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Restklassenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Di 28.08.2012
Autor: melodie

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] 7^{16} [/mm] in [mm] \IZ_{8} [/mm]

bisher hatte ich nur aufgaben mit x [mm] \equiv [/mm] y mod n
mit [mm] \IZ [/mm] kann ich noch nciht umgehen, deshalb habe ich versucht die Aufgabe auf verschiedene Wege zu lösen..

meine erste Idee:  

[mm] 7^{16} \equiv [/mm] x mod 8
[mm] 7^{4*4} [/mm] = 7^({4}) [mm] \equiv [/mm] 1 ^{4} mod 8
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1



mein zweite Idee:
16=3*6          
7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8        
[mm] (-1)^{16} \equiv (-1)^{3} [/mm] mod 8
[mm] \Rightarrow 7^{16} [/mm] = -1 in [mm] \IZ_{8} [/mm]



welcher Rechnweg ist denn die richtige?
    

        
Bezug
Restklassenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:49 Di 28.08.2012
Autor: reverend

Hallo melodie,

> Berechnen Sie [mm]7^{16}[/mm] in [mm]\IZ_{8}[/mm]
>  bisher hatte ich nur aufgaben mit x [mm]\equiv[/mm] y mod n
>  mit [mm]\IZ[/mm] kann ich noch nciht umgehen, deshalb habe ich
> versucht die Aufgabe auf verschiedene Wege zu lösen..
>  
> meine erste Idee:  
>
> [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  [mm]7^{4*4}[/mm] = 7^({4}) [mm]\equiv[/mm] 1 ^{4} mod 8

Wieso ist [mm] 7^{4*4}\equiv 7^4 \mod{8} [/mm] ?
Das ist zwar richtig, aber wie leitest Du das her? Warum soll es hier eine offensichtliche Umformung sein?

>  [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1

Das ist das richtige Ergebnis, aber der Weg ist unklar.

> mein zweite Idee:
>  16=3*6          

Äh, wie? Mein Einmaleins ist eine ältere Ausgabe, aber da steht diese Multiplikation noch nicht drin. Was ist heute denn der Stand? ;-)

> 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8        

Wunderbar.

> [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{3}[/mm] mod 8

Wo ist denn die 6 geblieben, die oben noch mit einer 3 herumlief?

>  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]
>
> welcher Rechnweg ist denn die richtige?

So, wie sie jetzt dastehen, beide nicht.

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Restklassenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Di 28.08.2012
Autor: melodie

sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^

zu 1:
[mm] 7^{16} \equiv [/mm] x mod 8
so sollte es eig. richtig heißen:
[mm] 7^{4*4} [/mm] = [mm] (7^{4})^4 \equiv 1^{4} [/mm] mod 8  ( da [mm] 7^{4}\equiv1 [/mm] mod 8 ist )
[mm] \Rightarrow [/mm] x = 1

zu 2:
16=2*8          
7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8        
[mm] (-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8} [/mm] mod 8
[mm] \Rightarrow 7^{16} [/mm] = -1 in [mm] \IZ_{8} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Restklassenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Di 28.08.2012
Autor: reverend

Hallo melodie,

mir ist immer noch nicht vollständig klar, was Du tust bzw. wie Du zu Deinen Ergebnissen kommst.

> sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^

Kommt vor.

> zu 1:
>  [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  so sollte es eig. richtig heißen:
>  [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8  
> ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )

Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt? Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.

>  [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1

Wie gesagt, das stimmt.

> zu 2:
>  16=2*8          
> 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8        
> [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8}[/mm] mod 8

Bis hier alles gut. Die Exponentenzerlegung ist aber nicht wirklich nötig. [mm] (-1)^{16} [/mm] kann man problemlos im Kopf rechnen.

>  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]  

Wie kommst du denn darauf?

Grüße
reverend


Bezug
                                
Bezug
Restklassenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Di 28.08.2012
Autor: melodie


> Hallo melodie,
>  
> mir ist immer noch nicht vollständig klar, was Du tust
> bzw. wie Du zu Deinen Ergebnissen kommst.
>  
> > sorry ich habe mich, wie immer vertippt ^^
>  
> Kommt vor.
>  
> > zu 1:
>  >  [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  >  so sollte es eig. richtig heißen:
>  >  [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8  
> > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
>  
> Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.

ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..

