Restklassenkörper < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei p [mm] \ge [/mm] 2 eine Primzahl, und sei Fp = Z / pZ der Körper mit p Elemente.
z.z.: jede Einheit aus Fp erfüllt die Gleichung x^(p-1) = 1 |
Hallo,
der Restklassenring über einer Primzahl ist ja gleichzeitig ein Körper, so dass jedes Element von Fp eine Einheit ist. Das heißt doch, dass ich in die Gleichung jedes Element einsetzen können muss. Wenn ich die Gleichung also betrachte:
x^(p-1) = 1
<--> [mm] (x^p) [/mm] / x = 1
<--> [mm] x^p [/mm] = x
Kann ich jetzt iwie daraus folgern, dass das immer geht?! Ich hab es auf verschiedene Weisen ausprobiert, komme aber echt nicht weiter. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Ach ja, frohes neus Jahr 
Liebe Grüße
Sabine
|
|
| |
|
Guten Abend,
Was du da zeigen sollst sieht so ähnlich aus wie der (kleine) Satz von Euler(-Fermat) (http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Euler).
Wiki schlägt eine Induktion vor.
Ein kleiner Trick für den allgemeinen Satz sieht so aus:
Du weißt ja wie ein allgemeiner endlicher Körper aussieht $K= [mm] \{ a_1, ... ,a_n \}$. [/mm] Wie unterscheidet sich denn dann (für $g [mm] \in [/mm] K$) $K$ von $g*K= [mm] \{ g*a_1, ... , g*a_n \}$.? [/mm]
Wenn du das nutzt und [mm] $x:=\produkt_{i=1}^{n} a_i$ [/mm] definierst, und dann mal $x$ mit [mm] $\produkt_{i=1}^{n} g*a_i$ [/mm] vergleichst bist du fertig.
Aber das ist nicht unbedingt verlangt bei dir. Die Induktion bei Wiki sieht schöner aus!^^
lg Kai
|
|
|
|
