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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 So 25.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
| Aufgabe | | Sei p=5. Dann ist [mm] \IZ_{p}\{{\overline{0} ,\*}} [/mm] |
Hi,
nun habe ich ein paar Fragen bezüglich der Gruppentafel.
[mm] \overline{1}\*\overline{1}=\overline{1} [/mm] für den Rest 5
aber wieso ergibt denn das den Rest [mm] \overline{1}?, [/mm] ich meine wenn da stehen würde:
[mm] \overline{3}\*\overline{3}=\overline{4} [/mm] (3x3=9 für den Rest 5 ergibt das 4)
Das ist ja klar, nur 1x1=1 und für den Rest 5 ergibt das eins?... das verstehe ich nicht..
zweite frage:
bei [mm] \overline{4}\*\overline{4}=\overline{1}
[/mm]
ist der grund für das ergebnis der, dass [mm] 4\*4=16 [/mm] und in der 16 ist die 5 genau 3 mal enthalten, demnach ist das ergebnis auch [mm] \overline{1}??
[/mm]
dritte frage:
Für das neutrale Element gilt ja: [mm] e\*a=a [/mm] wobei [mm] a\in\IZ\backslash [/mm] {0}
für a setzt man diverse Elemente, für die ganzen Zahlen zulässig sind und überprüft, also:
[mm] e\*4=4
[/mm]
oder
[mm] e\*3=3
[/mm]
...
resultierend daraus ergibt e=1 oder halt [mm] e=\overline{1}
[/mm]
ist das richtig so?
vierte frage:
um die inverse jeweils zu bestimmen gilt: [mm] a^{-1}\*a=e
[/mm]
dasselbe wie oben, macht man auch hier:
[mm] a^{-1}\*4=1 [/mm]
daraus folgt aber , dass die Inverse zu [mm] 4=4^{-1}, [/mm] das verstehe ich nun nicht, denn [mm] -4\*4=-16 [/mm] und mit dem Rest 5 sind es doch -1.... kann mir das jemand erklären?
vielen Dank euch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:19 So 25.10.2009 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Sei p=5. Dann ist [mm]\IZ_{p}\{{\overline{0} ,\*}}[/mm]
> Hi,
>
> nun habe ich ein paar Fragen bezüglich der Gruppentafel.
>
> [mm]\overline{1}\*\overline{1}=\overline{1}[/mm] für den Rest 5
>
> aber wieso ergibt denn das den Rest [mm]\overline{1}?,[/mm] ich
> meine wenn da stehen würde:
> [mm]\overline{3}\*\overline{3}=\overline{4}[/mm] (3x3=9 für den
> Rest 5 ergibt das 4)
> Das ist ja klar, nur 1x1=1 und für den Rest 5 ergibt das
> eins?... das verstehe ich nicht..
ganz einfach:
$4 [mm] \cdot [/mm] 4 = 3 [mm] \cdot [/mm] 5 + 1$ Die 3*5 kannst du vergessen, die 1 ist das Ergebnis.
$1 [mm] \cdot [/mm] 1 = 0 [mm] \cdot [/mm] 5 + 1$. Deshalb ist hier auch die 1 das Ergebnis.
>
> zweite frage:
>
> bei [mm]\overline{4}\*\overline{4}=\overline{1}[/mm]
>
> ist der grund für das ergebnis der, dass [mm]4\*4=16[/mm] und in
> der 16 ist die 5 genau 3 mal enthalten, demnach ist das
> ergebnis auch [mm]\overline{1}??[/mm]
ja genau.
> dritte frage:
>
>
> Für das neutrale Element gilt ja: [mm]e\*a=a[/mm] wobei
> [mm]a\in\IZ\backslash[/mm] {0}
>
> für a setzt man diverse Elemente, für die ganzen Zahlen
> zulässig sind und überprüft, also:
>
> [mm]e\*4=4[/mm]
> oder
> [mm]e\*3=3[/mm]
> ...
>
> resultierend daraus ergibt e=1 oder halt [mm]e=\overline{1}[/mm]
>
> ist das richtig so?
durchaus.
Aber eigentlich trivial: In solchen Fällen ist die [mm] $\overline{1}$ [/mm] offensichtlich immer das neutrale Element bzgl. der Multiplikation.
> vierte frage:
>
> um die inverse jeweils zu bestimmen gilt: [mm]a^{-1}\*a=e[/mm]
>
> dasselbe wie oben, macht man auch hier:
>
> [mm]a^{-1}\*4=1[/mm]
>
> daraus folgt aber , dass die Inverse zu [mm]4=4^{-1},[/mm] das
> verstehe ich nun nicht, denn [mm]-4\*4=-16[/mm] und mit dem Rest 5
> sind es doch -1.... kann mir das jemand erklären?
In [mm] $\IZ_5$ [/mm] ist die 4 zu sich selbst invers. Das ist ganz richtig.
Mir ist etwas schleierhaft, wie du auf -4 kommst. Die gibt es ja gar nicht in [mm] $\IZ_5$.
[/mm]
Wenn wir die Elemente von [mm] $\IZ_5$ [/mm] aber als Restklassen (also als Mengen) betrachten, dann wäre $-4 [mm] \in \overline{1}$, [/mm] also das neutrale Element. Das wird auch deutlich, denn $-16 = -4 [mm] \cdot [/mm] 5 + 4$, also $-16 [mm] \in \overline{4}$.
[/mm]
LG
Will
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:49 So 25.10.2009 | | Autor: | hotsauce |
gut erklärt, danke
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