>  
> >  [mm]\Rightarrow[/mm] x = 1

>  
> Wie gesagt, das stimmt.
>  
> > zu 2:
>  >  16=2*8          
> > 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8        
> > [mm](-1)^{16} \equiv (-1)^{2*8}[/mm] mod 8
>  
> Bis hier alles gut. Die Exponentenzerlegung ist aber nicht
> wirklich nötig. [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> rechnen.
>  
> >  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]  

>
> Wie kommst du denn darauf?

da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm] \equiv [/mm] (-1) mod 8 ist, dann ist [mm] 7^{16} \equiv (-1)^{16} [/mm] = (-1) mod 8

>  
> Grüße
>  reverend
>  

Bezug
                                        
Bezug
Restklassenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:28 Di 28.08.2012
Autor: reverend

Hallo nochmal,

> > > zu 1:
>  >  >  [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  >  >  so sollte es eig. richtig heißen:
>  >  >  [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8  
> > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
>  >  
> > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
>  
> ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..

Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode [mm] 7^4\mod{64} [/mm] ?

> > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > rechnen.
>  >  
> > >  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]  

> >
> > Wie kommst du denn darauf?
>  da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8 ist, dann
> ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8

Es ist [mm] (-1)^2=1, [/mm] also auch [mm] (-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1 [/mm] für beliebiges [mm] k\in\IZ. [/mm]

Mit anderen Worten: [mm] (-1)^{16}=1. [/mm]

Grüße
reverend


Bezug
                                                
Bezug
Restklassenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:41 Di 28.08.2012
Autor: melodie


> Hallo nochmal,
>  
> > > > zu 1:
>  >  >  >  [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  >  >  >  so sollte es eig. richtig heißen:
>  >  >  >  [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8  
> > > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
>  >  >  
> > > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
>  >  
> > ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
>  
> Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode
> [mm]7^4\mod{64}[/mm] ?

das habe ich so gemacht, weil es in einer anderern Aufgabe auch so war, aber kA.. wie müsste es denn hier auf die 1 kommen ?

>  
> > > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > > rechnen.
>  >  >  
> > > >  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]  

> > >
> > > Wie kommst du denn darauf?
>  >  da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8 ist,
> dann
> > ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8
>  
> Es ist [mm](-1)^2=1,[/mm] also auch [mm](-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1[/mm] für
> beliebiges [mm]k\in\IZ.[/mm]
>  
> Mit anderen Worten: [mm](-1)^{16}=1.[/mm]
>  
> Grüße
>  reverend
>  


Bezug
                                                        
Bezug
Restklassenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:55 Di 28.08.2012
Autor: reverend

Hallo melodie,

> > > > > zu 1:
>  >  >  >  >  [mm]7^{16} \equiv[/mm] x mod 8
>  >  >  >  >  so sollte es eig. richtig heißen:
>  >  >  >  >  [mm]7^{4*4}[/mm] = [mm](7^{4})^4 \equiv 1^{4}[/mm] mod 8  
> > > > > ( da [mm]7^{4}\equiv1[/mm] mod 8 ist )
>  >  >  >  
> > > > Und woher weißt Du das? Hast Du etwa 2401 durch 8 geteilt?
> > > > Das geht zwar, ist aber eigentlich zuviel der MÜhe.
>  >  >  
> > > ich habe den gemeinsamen Teiler von 7 und 8 berechnet..
>  >  
> > Verstehe ich immer noch nicht. Was ist nach dieser Methode
> > [mm]7^4\mod{64}[/mm] ?

Das wäre übrigens [mm] 7^4\equiv 33\mod{64} [/mm]

> das habe ich so gemacht, weil es in einer anderern Aufgabe
> auch so war, aber kA..

Soso. Lerne nie Kochrezepte, sondern lieber gleich, wie man kocht. Dazu musst Du die Zutaten kennen (hier: Sätze, Lemmata etc.), und die Kochtechniken (hier: Rechenregeln u.a.).

> wie müsste es denn hier auf die 1
> kommen ?

Es reicht völlig, [mm] 7^2 [/mm] zu berechnen und festzustellen, dass [mm] 7^2=49\equiv{1}\mod{8}. [/mm]
Dann folgt [mm] 7^{16}\equiv 1\mod{8} [/mm] fast von allein.

> > > > [mm](-1)^{16}[/mm] kann man problemlos im Kopf
> > > > rechnen.
>  >  >  >  
> > > > >  [mm]\Rightarrow 7^{16}[/mm] = -1 in [mm]\IZ_{8}[/mm]  

> > > >
> > > > Wie kommst du denn darauf?
>  >  >  da habe ich so gedacht: wenn 7 [mm]\equiv[/mm] (-1) mod 8
> ist,
> > dann
> > > ist [mm]7^{16} \equiv (-1)^{16}[/mm] = (-1) mod 8
>  >  
> > Es ist [mm](-1)^2=1,[/mm] also auch [mm](-1)^{2k}=((-1)^2)^k=1^k=1[/mm] für
> > beliebiges [mm]k\in\IZ.[/mm]
>  >  
> > Mit anderen Worten: [mm](-1)^{16}=1.[/mm]

Trotzdem bleibt dies hier der viel einfachere Weg.

Grüße
reverend


Bezug
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