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| Aufgabe | Hallo, nochmal eine Aufgabe zu Polynomen / Resultanten:
f und g sollen zerfallen, d.h.
f = [mm] \Pi_{i=1}^{n} (x-\alpha_i)
[/mm]
g = [mm] \Pi_{j=1}^{m} (x-\beta_j)
[/mm]
Dann gilt: (Res ist die Resultante)
Res(f,g) = [mm] \Pi_{i,j} (\alpha_i-\beta_j)
[/mm]
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Ich hab schonmal probiert die Polynome irgendwie auszumultiplizieren, um an die Koeffizienten von den jeweiligen x-Potenzen zu kommen. Aber das stellt sich nur als Indexwirrwar heraus, mit dem ich nicht weiterkomme.
Und dann kann man ja die Resultante der beiden Funktionen allgemein nicht wirklich explizit ausrechnen...
Hat jemand eine Idee, wie ich das beweisen könnte?
Danke nochmal...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Fr 21.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Martin
> Hallo, nochmal eine Aufgabe zu Polynomen / Resultanten:
>
> f und g sollen zerfallen, d.h.
> f = [mm]\Pi_{i=1}^{n} (x-\alpha_i)[/mm]
> g = [mm]\Pi_{j=1}^{m} (x-\beta_j)[/mm]
>
> Dann gilt: (Res ist die Resultante)
> Res(f,g) = [mm]\Pi_{i,j} (\alpha_i-\beta_j)[/mm]
>
>
> Ich hab schonmal probiert die Polynome irgendwie
> auszumultiplizieren, um an die Koeffizienten von den
> jeweiligen x-Potenzen zu kommen. Aber das stellt sich nur
> als Indexwirrwar heraus, mit dem ich nicht weiterkomme.
> Und dann kann man ja die Resultante der beiden Funktionen
> allgemein nicht wirklich explizit ausrechnen...
Ihr habt die Resultante als Determinante von einer Matrix mit den Eintraegen bestehend aus den Koeffizienten der Polynome, oder?
> Hat jemand eine Idee, wie ich das beweisen könnte?
Ich wuerde es per Induktion nach $n$ (bei beliebigen, aber festen $m$) versuchen. Der Anfang $n = 1$ sollte einfach sein (evtl. nochmal Induktion nach $m$?), da hab ich jetzt nicht viel drueber nachgedacht :)
Schreibe zuerst $f = [mm] \hat{f} [/mm] (x - [mm] \alpha_n)$; [/mm] wenn [mm] $\hat{f} [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] x + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{n-2} x^{n-2} [/mm] + [mm] x^{n-1}$ [/mm] ist, dann ist $f = - [mm] \alpha_n a_0 [/mm] + [mm] (a_0 [/mm] - [mm] \alpha_n a_1) [/mm] x + [mm] \dots [/mm] + [mm] (a_{n-3} [/mm] - [mm] \alpha_n a_{n-2}) x^{n-2} [/mm] + [mm] (a_{n-2} [/mm] - [mm] \alpha_n a_{n-1}) x^{n-1} [/mm] + [mm] x^n$.
[/mm]
Jetzt benutzt du die Linearitaet der Determinante in jeder Spalte. Du wirst schnell sehen, dass sobald du eine der ersten $m - 1$ Spalten aufteilst (nach Koeffizienten von [mm] $\hat{f} [/mm] x$ und denen von $- [mm] \alpha_n \hat{f}$), [/mm] dass dann eine der beiden resultierenden Determinanten 0 ist.
Bei der $m$-ten Spalte musst du vermutlich noch was anderes machen, aber das solltest du mit ein paar expliziten Beispielen schnell rausbekommen. Vermutlich hat es was mit den Faktoren zu tun die dazukommen muessen bei der Induktion ;)
Zumindest hast du dann die Koeffizienten vom Polynom $f$ auf die Koeffizienten vom Polynom [mm] $\hat{f}$ [/mm] zurueckgefuehrt (wie schon gesagt, in der Spalte $m$ musst du noch etwas tun) und kannst dann voraussichtlich Induktion anwenden.
Eventuell musst du das auch rueckwaerts machen, also erst mit Hilfe der $m$-ten Spalte die $m-1$-te Spalte ''aufraeumen'', dann die $m-2$-te, etc. Probier am besten mal ein paar kleine Beispiele mit $n = 1, 2, 3$ und $m = 1$ (oder $m = 2$)...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Fr 21.03.2008 | | Autor: | martin1984 |
Uff, ich hätt gedacht, dass das bestimmt einfacher geht^^
Mal schauen, ob ichs hinbekomme.
Vielen Dank für die gute Anleitung schonmal 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Fr 21.03.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Uff, ich hätt gedacht, dass das bestimmt einfacher geht^^
> Mal schauen, ob ichs hinbekomme.
Viel Erfolg :) Kann auch gut sein dass es einfacher geht, mir ist nur nichts einfacheres eingefallen vorhin...
> Vielen Dank für die gute Anleitung schonmal
Bisher ist es nur eine Skizze und auch nur von einem Teil, ich hoffe dass alles so wie geplant klappt, insb. der Teil den ich mir nicht ueberlegt hab ;)
LG Felix
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