hier auch benutzen?
Wenn ja, wäre die Behauptung für z.B. z=3, also [mm] z^3=27=0 \ne3=z
[/mm]
falsch.
Danke für Vorschläge =)
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Hallo,
> Zeige:
> a) [mm]z^3=z[/mm] für alle z [mm]\in \IF_9[/mm]
> b) [mm]z^7=z[/mm] für alle z [mm]\in \IF_{49}[/mm]
>
> Zuallererst:
>
> Was kann ich mir unter [mm]\IF_9[/mm] bzw [mm]\IF_{49}[/mm] vorstellen? Wir
> haben in der Vorlesung für eine Primzahl p definiert:
> [mm]\IF_p:=\IZ/(p)[/mm]
>
> Kann ich das hier auch benutzen?
> Wenn ja, wäre die Behauptung für z.B. z=3, also [mm]z^3=27=0 \ne3=z[/mm]
>
> falsch.
Ich denke, [mm] \IF_p [/mm] ist hier der aus den Restklassen modulo p sowie der Addition und Multiplikation von Restklassen bestehende Körper. Anders ergibt die Aufgabe keinen Sinn.
Hilft dir das schon weiter?
EDIT: Sorry, hier habe ich ziemlichen Unsinn geschrieben. Siehe dazu die Korrektur von UniversellesObjekt.
Gruß, Diophant
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Hallo,
Das ist so nicht richtig. Es wird in der Algebra gezeigt, dass es zu jeder Primzahlpotenz bis auf Isomorphie genau einen Körper dieser Kardinalität, gibt, dieser wird manchmal mit [mm] $\mathbb [/mm] { F } _ [mm] {p^n} [/mm] $ bezeichnet. Mit Restklassen hat der aber nur im Falle $ n=1 $ zu tun (andernfalls hat der Ring [mm] $\IZ/p^n\IZ [/mm] $ Nullteiler).
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 08:53 Fr 06.12.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo UniversellesObjekt,
> Das ist so nicht richtig. Es wird in der Algebra gezeigt,
> dass es zu jeder Primzahlpotenz bis auf Isomorphie genau
> einen Körper dieser Kardinalität, gibt, dieser wird
> manchmal mit [mm]\mathbb { F } _ {p^n}[/mm] bezeichnet. Mit
> Restklassen hat der aber nur im Falle [mm]n=1[/mm] zu tun
> (andernfalls hat der Ring [mm]\IZ/p^n\IZ[/mm] Nullteiler).
Ja natürlich, das war voll daneben geschossen. Vielen Dank fürs Aufpassen!
Ich hatte da irgendwie den totalen Bodennebel und habe an Stelle von Körpern an Gruppen gedacht...
Gruß, Diophant
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Hallo,
Wenn ich mich nicht sehr täusche, ist die Behauptung trotzdem falsch. Jede endlich erzeugte Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch. Dann müsste der Erzeuger als Ordnung $ [mm] p^2-1 [/mm] $ haben und nicht $ [mm] \le [/mm] p-1 $, wie es die Aufgabenstellung behauptet (Für $p=3$ bzw. $p=7$).
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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> Hallo,
>
> Wenn ich mich nicht sehr täusche, ist die Behauptung
> trotzdem falsch. Jede endlich erzeugte Untergruppe der
> multiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch. Dann
> müsste der Erzeuger als Ordnung [mm]p^2-1[/mm] haben und nicht [mm]\le p-1 [/mm],
> wie es die Aufgabenstellung behauptet (Für [mm]p=3[/mm] bzw. [mm]p=7[/mm]).
>
Kannst du mir das erklären, wo in der Aufgabenstellung p-1 also 2 und 6 vorkommen? Das ist mir nicht so ganz klar.
Wir haben heute gesagt bekommen, dass sich in der Aufgabe ein Fehler befindet und zwar
[mm] z^7=z\setminus \left\{ 0 \right\} [/mm] und [mm] z^3=z \setminus \left\{ 0 \right\}
[/mm]
Aber das ändert nichts an deiner Aussage....
Aber wenn dem denn so wäre, und die Behauptung falsch ist, kannst du mir dann noch mal erklären, wieso du jetzt darauf kommst, dass es sich bei [mm] \IF [/mm] um einen Körper handelt und wieso du die Untergruppen betrachtest?
Liebe Grüße,
Elizabeth
> Liebe Grüße,
> UniverselllesObjekt
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Hallo Elizabeth,
es geht einfach darum, dass [mm] $\IF_9$ [/mm] und [mm] $\IF_{49}$ [/mm] nach Definition Körper sind.
Sollen es bei dir wirklich Körper sein, oder meinst du etwas anderes?
Wenn es Körper sein sollen, ist die zu zeigende Aussage einfach nur falsch.
Zur Korrektur: [mm] $z^k=z$ [/mm] gilt insbesondere für $z=0$ und beliebiges $k > 0$, also sieht auch die "Korrektur" von der du erzählt hast sehr seltsam aus.
Also klär uns mal auf: wie genau habt ihr [mm] $\IF_9$ [/mm] und [mm] $\IF_{49}$ [/mm] definiert, was exakt sollt ihr zeigen?
lg
Schadow
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Guck dir noch einmal meinen ersten Eintrag an. Da steht in der Aufgabenstellung, was zu zeigen ist. Das einzige was wir zur Definition von diesem [mm] \IF [/mm] in der Vorlesung hatte, steht dort auch. Es bezieht sich aber auf Primzahlen. 49 und 9 sind allerdings keine. Deshalb bin ich ungefähr genauso verwirrt von dieser Aufgabenstellung wie ihr.
