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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Restriktion holomorpher Funkt.
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Restriktion holomorpher Funkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 Sa 12.03.2016
Autor: Reynir

Hallo,
wenn ich die Restriktion einer holomorphen Funktion auf [mm] $\mathbb{R}$ [/mm] betrachte, und es gilt, die Grenzwerte für [mm] $x\rightarrow \infty$ [/mm] und $x [mm] \rightarrow -\infty$ [/mm] der Funktion stimmen nicht überein. Dann soll sie in diesem Fall eine wesentliche Singularität in [mm] $\infty$ [/mm] haben (beiläufige Aussage in unserem Skript).
Ich nahm jetzt an f holom. => es gibt es eine Potenzreihe => [mm] Betrachte:$\sum_{n\geq 0} \frac{a_n}{w^n}, w=\frac{1}{z}$ [/mm] in [mm] w_0=0, [/mm] wobei ich f O.B.d.A. als [mm] $\sum_{n\geq 0} a_n z^n [/mm] $ geschrieben habe, wegen der Möglichkeit der Translation angewendet auf die Potenzreihe, sodass [mm] $z_0=0$. [/mm]
Geht das so, weil ich habe ja nirgends wirklich die unterschiedlichen Grenzwerte verwendet?
Viele Grüße,
Reynir

        
Bezug
Restriktion holomorpher Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Sa 12.03.2016
Autor: fred97


> Hallo,
> wenn ich die Restriktion einer holomorphen Funktion auf
> [mm]\mathbb{R}[/mm] betrachte, und es gilt, die Grenzwerte für
> [mm]x\rightarrow \infty[/mm] und [mm]x \rightarrow -\infty[/mm] der Funktion
> stimmen nicht überein. Dann soll sie in diesem Fall eine
> wesentliche Singularität in [mm]\infty[/mm] haben (beiläufige
> Aussage in unserem Skript)


das stimmt nicht !

nimm f (z)=z. f  hat in [mm] \infty [/mm] einen Pol.

fred

>  Ich nahm jetzt an f holom. => es gibt es eine Potenzreihe

> => Betrachte:[mm]\sum_{n\geq 0} \frac{a_n}{w^n}, w=\frac{1}{z}[/mm]
> in [mm]w_0=0,[/mm] wobei ich f O.B.d.A. als [mm]\sum_{n\geq 0} a_n z^n[/mm]
> geschrieben habe, wegen der Möglichkeit der Translation
> angewendet auf die Potenzreihe, sodass [mm]z_0=0[/mm].
>  Geht das so, weil ich habe ja nirgends wirklich die
> unterschiedlichen Grenzwerte verwendet?
>  Viele Grüße,
>  Reynir


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Bezug
Restriktion holomorpher Funkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Sa 12.03.2016
Autor: Reynir

Hi,
wäre es dann nicht aber so, dass [mm] $\pm \infty$ [/mm] hier nicht als Grenzwert herhalten kann, weil [mm] $\pm \infty$ [/mm] nicht mit den reellen Zahlen vereinigt wurde?
Viele Grüße,
Reynir

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Restriktion holomorpher Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:08 Sa 12.03.2016
Autor: felixf

Moin,

>  wäre es dann nicht aber so, dass [mm]\pm \infty[/mm] hier nicht
> als Grenzwert herhalten kann, weil [mm]\pm \infty[/mm] nicht mit den
> reellen Zahlen vereinigt wurde?

also wenn mind. einer der beiden Grenzwerte eine endliche (komplexe) Zahl ist, dann stimmt die Aussage (für ganze Funktionen zumindest).

Bei Polynomen ist entweder der Grenzwert gleich (weil sie konstant ist) oder beide Grenzwerte sind unendlich.

LG Felix


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Restriktion holomorpher Funkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 So 13.03.2016
Autor: Reynir

Hi,
warum kann man sagen, dass das stimmt, wegen dem, was ich schon sagte, oder was wäre der Ansatzgedanke?
Viele Grüße,
Reynir

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Restriktion holomorpher Funkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:49 So 13.03.2016
Autor: felixf

Moin,

> warum kann man sagen, dass das stimmt, wegen dem, was ich
> schon sagte, oder was wäre der Ansatzgedanke?

also die richtigen Elemente sind drin enthalten, aber es fehlt noch etwas wichtige Argumentation.

Fangen wir doch mal so an: was heisst es, dass eine Funktion eine wesentliche Singularität in [mm] $\infty$ [/mm] hat?

LG Felix


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Restriktion holomorpher Funkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 So 13.03.2016
Autor: Reynir

Hi,
eine Funktion hat genau dann eine wesentliche Singularität in einem Punkt [mm] $z_0$, [/mm] wenn sie eine Laurentreihe hat, deren Hauptteil unendliche viele [mm] $a_n \neq [/mm] 0$ hat.
Viele Grüße,
Reynir

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