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| Aufgabe | | Zeigen Sie F ist Körper <=> n ist prim |
Hallo,
Habe bereits die "Hinrichtung gezeigt"
nun komme ich auf keinen sinnvollen Ansatz wie ich die Rückrichtung also
n ist prim => F ist Körper zeigen soll
bitte helft mir auf die Sprünge
vielen Dank, Richard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib doch mal deine eine Richtung auf, damit klar ist was du kannst.
denn ich finde die rückrichtung einfacher.
Gruss leduart
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Hi leduart:
also aus F ist Körper => n ist prim
habe ich gemacht
n nicht prim => F ist kein Körper
dann habe ich mir ein n als nicht prim gewählt und finde sofort Körperaxiome verletzt. Da es ein Gegenbeispiel gibt folgere ich daraus dass die Aussage stimmt also
n nicht prim => F ist kein Körper
und damit dann auch
F ist Körper => n ist prim
ist das richtig gefolgert??? wie wäre denn dann dein ansatz für die rückrichtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Sir
> Hi leduart:
>
> also aus F ist Körper => n ist prim
> habe ich gemacht
>
> n nicht prim => F ist kein Körper
>
> dann habe ich mir ein n als nicht prim gewählt und finde
> sofort Körperaxiome verletzt. Da es ein Gegenbeispiel gibt
> folgere ich daraus dass die Aussage stimmt also
ich hoffe du hast kein bestimmtes n also etwa n=6 für dei Beispiel gewählt!
sonst ist das kein Beweis! sondern nur dass [mm] F_6 [/mm] kein Körper ist.
> n nicht prim => F ist kein Körper
> und damit dann auch
> F ist Körper => n ist prim
Alle F sind ne additive Gruppe. Du musst also nur beweisen, dass aus n prim folgt, es ist auch ne multipl. Gruppe. Also zu jedem Element a gibt es ein *Inverses.
dazu brauchst du ggt(a,b)=1 folgt 1=r*a+s*b
Gruss leduart
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nein die überlegung ist anders
ich will ja zeigen dass gilt n ist nicht prim => F ist kein Körper
nun betrachte ich die aussage n ist nicht prim => F ist Körper
nun dein Beispiel mit n=6 man probiert und sieht aha F ist kein Körper
da du ein Gegenbeispiel hast bedeutet das F ist kein Körper
und dass wiederum heißt n ist nicht prim => F ist Körper
das geht doch so oder nicht?
lg Richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast dann gezeigt: a) 6 ist nicht prim, und b) [mm] F_6 [/mm] ist kein Körper, d.h. du kennst wenigstens ein F nicht prim, und F nicht Körper.
Satz: aus n gerade folgt n nicht durch 3 teilbar.
ich drehe um : n nicht gerade n ist nicht nicht durch 3teilbar, also n ist durch 3 teilbar.
ich nehme ein n nicht gerade: n=7 ist nicht durch 3 teilbar. die Verneinung gilt nicht aha, die Beh. gilt!
Deine Umkehrung müsste heissen: es gibt mindestens ein n nicht prim und F ist Körper.
Wenn du den Bew, nur für endlich viele n hast, kann es doch sein, dass jemand anders ein einsames nichtprimes n findet, das doch ein [mm] F_n [/mm] hat, das Körper ist.
Gruss leduart
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Jetzt verwirrst du mich aber:
Ich habe gelernt: zzg (A => B) ist gleichwertig dazu zzg
dass "aus nicht B nicht A" folgt
und ausserdem haben wir gelernt, dass verneinung von der aussage F ist Körper ist, Es existiert ein n nicht prim für dass gilt F ist Körper ist falsch!
das war doch quasi nur aus der vorlesung angewandter stoff...wo ist da der denkfehler?
wenn ich also ein n nicht prim nehme und ein gegenbeispiel dafür finde, dass F ein Körper ist dann ist die Aussage
n nicht prim => F kein Körper wahr oder etwa nicht
und dann rückführend auch die Aussage F Körper => n nicht prim
bitte zeige mir die stelle in meiner beweisführung die falsch ist damit ich nachvollziehen kann wo der denkfehler ist
lg Richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 So 04.11.2007 | | Autor: | Gilga |
1.) Die Ordnung jedes Körper ist eine Primzahlpotenz.
Du bringst da einiges durcheinander.
Du findest EIN n nicht prim für das F kein Körper ist
Jetzt sagst du ?????
