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Resulatante symmetrischer Fkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Sa 26.04.2008
Autor: martin1984

Aufgabe
Sei
[mm] f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n) [/mm]
[mm] g(x)=b_0(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_m) [/mm]

Dann ist [mm] Res(f,g)=a_0^mb_0^n \Pi_i\Pi_k (x_i-y_k) [/mm]

Hallo!

Es gibt im Buch "Moderne Algebra I" von van der Waerden, den ich allerding nicht ganz verstehe.

...Da die Linearformen [mm] x_i-y_k [/mm] untereinander teilerfremd sind, muss die Resultante durch das Produkt
1)    [mm] S=a_0^m b_0^n\Pi_i \Pi_k (x_i-y_k) [/mm]
teilbar sein. Man kann das Produkt zweierlei umformen:

Erstens folgt aus:
a)     [mm] g(x)=b_0 \Pi_k(x-y_k) [/mm]
durch Substitution [mm] x=x_i [/mm] und Produktbildung
[mm] \Pi_i g(x_i)=b_0^n \Pi_i \Pi_k (x_i-y_k) [/mm]
mithin


2)     [mm] S=a_0^m \Pi_i g(x_i) [/mm]


Zweitens folgt aus
b)     [mm] f(x)=a_0\Pi_i (x-x_i)=(-1)^n a_0 \Pi_i(x_i-x) [/mm]
in der selben Weise
3)     [mm] S=(-1)^{nm}b_0^n \Pi_k f(y_k) [/mm]


Aus (2) sieht man, dass es ganz und homogen vom Grade n in den b ist und aus (3), dass es ganz und homogen vom Grade m in den a ist. Res(f,g) hat aber die selben Gradzahlen und ist durch S teilbar;
Also muss Res(f,g) mit S bis auf einen ganzen Zahlenfaktor übereinstimmen. Der Vergleich derjenigen Glieder, die die höchste Potenz von [mm] b_m [/mm] enthalten ergibt sowohl in Res(f,g), als auch in S ein Glied [mm] +a_0^mb_m^n; [/mm] daher hat der Zahlenfaktor den Wert 1 und es ist Res(f,g)=S.


Das ist der Beweis.
Bis zum letzten Absatz versteh ich das.


Was ist mit ganz und homogen vom Grade n in den b gemeint?


        
Bezug
Resulatante symmetrischer Fkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Sa 26.04.2008
Autor: felixf

Hallo Martin!

> Sei
> [mm]f(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)\cdots (x-x_n)[/mm]
>  
> [mm]g(x)=b_0(x-y_1)(x-y_2)\cdots (x-y_m)[/mm]
>  
> Dann ist [mm]Res(f,g)=a_0^mb_0^n \Pi_i\Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Es gibt im Buch "Moderne Algebra I" von van der Waerden,
> den ich allerding nicht ganz verstehe.
>  
> ...Da die Linearformen [mm]x_i-y_k[/mm] untereinander teilerfremd
> sind, muss die Resultante durch das Produkt
>  1)    [mm]S=a_0^m b_0^n\Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
>  teilbar sein.
> Man kann das Produkt zweierlei umformen:
>  
> Erstens folgt aus:
>  a)     [mm]g(x)=b_0 \Pi_k(x-y_k)[/mm]
>  durch Substitution [mm]x=x_i[/mm] und
> Produktbildung
>  [mm]\Pi_i g(x_i)=b_0^n \Pi_i \Pi_k (x_i-y_k)[/mm]
>  mithin
>  
>
> 2)     [mm]S=a_0^m \Pi_i g(x_i)[/mm]
>  
>
> Zweitens folgt aus
>  b)     [mm]f(x)=a_0\Pi_i (x-x_i)=(-1)^n a_0 \Pi_i(x_i-x)[/mm]
>  in
> der selben Weise
> 3)     [mm]S=(-1)^{nm}b_0^n \Pi_k f(y_k)[/mm]
>  
>
> Aus (2) sieht man, dass es ganz und homogen vom Grade n in
> den b ist und aus (3), dass es ganz und homogen vom Grade m
> in den a ist. Res(f,g) hat aber die selben Gradzahlen und
> ist durch S teilbar;
>  Also muss Res(f,g) mit S bis auf einen ganzen Zahlenfaktor
> übereinstimmen. Der Vergleich derjenigen Glieder, die die
> höchste Potenz von [mm]b_m[/mm] enthalten ergibt sowohl in Res(f,g),
> als auch in S ein Glied [mm]+a_0^mb_m^n;[/mm] daher hat der
> Zahlenfaktor den Wert 1 und es ist Res(f,g)=S.
>  
>
> Das ist der Beweis.
>  Bis zum letzten Absatz versteh ich das.
>  
>
> Was ist mit ganz und homogen vom Grade n in den b gemeint?

