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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 16.05.2015 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Zu zeigen:
[mm] (\IZ/m\IZ)/(n\IZ/m\IZ) \cong (\IZ/ggt(m,n)\IZ) [/mm] |
Ich soll obigen Isomorphismus zeigen. Ich habe abre keinerlei Idee wieso dies gelten sollte. Zumal ich schon Schwierigkeiten habe mir [mm] n\IZ/m\IZ [/mm] vorzustellen, wie geht man das am besten an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Sa 16.05.2015 | | Autor: | hippias |
[mm] $n\IZ/m\IZ$ [/mm] wird eine lapidare Schreibweise fuer [mm] $n\cdot \IZ/m\IZ$ [/mm] sein: denn ohne weitere Voraussetzungen gilt nicht [mm] $m\IZ\leq n\IZ$.
[/mm]
Und damit ergibt sich auch schon ein erster Ansatz zur Loesung des Problems: Zeige, dass [mm] $n\cdot \IZ/m\IZ= (n\IZ+m\IZ)/m\IZ$ [/mm] gilt und wende dann auf die linke Seite den 2. Isomorphiesatz an.
Eine andere oft nuetzliche Herangehensweise an solcherlei Probleme ist, einen surjektiven Homomorphismus zwischen den Gruppen zu finden, dessen Kern gleich dem Normalteiler ist. Dann folgt die Behauptung aus dem Homomorphiesatz.
Hier speziell wuerde ich einen surjektiven Homomorphismus [mm] $\phi:\IZ\to (\IZ/m\IZ)/(n\cdot \IZ/m\IZ)$ [/mm] finden, dessen Kern $= [mm] ggT(n,m)\IZ$ [/mm] ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:08 Sa 16.05.2015 | | Autor: | havoc1 |
Ja, also ein Isomorphiesatz liegt hier nahe. Als surjektive Abbildung würde mir nur die naive Einbettung einfallen.
Das Problem dabei bleibt aber, den Kern zu berechnen. Und da sind wir wieder bei der Problematik...
Die natürliche Einbettung ist hier so unhandlich/unschön, dass sich mir die Berechnung des Kerns nicht erschließen mag.
Gibt es da einen Trick?
Oder liegt die Idee doch darin einen geschickteren Homomorphismus zu wählen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Sa 16.05.2015 | | Autor: | hippias |
Ich weiss nicht, was Du mit naiver bzw. natuerlicher Einbettung meinst. Zeig' doch mal wie Du versucht hast ihren Kern zu berechnen (wobei nach einem Empfinden eine Einbettung eigentlich injektiv sein sollte).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Sa 16.05.2015 | | Autor: | havoc1 |
Naja, ich hätte folgende Abbildung angegeben:
[mm] \phi:\IZ [/mm] -> [mm] (\IZ/m\IZ)/(n\IZ/m\IZ), [/mm] x [mm] \mapsto (x+m\IZ)+(n* \IZ/m\IZ)
[/mm]
Diese ist surjektiv. Nun wäre der Kern zu berechnen.
Ker [mm] \phi [/mm] = {x [mm] \in \IZ [/mm] | [mm] (x+m\IZ)+(n\* \IZ/m\IZ)=0}
[/mm]
={x [mm] \in \IZ [/mm] | [mm] (x+m\IZ)\in (n\* \IZ/m\IZ) [/mm] }
Zum einen: Bin ich bis hier her auf den richtigen weg? Falls ja, wie gehts heir weiter, hier kommt jetzt die Krux um den ggt wohl ins Spiel..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:47 So 17.05.2015 | | Autor: | hippias |
> Naja, ich hätte folgende Abbildung angegeben:
> [mm]\phi:\IZ[/mm] -> [mm](\IZ/m\IZ)/(n\IZ/m\IZ),[/mm] x [mm]\mapsto (x+m\IZ)+(n* \IZ/m\IZ)[/mm]
>
> Diese ist surjektiv. Nun wäre der Kern zu berechnen.
> Ker [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x [mm]\in \IZ[/mm] | [mm](x+m\IZ)+(n\* \IZ/m\IZ)=0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ={x
> [mm]\in \IZ[/mm] | [mm](x+m\IZ)\in (n\* \IZ/m\IZ)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zum einen: Bin ich bis hier her auf den richtigen weg?
Ja.
> Falls ja, wie gehts heir weiter, hier kommt jetzt die Krux
> um den ggt wohl ins Spiel..
Sei $x\in Kern\phi$. Mache Dir anhand der Definition klar, dass dann ein $y\in \IZ$ existiert, sodass $m\vert x-ny$. Kannst Du daraus schlussfolgern, dass dann $ggt(n,m)\vert x$ gilt? Versuche die umgekehrte Inklusion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mi 20.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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