F Körper => n nicht prim
Die Schlussfolgerung ergibt keinen Sinn und du darfst auch nicht von einem Beispiel auf alle schließen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaub ich seh jetzt das Problem.
Die Aussage ist ja: [mm] \forall [/mm] n [mm] (F_n [/mm] körper ==> n prim)
das sind unendlich viele Aussagen.
schon die Aussage :
für n=6 und für n=22 gilt :.... kannst du nicht dadurch beweisen dass du für 6 gilt verneinst.!
Ich hoffe so ist es klar!
Du musst also zeigen für ein BELIEBIGS n nicht prim ist [mm] F_N [/mm] niiicht Körper.
Aber was man etwa mit 6 zeigen kann ist ja genausogut für n nicht prim d.h. n=a*b zeigen.
Gruss leduart
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Wie zeigt man dass etwas nicht gilt
nämlich indem man zeigt, dass es 1 element gibt für das es nicht geht!
ich beweise nicht durch beispiele sondern ich finde ein Gegenbeispiel!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 04.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du beweist dass [mm] F_6 [/mm] kein Körper ist. gut
warum ist -wenn du nur das weisst - [mm] F_{12345} [/mm] kein Körper?
Gruss leduart
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ganz genau das beweise ich
n ist nicht prim => F ist ein Körper ist dann wohl nicht mehr haltbar weil die Aussage ja impliziert dass es für alle n gelten muss.
Für F6 gilt es aber nicht also kann man nicht mehr sagen das F ein Körper ist falls n nicht prim ist
was mit all den anderen Fällen ist spielt dann keine Rolle mehr
die Aussage heißt also
n ist nicht prim => F ist kein Körper
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 04.11.2007 | | Autor: | SirRichard |
so hat man mir das beigebracht ich verstehe einfach den fehler nicht
lg Richard
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Hallo,
zunächst mal fände ich es für den Fall, daß sich diese Diskussion irgendwann mal inhaltlichen und nicht logischen Fragen zuwendet, recht angebracht, die Aufgabenstellung etwas kompletter zu präsentieren, nicht zuletzt hilft man sich damit oft selbst.
Unter
> Zeigen Sie F ist Körper <=> n ist prim
könnte man sich ja wer weiß was vorstellen...
Was ist F? Was soll n sein? Sooo klar ist das nicht.
Zu Deinem "Beweis".
Du möchtest zeigen: (*) F ist Körper ==> n ist prim.
Du hast völlig recht damit, daß diese Aussage äquivalent ist zu
(**) n ist nicht prim ==> F ist kein Körper.
Widerlegen könntest Du (**), indem Du ein nichtprimes n präsentierst, für welches K ein Körper ist. Das wäre ein Gegenbeipiel.
Hier mit hättest Du wegen der Äquivalenz der Aussagen auch (*) widerlegt.
Wenn Du nun aber anrückst mit einem nichtprimen n (z.B. 6), für welches F kein Körper ist, so ist das ein Hinweis darauf, daß die Aussage (**) und somit auch (*) gelten KÖNNTE.
Ob das wirklich für alle nichtprimen n gilt, ist nach wie vor fraglich. Das muß noch bewiesen werden.
Du hast ein Beipiel gebracht. Ein Beispiel ist kein Beweis.
Kann es sein, daß Du den Unterschied zwischen dem Beweis der Kontraposition und einem Beweis durch Widerspruch nicht verstanden hast?
Wenn ich für (**) einen Widerpruchsbeweis führen wollte, würde ich das so machen:
Es sei n nicht prim und es sei F ein Körper.
Hiermit würde ich arbeiten, bis ich einen Widerspruch bekomme, und dann schließen: also kann es nicht sein, daß f ein Körper ist. Also ist F kein Körper.
Damit hätte ich (**) bewiesen, und wegen der Äquivalenz der Aussagen auch (*).
Gruß v. Angela
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Danke Angela für diese präzise Darstellung, genau das wollte ich auch ausdrücken kam dann aber falsch rüber...
Ich habe dann beim Widerspruchsbeweis eingehakt indem ich sagte, dass ich nur ein einzige n finden muss für das F kein Körper ist um den Widerspruch zu haben....
habe ich das jetzt richtig verstanden dass ich für alle n (gerade) zeigen muss, dass F kein Körper ist um den Widerspruch zu erhalten???
lg Richard
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> Danke Angela für diese präzise Darstellung, genau das
> wollte ich auch ausdrücken
Hallo,
ich fürchte: nein...