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Hallo ElizabetBalotelli,
> Guck dir noch einmal meinen ersten Eintrag an. Da steht in
> der Aufgabenstellung, was zu zeigen ist. Das einzige was
> wir zur Definition von diesem [mm]\IF[/mm] in der Vorlesung hatte,
> steht dort auch. Es bezieht sich aber auf Primzahlen. 49
> und 9 sind allerdings keine. Deshalb bin ich ungefähr
> genauso verwirrt von dieser Aufgabenstellung wie ihr.
Schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier oder in Aufgabe 3 hier nach.
Grüße
reverend
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Hey, ich hab die gleiche Aufgabe und offensichtlich auch die gleiche Vorlesung. Allerdings lautete die Korrektur anders als es Elizabet gepostet hat.
[mm] z^3=[/mm] [mm] \bar z [/mm] , also das komplex konjugierte von z. Genauso auch für [mm] z^7.
[/mm]
Ich weiß aber auch nicht so recht, wie ich das richtig zeigen soll, ich könnte alle fälle durchrechnen, aber das wäre ja schließlich kein schöner mathematischer Beweis.
Gruß SiuNimTau
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Hallo SiuNimTau, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hey, ich hab die gleiche Aufgabe und offensichtlich auch
> die gleiche Vorlesung.
Möglich. Vielleicht gibts die gleiche Aufgabe aber auch an mehreren Orten. 
> Allerdings lautete die Korrektur
> anders als es Elizabet gepostet hat.
>
> [mm]z^3=[/mm] [mm]\bar z[/mm] , also das komplex konjugierte von z. Genauso
> auch für [mm]z^7.[/mm]
Das macht deutlich mehr Sinn.
> Ich weiß aber auch nicht so recht, wie ich das richtig
> zeigen soll, ich könnte alle fälle durchrechnen, aber das
> wäre ja schließlich kein schöner mathematischer Beweis.
Das stimmt ohne Zweifel.
Darum ein kleiner Tipp: betrachte [mm] (a+b)^p. [/mm]
Es gilt [mm] p\big|\vektor{p\\k} [/mm] für [mm] 1\le k\le{p-1}.
[/mm]
Das vereinfacht die Rechnung erheblich.
Grüße
reverend
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Ich hab ebenfalls die gleiche Aufgabe und komme nicht weiter...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Sa 07.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
durch die Frage von SiuNimTau habe ich endlich die Aufgabe verstanden. 
Eine gute Veranschaulichung von [mm] \IF_{9} [/mm] ist eine Repräsentation in den gaußschen Zahlen, also komplexen Zahlen mit ganzzahligem Real- und Imaginärteil, nützlich.
Dann gibt es in [mm] \IF_{9} [/mm] die Restklassen [0], [0+i], [0+2i], [1], [1+i], [1+2i], [2], [2+i], [2+2i].
Um die Behauptung zu zeigen, muss man dann eigentlich nur den kleinen Fermat kennen, meinen Tipp von vorhin zu den Binomialkoeffizienten verwenden und noch wissen, dass [mm] i^2=-1 [/mm] ist.
Viel Erfolg
reverend
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Hey, ich bin's nochmal. Hab mich der Aufgabe mal angenommen.
Also [mm] IF_{9} [/mm] bedeutet ja einfach [mm] IF_{3}[i]=\left\{a+bi|a,b\in\IF_{3}\right\} [/mm]
Wenn ich dann [mm] a,b\in\IF_{3} [/mm] beliebig wähle und [mm] (a,b)^3 [/mm] berechne, muss ich doch eigentlich nur zeigen, dass gilt:
[mm] a= {a^3-3ab^2} und -b=3a^2b-b^3 [/mm], wobei die "quer" die Kongruenzklasse Modulo 3 sein soll. Denn damit hab ich ja eigentlich gezeigt, dass gilt [mm] z^3=(a,b)^3=(a,-b)=\bar z [/mm]. Stimmt das denn so??
Gruß SiuNimTau
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Hallo SiuNimTau,
> Also [mm]IF_{9}[/mm] bedeutet ja einfach
> [mm]IF_{3}[i]=\left\{a+bi|a,b\in\IF_{3}\right\}[/mm][/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Wenn ich dann [mm]a,b\in\IF_{3}[/mm] beliebig wähle und [mm](a,b)^3[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]berechne, muss ich doch eigentlich nur zeigen, dass gilt: [/i][/mm]
> [mm][i][mm]a= {a^3-3ab^2} und -b=3a^2b-b^3 [/mm], wobei die "quer" die [/i][/mm]
> [mm][i]Kongruenzklasse Modulo 3 sein soll. Denn damit hab ich ja [/i][/mm]
> [mm][i]eigentlich gezeigt, dass gilt [mm]z^3=(a,b)^3=(a,-b)=\bar z [/mm]. [/i][/mm]
> [mm][i]Stimmt das denn so??[/i][/mm]
das ist noch nicht ganz nachvollziehbar aufgeschrieben, aber es ist alles dabei, was man braucht. Den Hinweis mit "quer" verstehe ich noch nicht.
Versuch trotzdem mal [mm] \IF_{49}. [/mm] Die einzelnen Binomialkoeffizienten brauchst Du nicht auszurechnen; alles andere geht genauso.
Grüße
reverend
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