Also: es geht hier um Polynome bzw. gebrochenrationale Funktionen in [mm] $k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] bzw. [mm] $k(x_1, [/mm] dots, [mm] x_n, y_1, \dots, y_m)$. [/mm] Eine gebrochenrationale Funktion heisst ganz, wenn sie in [mm] $k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] liegt.

(Genauso wie im Fall [mm] $\IZ$ [/mm] und [mm] $\IQ$, [/mm] ein Element aus [mm] $\IQ$, [/mm] also eine rationale Zahl, heisst ganz wenn es in [mm] $\IZ$ [/mm] liegt, also eine ganze Zahl ist.)

Und ein Polynom $f [mm] \in k[x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_m]$ [/mm] heisst homogen, wenn in jedem auftretenden Monom die Exponentensumme gleich ist, also etwa das Polynom [mm] $x_1 x_2 y_1 [/mm] - [mm] x_3^2 y_2$ [/mm] ist homogen (die Exponentensumme ist immer 3), und [mm] $x_1^2 [/mm] - [mm] x_2$ [/mm] ist nicht homogen (die Summe ist mal 2, mal 1). Diese Exponentensumme nennt man dann den (Homogenitaets-)Grad.

Insbesondere, wenn $f$ und $g$ homogen vom gleichen Grad und ganz sind und $f$ ein Teiler von $g$ ist, dann gibt es ein ganzes Polynom $h$ mit $f h = g$. Man kann zeigen, dass dieses ebenfalls homogen sein muss, und da der Homogenitaetsgrad additiv ist, gilt [mm] $\deg [/mm] f + [mm] \deg [/mm] h = [mm] \deg [/mm] g = [mm] \deg [/mm] f$, also [mm] $\deg [/mm] h = 0$. Damit ist $h$ also eine Konstante aus $k$.

Wenn man also noch zeigen kann, dass der Koeffizient einem Monom in $f$ und $g$ der gleiche ist, dann muss der Faktor $1$ sein, also gilt $f = g$.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Resulatante symmetrischer Fkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Sa 26.04.2008
Autor: martin1984

Hi Felix!

Das hast du total gut erklärt. Jetzt ist es mir klar, denke ich!

Vielen Dank :-)

Bezug
                        
Bezug
Resulatante symmetrischer Fkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:21 Sa 26.04.2008
Autor: felixf

Hi Martin,

> Das hast du total gut erklärt. Jetzt ist es mir klar, denke
> ich!

schoen! :) Das mit der Ganzheit geht noch etwas allgemeiner, siehe z.B. []hier. Hier wurde benutzt, dass $R = [mm] k[x_1, \dots, [/mm] ...]$ ganzabgeschlossen ist, d.h. das der ganze Abschluss von $R$ in seinem Quotientenkoerper $Q = [mm] k(x_1, \dots, [/mm] ...)$ ganzabgeschlossen ist. Deswegen sind die Elemente in $Q$, die ganz ueber $R$ sind, gerade die Elemente aus $R$. (Geht genauso wie $R = [mm] \IZ$ [/mm] und $Q = [mm] \IQ$.) [/mm] Der Begriff der Ganzheit kommt urspruenglich aus der algebraischen Zahlentheorie, dort wollte man endliche Koerpererweiterungen von [mm] $\IQ$ [/mm] untersuchen und dort drinnen ein Analogon zu [mm] $\IZ$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] finden -- man hat dann einfach den ganzen Abschluss von [mm] $\IZ$ [/mm] in der Koerpererweiterung genommen; dieser Ring ist dann der Ganzheitsring dort.

LG Felix


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