> Ich habe dann beim Widerspruchsbeweis eingehakt indem ich
> sagte, dass ich nur ein einzige n finden muss für das F
> kein Körper ist um den Widerspruch zu haben....
Wenn ich beweisen möchte, daß
"n ist nicht prim ==> F ist kein Körper" richtig ist,
wäre eine der Beweistechniken, die ich auf Lager habe, der Beweis durch Widerspruch, wie in meinem vorhergehenden Post geschildert.
Auch wenn ich diesen Satz mithilfe v. Widerspruch beweise, beweise ich den Satz und widerlege ihn nicht etwa.
Wenn Du ein nichtprimes n bringst, für welches F kein Körper ist, hast Du ein Beispiel gebracht dafür, daß es mindestens einen Fall gibt, in welchem die Sachlage zu dem paßt, was wir beweisen wollen. Von einem Beweis ist das meilenweit entfernt.
Aber immerhin entmutigt uns Dein Beispiel nicht. Es sagt: es könnte eventuell sein, daß der Satz richtig ist.
Hättest Du ein nichtprimes n präsentiert, für welches F ein Körper ist, könntenwir hingegen aufhören. dann hättest Du mit diesem einem Beispiel die Gültigkeit des Satzes widerlegt, so daß jeder Versuch, ihn zu beweisen, müßig und zum Scheitern verurteilt wäre. WÄRE. Wenn es denn so WÄRE.
> habe ich das jetzt richtig verstanden dass ich für alle n
> (gerade) zeigen muss, dass F kein Körper ist um den
> Widerspruch zu erhalten???
Man will und wird hier keinen Widerspruch erhalten. Die zu beweisende Aussage
"n ist nicht prim ==> F ist kein Körper" gilt doch.
Gruß v. Angela
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Irgendwie bin ich scheinbar zu dumm zu verstehen was ihr mir sagen wollt:
1.) du sagst, mit dem Beispiel kann ich zeigen dass gilt
n ist nicht prim ==> F ist kein Körper
(Ich habe dann beim Widerspruchsbeweis eingehakt indem ich
> sagte, dass ich nur ein einzige n finden muss für das F
> kein Körper ist um den Widerspruch zu haben....
Wenn ich beweisen möchte, daß
"n ist nicht prim ==> F ist kein Körper" richtig ist)
2.) du sagst, das ist nur ein Beispiel und beweist nichts....
(Wenn Du ein nichtprimes n bringst, für welches F kein Körper ist,
hast Du ein Beispiel gebracht dafür, daß es mindestens einen Fall
gibt, in welchem die Sachlage zu dem paßt, was wir beweisen
wollen. Von einem Beweis ist das meilenweit entfernt)
reden wir aneinander vorbei???
lg Richard
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> 1.) du sagst, mit dem Beispiel kann ich zeigen dass
> gilt
> n ist nicht prim ==> F ist kein Körper
Hallo,
ich will stark hoffen, daß ich das nicht gesagt habe - ich habe auch keinen Hinweis darauf entdeckt.
Mit einem Beispiel kannst Du keinen Satz beweisen.
Mit einem Beispiel kannst Du einen Satz widerlegen.
Da wir uns im Kreise drehen, halte ich eine weitere Diskussion über diesen Sachverhalt im Moment für unsinnig.
Mein Vorschlag wäre, daß Du die Aufgabenstellung jetzt mal richtig nennst, und dann die Richtung des Beweises, die Du bereits erledigt hast, hier vorstellst.
Dann sieht man ja, ob er richtig ist und alles nur ein Mißverständnis war.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Die Menge F(p) ist ein Körper genau dann, wenn p eine Primzahl ist. Hierbei verzichten wir darauf, dass Sie das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz nachweisen müssen, falls p prim ist. |
Beweis:
"==>" Behauptung: F ist ein Körper ==> p ist prim
Dazu betrachte ich die äquivalente Aussage
p ist nicht prim ==> F ist kein Körper
Diese Aussage möchte ich beweisen, indem ich ein Widerspruchsbeweis führe
Nehme an, es gilt
p ist nicht prim ==> F ist ein Körper
Betrachte: p=6
F(6) beinhaltet die Reste 0,1,2,3,4,5
Probiere nun die Körperaxiome durch
4 hat kein Inverses bezüglich der Multiplikation deshalb ist F(6)
kein Körper, dies ist der Widerspruch zur Annahme
Es existiert ein p nicht prim für das gilt F ist kein Körper, also muss die Aussage richtig heißen:
p ist nicht prim ==> F ist kein Körper
<==>
F ist Körper => p ist prim ==> Behauptung
so dachte ich...bitte um korrektur
liebe grüße Richard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich versuchs ein letztes Mal!
