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| Aufgabe | | Sei [mm] p:x^3+3x+2 \in [/mm] F5[x]. Setze K= F5[x]/pF5[x] und bezeichne die Restklassen von x mit r. Sei [mm] a=r^2+r+1 [/mm] und b=2r+3 Berechne ab^-1 und gib den Vertreter in F5[x]grade<3 an. Bestimme [K]. |
Also ab^-1 bestimme ich doch indem ich den ggT von den beiden Polynomen bestimme und dann [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] auser gleichung [mm] \alpha [/mm] a+ [mm] \beta [/mm] b = ggt(ab) bestimme.
Allerdings verstehe ich nicht wie ich die Vertreter bestimmen soll ich weiß ehrlich gesgat noch nicht mal genau was das ist. und wie ich [K] bestimme bzw. was as genau ist weiß ich auch nicht. Wäre lieb wenn mir jemand das mal genau erklären könnte weil das ist ja doch recht wichtig ind LA
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Mo 14.05.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]p:x^3+3x+2 \in[/mm] F5[x]. Setze K= F5[x]/pF5[x] und
> bezeichne die Restklassen von x mit r. Sei [mm]a=r^2+r+1[/mm] und
> b=2r+3 Berechne ab^-1 und gib den Vertreter in F5[x]grade<3
> an. Bestimme [K].
> Also ab^-1 bestimme ich doch indem ich den ggT von den
> beiden Polynomen bestimme und dann [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] auser
> gleichung [mm]\alpha[/mm] a+ [mm]\beta[/mm] b = ggt(ab) bestimme.
> Allerdings verstehe ich nicht wie ich die Vertreter
> bestimmen soll ich weiß ehrlich gesgat noch nicht mal
> genau was das ist.
Die Elemente von $K$ sind Mengen, sog. Restklassen einer Aequivalenzrelation. Da jedes Element aus [mm] $\IF_{5}$ [/mm] in genau einer Restklasse liegt, nennt man ein Element einer Restklasse auch Vertreter dieser Restklasse. Wenn z.B. Dein ggT $2+3r$ ist, dann kannst Du einfach $2+3x$ als Vertreter waehlen.
> und wie ich [K] bestimme bzw. was as
> genau ist weiß ich auch nicht. Wäre lieb wenn mir jemand
> das mal genau erklären könnte weil das ist ja doch recht
> wichtig ind LA
Vermutlich ist mit $[K]$ die Anzahl der Elemente in $K$ gemeint.
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Also wenn ich jetzt F5 betrachte. Der besteht doch aus 5 Restklassen z.B. [0],[1],[2],[3],[4] und das würde dann bedeuten, dass 0 vertreter der restklasse wäre?
Hab ich das richtig verstanden?
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Jup, hast du.
Hast du die Aufgabe davor schon gemacht (5.3 insbesondere).
Da soll man ja zeigen, dass ein Vertretersystem für $K[x]/pK[x]$ gerade alle Polynome sind, die einen Grad kleiner als $p$ haben, das könnte hier für $|K|$ helfen.
lg
Schadow
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ne hab ich nicht hab ziemliche probleme mit LA komme da irgendwie nicht richtig rein
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