Resultanten < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geg.: [mm] f(X)=X^2+2, g(X)=X^3+X\in\mathbb{Z}[X].
[/mm]
Es sind Polynome [mm] u,v\in\mathbb{Z}[X] [/mm] so zu bestimmen, dass für die Resultante von f und g Res(f,g)=uf+vg gilt. |
Ich habe zunächst den ggT der beiden Polynome bestimmt; dieser ist 1. D.h., die Resultante muss ungleich 0 sein. Ich habe die Resultante berechnet, es ist Res(f,g)=2.
Jetzt müsste ja [mm] uf+vg=u(X^2+2)+v(X^3+X)=2 [/mm] gelten. Wie komme ich ohne "planloses durchprobieren" auf eine Lösung?
Liebe Grüße
Differential
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Mi 20.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Geg.: [mm]f(X)=X^2+2, g(X)=X^3+X\in\mathbb{Z}[X].[/mm]
> Es sind
> Polynome [mm]u,v\in\mathbb{Z}[X][/mm] so zu bestimmen, dass für die
> Resultante von f und g Res(f,g)=uf+vg gilt.
> Ich habe zunächst den ggT der beiden Polynome bestimmt;
> dieser ist 1. D.h., die Resultante muss ungleich 0 sein.
> Ich habe die Resultante berechnet, es ist Res(f,g)=2.
>
> Jetzt müsste ja [mm]uf+vg=u(X^2+2)+v(X^3+X)=2[/mm] gelten. Wie
> komme ich ohne "planloses durchprobieren" auf eine
> Lösung?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Resultante
FRED
>
> Liebe Grüße
> Differential
|
|
|
| |
|
Das habe ich schon gelesen, aber so wirklich schlau bin ich noch nicht daraus geworden. Ich soll also zunächst die Komplementärmatrix bilden, die würde so aussehen:
[mm] $\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 4 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0 & 4\\ 2 & 0 & 0 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & -2\\ -1 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$
[/mm]
Und nun sollen die Koeffizienten von $u$ und $v$ aus der letzten Spalte abgelesen werden können ... aber wie?
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
Ich habe die Aufgabe inzwischen lösen können, aber sicher nicht auf dem einfachsten Wege.
Ich habe mir überlegt, dass $u$ und $v$ von der Form
[mm] $u=a_1X^2+a_2X+a_3$, $v=b_1X+b_2$
[/mm]
sein müssen (aus Grad-Gründen).
Damit bin ich dann auf die Lösung [mm] $Res(f,g)=(-X^2+1)(X^2+2)+X(X^3+X)$ [/mm] gekommen.
Ich würde mich aber dennoch dafür interessieren, wie man die Koeffizienten von $u$ und $v$ von der Sylvester-Matrix (oder von mir aus deren Adjungierte) ablesen kann.
Bitte helft mir da doch auf die Sprünge. Anhand des Wikipedia-Textes ist es mir wirklich noch nicht klar und ich finde im Internet auch nicht allzu viel zu diesem Thema.
Gruß
Differential
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 20.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Differential,
> Ich habe die Aufgabe inzwischen lösen können, aber sicher
> nicht auf dem einfachsten Wege.
>
> Ich habe mir überlegt, dass [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] von der Form
> [mm]u=a_1X^2+a_2X+a_3[/mm], [mm]v=b_1X+b_2[/mm]
> sein müssen (aus Grad-Gründen).
>
> Damit bin ich dann auf die Lösung
> [mm]Res(f,g)=(-X^2+1)(X^2+2)+X(X^3+X)[/mm] gekommen.
>
> Ich würde mich aber dennoch dafür interessieren, wie man
> die Koeffizienten von [mm]u[/mm] und [mm]v[/mm] von der Sylvester-Matrix
> (oder von mir aus deren Adjungierte) ablesen kann.
eine Moeglichkeit ganz ohne die Sylvester-Matrix ist folgende, wenn die Resultante eine ganze Zahl ist (und kein Problem):
Berechne mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Polynome [mm] $\hat{u}, \hat{v} \in \IQ[X]$ [/mm] mit $f [mm] \hat{u} [/mm] + g [mm] \hat{v} [/mm] = 1 = ggT(f, g)$. Dann multipliziere dies mit $Res(f, g) [mm] \in \IZ \setminus \{ 0 \}$ [/mm] und voila, du bist fertig!
Liegt daran, dass $u$ und $v$ in diesem Fall eindeutig bestimmt sind, wenn sie den richtigen Grad haben, und dass der erweiterte euklidische Algorithmus somit die richtigen -- bis auf Skalare Vielfache -- Polynome zurueckliefert.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 22.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