> Zeigen Sie: Die Menge F(p) ist ein Körper genau dann, wenn
> p eine Primzahl ist. Hierbei verzichten wir darauf, dass
> Sie das Assoziativgesetz und das Distributivgesetz
> nachweisen müssen, falls p prim ist.
> Beweis:
>
> "==>" Behauptung: F ist ein Körper ==> p ist prim
Diese Beh ist hier verkürzt aufgeschrieben. ausführlich sind es n durch und verbundene Aussagen:
Für alle [mm] p\IN [/mm] gilt (F(p) Körper ==> p ist prim)
für p<10 ausgeschrieben heisst das
Behauptung (F(2) Körper 2 prim [mm] )\wedge [/mm] (F(3) Kö ==> 3prim) [mm] \wedge.....\wedge(F(9) [/mm] Körper ==> 9 prim)
Das ist also keine deiner einfagen Aussagen aus A folgt B die man umkehren kann und beweisen [mm] \negB [/mm] folgt [mm] \negA
[/mm]
versuch mal diese vielfachaussage zu verneinen!
> Dazu betrachte ich die äquivalente Aussage
>
>
> p ist nicht prim ==> F ist kein Körper
Das ergibt auch keinen Widerspruchsbeweis, sondern einen Beweis. Beweise kann man nie durch Beispiele führen!
Irgenwie hast du das Prinzip Widerspruchsbeweis nicht verstanden!
Das ist so kurz formuliert, dass es dich auf deinen Irrweg führt .
Ausführlich ginge etwa : es existiert kein p mit p nicht prim, so dass gilt F ist Körper.
das kannst du einfach beweisen indem du sagst: angenommen es gäbe ein p nicht prim, also p=a*b dann.... und dann machst du dasselbe, was du mit 6 gemacht hast nur allgemein!
Wenns jetzt noch nicht klar ist geb ich auf!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Tyskie84 |
Hab das ganze mal verfolgt. Also ich hab das einfach so gemacht. Wir haben ja den Körper [mm] \IF_{p} [/mm] und sollen beweisen dass dies ein körper ist wenn p = prim ist.
Beweis:
Sei m keine Primzahl und sei m = ab eine Zerlegung von m als Produkt von zwei positiven ganzen Zahlen mit 1 < a,b < m. Dann gilt [mm] \overline{a} [/mm] , [mm] \overline{b} \not= \overline{0} [/mm] aber [mm] \overline{a} \* \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{m} [/mm] = [mm] \overline{0}. [/mm] Somit [mm] \IF_{p} [/mm] kein Körper
Da [mm] \overline{a} \not= \overline{0}, [/mm] folgt a und p teilerfremd, also gibt es b,c aus [mm] \IZ [/mm] mit ab+cp=1 und somit [mm] \overline{a} \* \overline{b} [/mm] = [mm] \overline{1-cp} [/mm] = [mm] \overline{1}
[/mm]
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 05.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast da ne Menge richtiges stehen.
Aber du hast nicht gesagt, wann du welche Richtung beweisest, obwohl du für beide Richtungen die richtigen Argumente da stehen hast.
a) F(m) Körper folgt m prim, steht wohl in deinem ersten Teil durch Widerspruch, auch das muss man sagen!
b) m prim folgt F(m) Körper in deinem zweiten.
Das musst du aber klar trennen und jeweils sagen, was du grade machst.
D.h. ich seh nix falsches aber das ist einiges zu kurz aufgeschrieben!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Mo 05.11.2007 | | Autor: | Gilga |
F(m) Körper folgt m prim
NEIN!! PRIMZAHLPOTENZ
Was alle meinen (aber nicht hin schreiben) sind Restklassen von Z in denen modulo gerechnet wird [mm] $Z_P$
[/mm]
Ansonsten werden hier falsche Vorstellungen verbreitet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Di 06.11.2007 | | Autor: | SirRichard |
Hi,
In der Vorlesung wurde F(n)=Z/~ gesetzt. Vergessen zu sagen
gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Di 06.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf Primzahlpotenz? F(9) etwa ist kein Körper!
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Di 06.11.2007 | | Autor: | Gilga |
Es gibt einen Körper der Ordnung 9.
Man kann ihn natürlich nicht als [mm] \IZ_{9} [/mm] definieren.
[mm] $F_9\cong\mathbb F_3[z]/(z^2+1)$
[/mm]
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