Restriktion holomorpher Funkt. < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Sa 12.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
wenn ich die Restriktion einer holomorphen Funktion auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] betrachte, und es gilt, die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] und $x [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] der Funktion stimmen nicht überein. Dann soll sie in diesem Fall eine wesentliche Singularität in [mm] $\infty$ [/mm] haben (beiläufige Aussage in unserem Skript).
Ich nahm jetzt an f holom. => es gibt es eine Potenzreihe => [mm] Betrachte:$\sum_{n\geq 0} \frac{a_n}{w^n}, w=\frac{1}{z}$ [/mm] in [mm] w_0=0, [/mm] wobei ich f O.B.d.A. als [mm] $\sum_{n\geq 0} a_n z^n [/mm] $ geschrieben habe, wegen der Möglichkeit der Translation angewendet auf die Potenzreihe, sodass [mm] $z_0=0$.
[/mm]
Geht das so, weil ich habe ja nirgends wirklich die unterschiedlichen Grenzwerte verwendet?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Sa 12.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> wenn ich die Restriktion einer holomorphen Funktion auf
> [mm]\mathbb{R}[/mm] betrachte, und es gilt, die Grenzwerte für
> [mm]x\rightarrow \infty[/mm] und [mm]x \rightarrow -\infty[/mm] der Funktion
> stimmen nicht überein. Dann soll sie in diesem Fall eine
> wesentliche Singularität in [mm]\infty[/mm] haben (beiläufige
> Aussage in unserem Skript)
das stimmt nicht !
nimm f (z)=z. f hat in [mm] \infty [/mm] einen Pol.
fred
> Ich nahm jetzt an f holom. => es gibt es eine Potenzreihe
> => Betrachte:[mm]\sum_{n\geq 0} \frac{a_n}{w^n}, w=\frac{1}{z}[/mm]
> in [mm]w_0=0,[/mm] wobei ich f O.B.d.A. als [mm]\sum_{n\geq 0} a_n z^n[/mm]
> geschrieben habe, wegen der Möglichkeit der Translation
> angewendet auf die Potenzreihe, sodass [mm]z_0=0[/mm].
> Geht das so, weil ich habe ja nirgends wirklich die
> unterschiedlichen Grenzwerte verwendet?
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 12.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
wäre es dann nicht aber so, dass [mm] $\pm \infty$ [/mm] hier nicht als Grenzwert herhalten kann, weil [mm] $\pm \infty$ [/mm] nicht mit den reellen Zahlen vereinigt wurde?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Sa 12.03.2016 | | Autor: | felixf |
Moin,
> wäre es dann nicht aber so, dass [mm]\pm \infty[/mm] hier nicht
> als Grenzwert herhalten kann, weil [mm]\pm \infty[/mm] nicht mit den
> reellen Zahlen vereinigt wurde?
also wenn mind. einer der beiden Grenzwerte eine endliche (komplexe) Zahl ist, dann stimmt die Aussage (für ganze Funktionen zumindest).
Bei Polynomen ist entweder der Grenzwert gleich (weil sie konstant ist) oder beide Grenzwerte sind unendlich.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:31 So 13.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
warum kann man sagen, dass das stimmt, wegen dem, was ich schon sagte, oder was wäre der Ansatzgedanke?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 So 13.03.2016 | | Autor: | felixf |
Moin,
> warum kann man sagen, dass das stimmt, wegen dem, was ich
> schon sagte, oder was wäre der Ansatzgedanke?
also die richtigen Elemente sind drin enthalten, aber es fehlt noch etwas wichtige Argumentation.
Fangen wir doch mal so an: was heisst es, dass eine Funktion eine wesentliche Singularität in [mm] $\infty$ [/mm] hat?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 13.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
eine Funktion hat genau dann eine wesentliche Singularität in einem Punkt [mm] $z_0$, [/mm] wenn sie eine Laurentreihe hat, deren Hauptteil unendliche viele [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ hat.
Viele Grüße,
Reynir
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