Ricatti-DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:38 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Harris |
Hi!
Ich habe eine Frage zur Ricatti-DGL:
Ich weiß, dass diese im Allgemeinen nicht lösbar ist. Die Frage, die mich quält ist, warum?
Ich weiß, dass es eine Theorie von Liouville gibt, die besagt, wann ein Integral geschlossen lösbar ist, und wann nicht. Lässt sich diese Theorie auch in der anderen Richtung anwenden? Bin für jeden Tipp dankbar!
Grüße,
Harris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:02 Mo 19.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
die allermeisten Dgl kann man nur numerisch lösen, also sollte deine frage eher sein, für welche Dgl es Lösungsmethoden gibt. die auf bekannte Funktionen zurückführen!
viele Dgl, haben nur Lösungen, weil die fkt durch die Dgl definiert wird, wie etwa y'=y oder y''=-y
gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 21:39 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Harris |
Na ja, das ist mir schon klar, dass es normalerweise ein wahnsinniger Zufall ist, wenn man eine DGL explizit lösen kann.
Ich hätte meine Frage anders stellen sollen.
Zu linearen gibt's Lösungsmethoden, zu nxn-Systemen gibt's Lösungsmethode, zu getrennten Variablen gibt's Lösungsmethoden, zu Bernulli gibt's Lösungsmethoden.
Die Frage ist. Was macht die Riccati-DGL so besonders, dass es zu ihr keine Lösungsmethoden gibt?
Bzw. Wie beweist man, dass eine Riccati-DGL im Allgemeinen nicht geschlossen lösbar ist. Das ist ja eine viel stärkere Aussage, als die Aussage, dass man bisher keine Lösungsmethode gefunden hat. Das muss doch jemand mal bewiesen haben, damit das einfach so ohne Beweis in jeder Literatur erwähnt wird.
Gruß, Harris
PS: Ich habe gerade festgestellt, dass ich die ganze Zeit Ricatti statt Riccati geschrieben habe. Man möge mir verzeihen :)
PS2:
Und gleich möchte ich sagen, dass ich die Lösung der Frage gerade gefunden habe.
Auf der Seite ![[]](/images/popup.gif) Liouville wird - soweit ich das mit meinem rudimentären Französisch überreißen kann - von Liouville gezeigt, dass die DGL [mm] $y'=ay^2+bx^m$ [/mm] nicht lösbar ist (Ab Seite 1).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Di 20.09.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Falls noch Intresse besteht, erwähn ich nochmal grob wo die Lösungstheorie herkommt.
Es besteht hier ein Zusammenhang zwischen gewöhnlichen DGLen und Lie-Gruppen bzw. deren Lie-Algebren. Die Riccati-DGL ist eine sog. Gleichung vom Lie-Typ für die Lie-Gruppe PSL(2, [mm]\IR[/mm]). D.h. sie entspricht einer Kurve in der Lie-Algebra von PSL(2,R). Es gibt einen Satz der besagt, dass solche Gleichungen durch Integrale gelöst werden können, wenn die Lie-Algebra der zugehörigen Lie-Gruppe auflösbar ist. Nun ist die Lie-Algebra von PSL(2,R) nicht auflösbar. Tatsächlich ist diese Lie-Algebra (d.h. die Menge der spurfreien 2x2 Matrizen) eine der ersten Lie-Algebren die man findet, die nicht auflösbar ist. Und aus diesem Grund ist die Riccati-Gleichung eine der einfachsten Gleichungen die nicht durch elementare Funktionen oder Integrale gelöst werden kann.
Das vielleicht mal als grober Überblick. Hier steht zb ein wenig was dazu: HIER
Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 21.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:21 Mi 21.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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